(an + an j bn j bn) j bn = an j bn, und damit wird das zweite Glied in der eckigen Klammer gleich (a ; b)(an j bn) ; b = 0 ; b = 0, bleibt also nur zu zeigen, dass (a ; b j bn)a · a ; b ; b = a · a ; b ; b oder a · a ; b ; ba ; b j bn sei. Dies aber folgt mit a(a ; b ; b) ; ba ; b aus 5) des § 6, q. e. d.
Freilich zeigt sich hier der sonderbare und in unsrer Disziplin er- schwerend wirkende Umstand, dass das als Partikularfall des allgemeinen dritten Inversionstheorems auf diesem Wege zu entdecken gewesene Theorem 9) des § 19 dabei unterwegs schon benutzt werden musste, sodass wir seiner selbständigen Entdeckung und Rechtfertigung (wie sie früher gegeben ist) wol nicht entraten könnten!
Im Anschluss hieran sei noch darauf aufmerksam gemacht, dass auch x = a · a ; b ; 1 eine partikulare Lösung vorstellt, sodass wir als Gegenstück zu dem citirten auch noch dieses Formelgespann haben: 100)
[Formel 1]
Man hat nämlich sogleich: a(a ; b ; 1) ; b = a ; b ; 1 · a ; b = a ; b, q. e. d.
Beide Formelgespanne kann man in den allgemeineren Satz zusammen- fassen, dass auch x = a · a ; b ; (b + w) eine Klasse von Partikularlösungen des Problems x ; b = a ; b bei beliebigem w vorstellt, etc., eine Klasse von schon ziemlicher Allgemeinheit und doch einfachem Ausdruck der Wurzeln.
Aufgabe 21. Was endlich die "Determination" unsres allgemeinen Problems 64) betrifft, so sei auch zu dieser ein Beitrag geleistet:
Die vornehmsten Fragen sind: Wann (d. h. unter welchen Bedingungen für a und b) bleibt das durch die Fordrung x ; b = a ; b bestimmte x voll- kommen beliebig? Und wann ist x durch diese Fordrung vollkommen bestimmt?
Die erste Frage ist leicht dahin zu beantworten: dass b gleich 0 sein muss, wenn x = u ganz unbestimmt sein soll. Denn wenn für jedes u sein soll u ; b = a ; b, so muss -- wie die Annahme u = 0 zeigt -- a ; b = 0 sein, dann also u ; b = 0 für jedes u, mithin auch 1 ; b = 0 oder b = 0, q. e. d.
Für die Bejahung der zweiten Frage erkannten wir zwar b = 1', wo x = a sein muss, als eine hinreichende Bedingung, doch ist dieselbe keines- wegs notwendig. Um die notwendige und hinreichende Bedingung dafür zu finden, dass es nur eine Wurzel der Gleichung x ; b = a ; b gebe, oder: dass die Lösung 64) inbezug auf u konstant sei, müssen wir etwas weiter aus- holen.
Die ausreichende sive zulängliche und notwendige sive unerläss- liche Bedingung dafür, dass eine Funktion f(u) eines (beschränkt oder
§ 29. Partikularlösungen. Determination.
(ā + ā ɟ b̄ ɟ b̄̆) ɟ b̄ = ā ɟ b̄, und damit wird das zweite Glied in der eckigen Klammer gleich (a ; b)(ā ɟ b̄) ; b̆ = 0 ; b̆ = 0, bleibt also nur zu zeigen, dass (a ; b ɟ b̄̆)a · a ; b ; b̆ = a · a ; b ; b̆ oder a · a ; b ; b̆ ⋹ a ; b ɟ b̄̆ sei. Dies aber folgt mit a(a ; b ; b̆) ; b ⋹ a ; b aus 5) des § 6, q. e. d.
Freilich zeigt sich hier der sonderbare und in unsrer Disziplin er- schwerend wirkende Umstand, dass das als Partikularfall des allgemeinen dritten Inversionstheorems auf diesem Wege zu entdecken gewesene Theorem 9) des § 19 dabei unterwegs schon benutzt werden musste, sodass wir seiner selbständigen Entdeckung und Rechtfertigung (wie sie früher gegeben ist) wol nicht entraten könnten!
Im Anschluss hieran sei noch darauf aufmerksam gemacht, dass auch x = a · a ; b ; 1 eine partikulare Lösung vorstellt, sodass wir als Gegenstück zu dem citirten auch noch dieses Formelgespann haben: 100)
[Formel 1]
Man hat nämlich sogleich: a(a ; b ; 1) ; b = a ; b ; 1 · a ; b = a ; b, q. e. d.
Beide Formelgespanne kann man in den allgemeineren Satz zusammen- fassen, dass auch x = a · a ; b ; (b̆ + w) eine Klasse von Partikularlösungen des Problems x ; b = a ; b bei beliebigem w vorstellt, etc., eine Klasse von schon ziemlicher Allgemeinheit und doch einfachem Ausdruck der Wurzeln.
Aufgabe 21. Was endlich die „Determination“ unsres allgemeinen Problems 64) betrifft, so sei auch zu dieser ein Beitrag geleistet:
Die vornehmsten Fragen sind: Wann (d. h. unter welchen Bedingungen für a und b) bleibt das durch die Fordrung x ; b = a ; b bestimmte x voll- kommen beliebig? Und wann ist x durch diese Fordrung vollkommen bestimmt?
Die erste Frage ist leicht dahin zu beantworten: dass b gleich 0 sein muss, wenn x = u ganz unbestimmt sein soll. Denn wenn für jedes u sein soll u ; b = a ; b, so muss — wie die Annahme u = 0 zeigt — a ; b = 0 sein, dann also u ; b = 0 für jedes u, mithin auch 1 ; b = 0 oder b = 0, q. e. d.
Für die Bejahung der zweiten Frage erkannten wir zwar b = 1', wo x = a sein muss, als eine hinreichende Bedingung, doch ist dieselbe keines- wegs notwendig. Um die notwendige und hinreichende Bedingung dafür zu finden, dass es nur eine Wurzel der Gleichung x ; b = a ; b gebe, oder: dass die Lösung 64) inbezug auf u konstant sei, müssen wir etwas weiter aus- holen.
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[541/0555]
§ 29. Partikularlösungen. Determination.
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dritten Inversionstheorems auf diesem Wege zu entdecken gewesene Theorem 9)
des § 19 dabei unterwegs schon benutzt werden musste, sodass wir seiner
selbständigen Entdeckung und Rechtfertigung (wie sie früher gegeben ist)
wol nicht entraten könnten!
Im Anschluss hieran sei noch darauf aufmerksam gemacht, dass auch
x = a · a ; b ; 1 eine partikulare Lösung vorstellt, sodass wir als Gegenstück
zu dem citirten auch noch dieses Formelgespann haben:
100) [FORMEL]
Man hat nämlich sogleich:
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Problems x ; b = a ; b bei beliebigem w vorstellt, etc., eine Klasse von schon
ziemlicher Allgemeinheit und doch einfachem Ausdruck der Wurzeln.
Aufgabe 21. Was endlich die „Determination“ unsres allgemeinen
Problems 64) betrifft, so sei auch zu dieser ein Beitrag geleistet:
Die vornehmsten Fragen sind: Wann (d. h. unter welchen Bedingungen
für a und b) bleibt das durch die Fordrung x ; b = a ; b bestimmte x voll-
kommen beliebig? Und wann ist x durch diese Fordrung vollkommen bestimmt?
Die erste Frage ist leicht dahin zu beantworten: dass b gleich 0 sein
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dann also u ; b = 0 für jedes u, mithin auch 1 ; b = 0 oder b = 0, q. e. d.
Für die Bejahung der zweiten Frage erkannten wir zwar b = 1', wo
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finden, dass es nur eine Wurzel der Gleichung x ; b = a ; b gebe, oder: dass
die Lösung 64) inbezug auf u konstant sei, müssen wir etwas weiter aus-
holen.
Die ausreichende sive zulängliche und notwendige sive unerläss-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 541. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/555>, abgerufen am 18.02.2025.
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