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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

Die weitestgehende, alle andern mit umfassende Bedingung wird:
[Formel 1]

Da hienach schon gewisse drei von den sechs Bedingungen ph), vor-
oder rückwärts angesetzt, alle übrigen nach sich ziehen, so wird die Zahl
ihrer Kombinationen zu mehrern gar nicht mehr so erheblich werden. Die
sechs letzten Kombinationen ph3) zu zweien sind als eine dritte Bedingung
involvirend zugleich auch Kombinationen derselben zu dreien, z. B.
(1 2 3) = (1 2)(1 3)(2 3) = (1 + 2 3)(1 2) = (1 2 · 3)(2 3).
Und unschwer überzeugt man sich, dass zu den bisherigen 6 + 15 + 1 Kom-
binationen ph), ph3), ph6) als neue nur noch die 6 hinzutreten:
ph7) [Formel 2]
bei deren Ausrechnung blos in Betracht kam, dass (an j 1') · a ; 1 = (an j 1')a, etc.
-- vergl. 15), S. 210.

Die Gesamtzahl dieser Kombinationen (ungerechnet die eine zur nullten
Klasse) beträgt hienach 28.

Diese nunmehr noch mit den dreien ph5) und letztre unter sich zu kom-
biniren überlassen wir dem Leser. --

Formuliren wir auch: dass das a-Bild von i enthalten sei im a-Bild von j,
so werden wir bekommen:
kh) (a ; i a ; j) = 0 j (an ; i + a ; j) = (an j a)i j = i ; (an j a) ; j.
Denn L = Ph k(Slah lil k Slah ljl k) = Ph(Slah l1'i l Slah l1'j l) =
= Ph(ah i ah j) = Ph(anh i + ah j) = (an j a)i j.
Man kann aber auch überlegen:
L = (1 an j in + a ; j = an ; i + a ; j) = 0 j (an ; i + a ; j)
nach u) in Anbetracht dass die Summe in der letzten Klammer System ist
und deshalb das j 0 hinter ihr unterdrückt werden konnte. Auch dies gibt
nun in der That nach 10) S. 414: L = i ; an j a ; j, was = i ; (an j a) ; j nach
27) S. 419 ist, q. e. d.

Demnach ist nun auch der Ausdruck für die Gleichheit der a-Bilder
von zwei Elementen dieser:
ps) (a ; i = a ; j) = 0 j (a ; i · a ; j + an ; i · an ; j) = {(an j a)(a j an)}i j = i ; (an j a)(a j an) ; j,
wobei zu beachten war, dass nach 26) S. 419: a ; i · an ; i = aan ; i = 0 ist,
und dass nach dem gleichen Satze das Relativ j ; (an j a) ; i, zu i ; (a j an) ; j
konvertirt, mit dem obigen kh) vereinigt werden kann zu dem letzten ps).

Zwölfte Vorlesung.

Die weitestgehende, alle andern mit umfassende Bedingung wird:
[Formel 1]

Da hienach schon gewisse drei von den sechs Bedingungen φ), vor-
oder rückwärts angesetzt, alle übrigen nach sich ziehen, so wird die Zahl
ihrer Kombinationen zu mehrern gar nicht mehr so erheblich werden. Die
sechs letzten Kombinationen φ3) zu zweien sind als eine dritte Bedingung
involvirend zugleich auch Kombinationen derselben zu dreien, z. B.
(1 ⋹ 2 ⋹ 3) = (1 ⋹ 2)(1 ⋹ 3)(2 ⋹ 3) = (1 + 2 ⋹ 3)(1 ⋹ 2) = (1 ⋹ 2 · 3)(2 ⋹ 3).
Und unschwer überzeugt man sich, dass zu den bisherigen 6 + 15 + 1 Kom-
binationen φ), φ3), φ6) als neue nur noch die 6 hinzutreten:
φ7) [Formel 2]
bei deren Ausrechnung blos in Betracht kam, dass (ā ɟ 1') · a ; 1 = (ā ɟ 1')a, etc.
— vergl. 15), S. 210.

Die Gesamtzahl dieser Kombinationen (ungerechnet die eine zur nullten
Klasse) beträgt hienach 28.

Diese nunmehr noch mit den dreien φ5) und letztre unter sich zu kom-
biniren überlassen wir dem Leser. —

Formuliren wir auch: dass das a-Bild von i enthalten sei im a-Bild von j,
so werden wir bekommen:
χ) (a ; i ⋹ a ; j) = 0 ɟ (ā ; i + a ; j) = (ā̆ ɟ a)i j = ĭ ; (ā̆ ɟ a) ; j.
Denn L = Πh k(Σlah lil k ⋹ Σlah ljl k) = Πh(Σlah l1'i l ⋹ Σlah l1'j l) =
= Πh(ah i ⋹ ah j) = Πh(āh i + ah j) = (ā̆ ɟ a)i j.
Man kann aber auch überlegen:
L = (1 ⋹ ā ɟ ī + a ; j = ā ; i + a ; j) = 0 ɟ (ā ; i + a ; j)
nach υ) in Anbetracht dass die Summe in der letzten Klammer System ist
und deshalb das ɟ 0 hinter ihr unterdrückt werden konnte. Auch dies gibt
nun in der That nach 10) S. 414: L = ĭ ; ā̆ ɟ a ; j, was = ĭ ; (ā̆ ɟ a) ; j nach
27) S. 419 ist, q. e. d.

Demnach ist nun auch der Ausdruck für die Gleichheit der a-Bilder
von zwei Elementen dieser:
ψ) (a ; i = a ; j) = 0 ɟ (a ; i · a ; j + ā ; i · ā ; j) = {(ā̆ ɟ a)(ă ɟ ā)}i j = ĭ ; (ā̆ ɟ a)(ă ɟ ā) ; j,
wobei zu beachten war, dass nach 26) S. 419: a ; i · ā ; i = aā ; i = 0 ist,
und dass nach dem gleichen Satze das Relativ j̆ ; (ā̆ ɟ a) ; i, zu ĭ ; (ă ɟ ā) ; j
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[560/0574] Zwölfte Vorlesung. Die weitestgehende, alle andern mit umfassende Bedingung wird: [FORMEL] Da hienach schon gewisse drei von den sechs Bedingungen φ), vor- oder rückwärts angesetzt, alle übrigen nach sich ziehen, so wird die Zahl ihrer Kombinationen zu mehrern gar nicht mehr so erheblich werden. Die sechs letzten Kombinationen φ3) zu zweien sind als eine dritte Bedingung involvirend zugleich auch Kombinationen derselben zu dreien, z. B. (1 ⋹ 2 ⋹ 3) = (1 ⋹ 2)(1 ⋹ 3)(2 ⋹ 3) = (1 + 2 ⋹ 3)(1 ⋹ 2) = (1 ⋹ 2 · 3)(2 ⋹ 3). Und unschwer überzeugt man sich, dass zu den bisherigen 6 + 15 + 1 Kom- binationen φ), φ3), φ6) als neue nur noch die 6 hinzutreten: φ7) [FORMEL] bei deren Ausrechnung blos in Betracht kam, dass (ā ɟ 1') · a ; 1 = (ā ɟ 1')a, etc. — vergl. 15), S. 210. Die Gesamtzahl dieser Kombinationen (ungerechnet die eine zur nullten Klasse) beträgt hienach 28. Diese nunmehr noch mit den dreien φ5) und letztre unter sich zu kom- biniren überlassen wir dem Leser. — Formuliren wir auch: dass das a-Bild von i enthalten sei im a-Bild von j, so werden wir bekommen: χ) (a ; i ⋹ a ; j) = 0 ɟ (ā ; i + a ; j) = (ā̆ ɟ a)i j = ĭ ; (ā̆ ɟ a) ; j. Denn L = Πh k(Σlah lil k ⋹ Σlah ljl k) = Πh(Σlah l1'i l ⋹ Σlah l1'j l) = = Πh(ah i ⋹ ah j) = Πh(āh i + ah j) = (ā̆ ɟ a)i j. Man kann aber auch überlegen: L = (1 ⋹ ā ɟ ī + a ; j = ā ; i + a ; j) = 0 ɟ (ā ; i + a ; j) nach υ) in Anbetracht dass die Summe in der letzten Klammer System ist und deshalb das ɟ 0 hinter ihr unterdrückt werden konnte. Auch dies gibt nun in der That nach 10) S. 414: L = ĭ ; ā̆ ɟ a ; j, was = ĭ ; (ā̆ ɟ a) ; j nach 27) S. 419 ist, q. e. d. Demnach ist nun auch der Ausdruck für die Gleichheit der a-Bilder von zwei Elementen dieser: ψ) (a ; i = a ; j) = 0 ɟ (a ; i · a ; j + ā ; i · ā ; j) = {(ā̆ ɟ a)(ă ɟ ā)}i j = ĭ ; (ā̆ ɟ a)(ă ɟ ā) ; j, wobei zu beachten war, dass nach 26) S. 419: a ; i · ā ; i = aā ; i = 0 ist, und dass nach dem gleichen Satze das Relativ j̆ ; (ā̆ ɟ a) ; i, zu ĭ ; (ă ɟ ā) ; j konvertirt, mit dem obigen χ) vereinigt werden kann zu dem letzten ψ).

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 560. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/574>, abgerufen am 18.02.2025.

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