Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Elfte Vorlesung.

worin der Faktor a wie sich zeigt auch weggelassen werden kann, und dies
führt b, a für ā, b̄ gesagt zu einem tiefer liegenden Satze:
99)

ab⋹ {(a + b ; 0') ɟ 1'} ; 0'

a(b ɟ 1') ; 0' ɟ 1' ⋹ a + b

etc., zu dessen Beweis die Koeffizientenevidenz angerufen werden muss, sinte-
mal weder a ⋹ (a ɟ 1') ; 0' noch b ⋹ (b ; 0' ɟ 1') ; 0' = b ; 0' für sich gilt.
Sagen wir für die erste Subsumtion S ⋹ P, so ist S_{i j} = a_{i j}b_{i j} ⋹ P_{i j} zu
zeigen, wo
P_{i j} = Σ_h0'_{h j}Π_k(a_{i k} + Σ_lb_{i l}0'_{l k} + 1'_{k h}).

Um es ganz analytisch zu machen, fügen wir zum allgemeinen Faktor
des Π_k den Term 0'_{k j}1'_{k j} hinzu, welcher ja = 0 ist, und zerlegen gemäss dem
Schema a + bc = (a + b)(a + c), das Π_k des ersten Faktors sogleich gemäss 12₊)
S. 121 evaluirend: so kommt:
P_{i j} = Σ_h0'_{h j}(a_{i j} + Σ_lb_{i l}0'_{l j})Π_k(a_{i k} + Σ_lb_{i l}0'_{l k} + 1'_{k h} + 1'_{k j}).
Multipliziren wir ferner das allgemeine Glied der letzten Σ_l mit 1'_{l j} + 0'_{l j},
welches ja = 1 ist, und evaluiren die vom ersten Terme herrührende Σ_l ge-
mäss 12_×) S. 121, so tritt der Summand b_{i j} · 0'_{j k} auf, der sich wegen des
folgenden 1'_{k j} zu b_{i j} vereinfacht, und lässt sich dieses Glied als ein von k un-
abhängiges vor das Π_k schieben. Es entsteht:
P_{i j} = Σ_h0'_{h j}(a_{i j} + Σ_lb_{i l}0'_{l j}){b_{i j} + Π_k(a_{i k} + Σ_lb_{i l}0'_{l k}0'_{l j} + 1'_{k h} + 1'_{k j})}.
Durch Ausmultipliziren lassen sich hieraus leicht die Glieder herausheben:
a_{i j}b_{i j}Σ_h0'_{h j} = (ab)_{i j} · 1 = S_{i j}, womit die Einordnung und damit alles Bis-
herige bewiesen ist.

In 99) dürfte links zum Subjekte natürlich auch noch b ; 0' als Glied
hinzugefügt werden. —

Noch besser als die — auf S. 272 unten — angegebene Formel für x
würde diese:
x = (a ; b ɟ b̄̆)[(ā ɟ b̄) ; b̆ ; b + u + (ū ɟ b̄) ; b̆]
empirisch die Resultate zusammenfassen, welche sich für b = einem der vier
Modulwerte auf S. 268 sq. für die allgemeine Wurzel von x ; b = a ; b ergeben
haben. Bei beliebigem b gelingt es mir jedoch nicht, die Lösungen S. 266
des dritten Inversionsproblems noch ähnlich zu vereinfachen.

Studie 20. Auch inbezug auf Partikularlösungen des allgemeinen
(dritten) Inversionsproblems kann ich zu dem in § 19 erreichten Stand-
punkt noch Einiges hinzufügen.

Um nachzuweisen, dass die Einsetzung von u = a · a ; b ; b̆ in die all-
gemeine Lösung 64) unsres Problems auch x = u liefern muss, mithin dieses u
eine partikulare Lösung, Wurzel vorstellt, war die folgende fast monströs er-
scheinende Gleichung als eine allgemein gültige Formel zu beweisen:
[Formel 1] .
In dieser kommt zunächst nach einer S. 267 erwähnten aus a ; b ⋹ a ; b dort
gefolgerten Formel ā + (ā ɟ b̄) ; b̆ = ā das unterwellte Glied in Wegfall. Weil
sodann nach 9) des § 19 a(a ; b ; b̆) ; b = a ; b ist, so haben wir