Ist a ein beliebiges Relativ, so sind beachtenswert die folgenden Formen für die Forderung, dass ein Element i in a enthalten sei: s) (ia) = (ia j 0) = (a j 0)i = i ; (a j 0) = (0 j a) ; i = i ; a j 0 = 0 j a ; i. Zum Beweis der ersten Äquivalenz ist blos zu bemerken, dass wie sie rückwärts als Subsumtion aus a j 0 a a fortiori folgt, sie auch vorwärts als i = i j 0 a j 0 sich ergibt. Das Übrige versteht sich nach dem Bis- herigen von selbst.
Sollte es demnach einmal wünschenswert erscheinen, die im § 31 über Abbildung eines Systems a in ein System b aufgestellten Sätze auf beliebige Relative a, b auszudehnen (was ich übrigens bezweifle), so brauchten blos nachträglich a, b durch a j 0, b j 0 durchweg ersetzt zu werden (nicht aber durch a ; 1, b ; 1) -- siehe dortselbst.
Ist aber a = a j 0 = a ; 1 von vornherein System, so erhalten wir für s einfacher: t) (ia) = ai = i ; a = a ; i, wo die rechte Seite schon ein ausgezeichnetes Relativ 1 ; i ; a ; 1 sein wird. --
Drücken wir uns ferner aus: dass das a-Bild eines Elementes j in einem gegebnen Systeme b(= b ; 1) enthalten sein solle. Das Ergebniss ist: u) (a ; jb) = (an j b)j = (b j an) ; j = j ; (an j b).
Beweis. L = Ph k(Slah ljl h = Slah l1'j lbh k) = Ph(ah jbh) = = Ph(anh j + bh j) = {0 j (an + b)}i j = (b j an)i j = (an j b)j i = (an j b)j, sintemal an j b System, q. e. d.
Schliesslich verdiente wol auf jede Weise zum Ausdruck gebracht zu werden, dass von den 7 Aussagen: ph1)
[Formel 1]
irgend eine aus der andern folge (sofern sich solches nicht schon von selbst versteht), desgleichen, dass irgend zweie, oder mehr, äquivalent sind. Wie viele und welche Bedingungen derart können überhaupt aufgestellt werden?
Zur Beantwortung dieser Fragen wollen wir hier wenigstens das wesent- liche Material zusammentragen.
Wir haben nach m, x, o): ph2)
[Formel 2]
.
Diese drei ersten von unsern 7 Forderungen sind die elementaren, aus denen sich die andern durch Multiplikation zusammensetzen. Nach dem Aussagenschema (ab) = an + b liefert zunächst die Einordnung zwischen je zweien dieser 3 elementaren Forderungen folgende Ausbeute:
[Formel 3]
wobei 1 ; a aus a + 0' ; a entstanden, etc.
Zwölfte Vorlesung.
Ist a ein beliebiges Relativ, so sind beachtenswert die folgenden Formen für die Forderung, dass ein Element i in a enthalten sei: σ) (i ⋹ a) = (i ⋹ a ɟ 0) = (a ɟ 0)i = ĭ ; (a ɟ 0) = (0 ɟ ă) ; i = ĭ ; a ɟ 0 = 0 ɟ ă ; i. Zum Beweis der ersten Äquivalenz ist blos zu bemerken, dass wie sie rückwärts als Subsumtion aus a ɟ 0 ⋹ a a fortiori folgt, sie auch vorwärts als i = i ɟ 0 ⋹ a ɟ 0 sich ergibt. Das Übrige versteht sich nach dem Bis- herigen von selbst.
Sollte es demnach einmal wünschenswert erscheinen, die im § 31 über Abbildung eines Systems a in ein System b aufgestellten Sätze auf beliebige Relative a, b auszudehnen (was ich übrigens bezweifle), so brauchten blos nachträglich a, b durch a ɟ 0, b ɟ 0 durchweg ersetzt zu werden (nicht aber durch a ; 1, b ; 1) — siehe dortselbst.
Ist aber a = a ɟ 0 = a ; 1 von vornherein System, so erhalten wir für σ einfacher: τ) (i ⋹ a) = ai = ĭ ; a = ă ; i, wo die rechte Seite schon ein ausgezeichnetes Relativ 1 ; ĭ ; a ; 1 sein wird. —
Drücken wir uns ferner aus: dass das a-Bild eines Elementes j in einem gegebnen Systeme b(= b ; 1) enthalten sein solle. Das Ergebniss ist: υ) (a ; j ⋹ b) = (ā̆ ɟ b)j = (b̆ ɟ ā) ; j = j̆ ; (ā̆ ɟ b).
Beweis. L = Πh k(Σlah ljl h = Σlah l1'j l ⋹ bh k) = Πh(ah j ⋹ bh) = = Πh(āh j + bh j) = {0 ɟ (ā + b)}i j = (b̆ ɟ ā)i j = (ā̆ ɟ b)j i = (ā̆ ɟ b)j, sintemal ā̆ ɟ b System, q. e. d.
Schliesslich verdiente wol auf jede Weise zum Ausdruck gebracht zu werden, dass von den 7 Aussagen: φ1)
[Formel 1]
irgend eine aus der andern folge (sofern sich solches nicht schon von selbst versteht), desgleichen, dass irgend zweie, oder mehr, äquivalent sind. Wie viele und welche Bedingungen derart können überhaupt aufgestellt werden?
Zur Beantwortung dieser Fragen wollen wir hier wenigstens das wesent- liche Material zusammentragen.
Wir haben nach μ, ξ, ο): φ2)
[Formel 2]
.
Diese drei ersten von unsern 7 Forderungen sind die elementaren, aus denen sich die andern durch Multiplikation zusammensetzen. Nach dem Aussagenschema (α ⋹ β) = ᾱ + β liefert zunächst die Einordnung zwischen je zweien dieser 3 elementaren Forderungen folgende Ausbeute:
[Formel 3]
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[558/0572]
Zwölfte Vorlesung.
Ist a ein beliebiges Relativ, so sind beachtenswert die folgenden Formen
für die Forderung, dass ein Element i in a enthalten sei:
σ) (i ⋹ a) = (i ⋹ a ɟ 0) = (a ɟ 0)i = ĭ ; (a ɟ 0) = (0 ɟ ă) ; i = ĭ ; a ɟ 0 = 0 ɟ ă ; i.
Zum Beweis der ersten Äquivalenz ist blos zu bemerken, dass wie sie
rückwärts als Subsumtion aus a ɟ 0 ⋹ a a fortiori folgt, sie auch vorwärts
als i = i ɟ 0 ⋹ a ɟ 0 sich ergibt. Das Übrige versteht sich nach dem Bis-
herigen von selbst.
Sollte es demnach einmal wünschenswert erscheinen, die im § 31 über
Abbildung eines Systems a in ein System b aufgestellten Sätze auf beliebige
Relative a, b auszudehnen (was ich übrigens bezweifle), so brauchten blos
nachträglich a, b durch a ɟ 0, b ɟ 0 durchweg ersetzt zu werden (nicht aber
durch a ; 1, b ; 1) — siehe dortselbst.
Ist aber a = a ɟ 0 = a ; 1 von vornherein System, so erhalten wir für
σ einfacher:
τ) (i ⋹ a) = ai = ĭ ; a = ă ; i,
wo die rechte Seite schon ein ausgezeichnetes Relativ 1 ; ĭ ; a ; 1 sein wird. —
Drücken wir uns ferner aus: dass das a-Bild eines Elementes j in einem
gegebnen Systeme b(= b ; 1) enthalten sein solle. Das Ergebniss ist:
υ) (a ; j ⋹ b) = (ā̆ ɟ b)j = (b̆ ɟ ā) ; j = j̆ ; (ā̆ ɟ b).
Beweis. L = Πh k(Σlah ljl h = Σlah l1'j l ⋹ bh k) = Πh(ah j ⋹ bh) =
= Πh(āh j + bh j) = {0 ɟ (ā + b)}i j = (b̆ ɟ ā)i j = (ā̆ ɟ b)j i = (ā̆ ɟ b)j, sintemal
ā̆ ɟ b System, q. e. d.
Schliesslich verdiente wol auf jede Weise zum Ausdruck gebracht zu
werden, dass von den 7 Aussagen:
φ1) [FORMEL]
irgend eine aus der andern folge (sofern sich solches nicht schon von selbst
versteht), desgleichen, dass irgend zweie, oder mehr, äquivalent sind. Wie
viele und welche Bedingungen derart können überhaupt aufgestellt werden?
Zur Beantwortung dieser Fragen wollen wir hier wenigstens das wesent-
liche Material zusammentragen.
Wir haben nach μ, ξ, ο):
φ2) [FORMEL].
Diese drei ersten von unsern 7 Forderungen sind die elementaren, aus
denen sich die andern durch Multiplikation zusammensetzen. Nach dem
Aussagenschema (α ⋹ β) = ᾱ + β liefert zunächst die Einordnung zwischen
je zweien dieser 3 elementaren Forderungen folgende Ausbeute:
[FORMEL]
wobei 1 ; a aus a + 0' ; a entstanden, etc.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 558. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/572>, abgerufen am 23.11.2024.
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