unbeschränkt) variabeln Relativs u inbezug auf dasselbe konstant sei, ist: 101)
[Formel 1]
(wobei im erstern in der Klammer erwähnten Falle die S und P nur über den Variabilitätsbereich von u zu erstrecken sind, im zweiten -- hiernächst vorliegenden -- Falle aber die absolute Erstreckung haben).
Denn ist f(u) = e für alle u von gleichem Werte, so gilt wegen
[Formel 2]
und
[Formel 3]
gewiss die obige Gleichung. Umgekehrt, wenn diese gilt, so kann man den übereinstimmenden Wert ihrer beiderseitigen Ausdrücke e nennen (und wird solcher, da u in jenen nur als laufender Zeiger auftritt, unabhängig von u sein). Wegen f(u) Sf(u) und Pf(u) f(u) hat man sodann für jedes u auch f(u) e und ef(u), mithin f(u) = e, wie zu zeigen war. --
Unter Anwendung dieses Schema's 101) findet man nun durch Ver- gleichung von 65) mit 66): c = cSi .., oder cSi .., d. h. 102) cSii · (c ; b){cn j (bn + i)} ; 1 als die gesuchte notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Wurzel x der Gleichung x ; b = a ; b durch ebendiese vollkommen bestimmt (= a) sei.
Kraft dieser Forderung wird sogar das als a ; b j bn definirte c gleich a selbst sein müssen, wie -- wol ungleich leichter als aus ihr selbst -- aus der Bemerkung hervorgeht, dass, weil c und a stets Wurzeln sind, auch diese zusammenfallen müssen.
Es müssen überhaupt die allgemein bekannten Partikularlösungen der Gleichung zusammenfallen, was uns -- cf. S. 260 -- c = a = a · a ; b ; b = = c · a ; b ; b liefert und auf die Doppelsubsumtion hinausläuft: 103) a ; b j bnaa ; b ; b, deren erster Teil die Kraft einer Gleichung hat.
Beim Überspringen (Ignoriren) des mittleren Terms folgt (a ; b j bn)(an j bn j bn) = (a ; b)(an j bn) j bn = 0 j bn 0, was konvertirt bn j 0 = 0, somit als eine Resultante für b liefert: 104) b ; 1 = 1 und lehrt, dass b keine Leerzeilen haben darf. Auch dieses Ergebniss durch Elimination von a aus 102) direkt zu gewinnen, dürfte seine Schwierigkeiten haben.
In 102) darf nach alledem auch a für c geschrieben werden. Thut man dies, nachdem man sämtliche vier Schreibweisen aus 66) berücksichtigt, und bringt rechts auf 0, so entsteht ebenfalls in vier Formen: 105)
[Formel 4]
Elfte Vorlesung.
unbeschränkt) variabeln Relativs u inbezug auf dasselbe konstant sei, ist: 101)
[Formel 1]
(wobei im erstern in der Klammer erwähnten Falle die Σ und Π nur über den Variabilitätsbereich von u zu erstrecken sind, im zweiten — hiernächst vorliegenden — Falle aber die absolute Erstreckung haben).
Denn ist f(u) = e für alle u von gleichem Werte, so gilt wegen
[Formel 2]
und
[Formel 3]
gewiss die obige Gleichung. Umgekehrt, wenn diese gilt, so kann man den übereinstimmenden Wert ihrer beiderseitigen Ausdrücke e nennen (und wird solcher, da u in jenen nur als laufender Zeiger auftritt, unabhängig von u sein). Wegen f(u) ⋹ Σf(u) und Πf(u) ⋹ f(u) hat man sodann für jedes u auch f(u) ⋹ e und e ⋹ f(u), mithin f(u) = e, wie zu zeigen war. —
Unter Anwendung dieses Schema’s 101) findet man nun durch Ver- gleichung von 65) mit 66): c = cΣi ‥, oder c ⋹ Σi ‥, d. h. 102) c⋹Σiĭ · (c ; b){c̄ ɟ (b̄ + i)} ; 1 als die gesuchte notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Wurzel x der Gleichung x ; b = a ; b durch ebendiese vollkommen bestimmt (= a) sei.
Kraft dieser Forderung wird sogar das als a ; b ɟ b̄̆ definirte c gleich a selbst sein müssen, wie — wol ungleich leichter als aus ihr selbst — aus der Bemerkung hervorgeht, dass, weil c und a stets Wurzeln sind, auch diese zusammenfallen müssen.
Es müssen überhaupt die allgemein bekannten Partikularlösungen der Gleichung zusammenfallen, was uns — cf. S. 260 — c = a = a · a ; b ; b̆ = = c · a ; b ; b̆ liefert und auf die Doppelsubsumtion hinausläuft: 103) a ; b ɟ b̄̆ ⋹ a ⋹ a ; b ; b̆, deren erster Teil die Kraft einer Gleichung hat.
Beim Überspringen (Ignoriren) des mittleren Terms folgt (a ; b ɟ b̄̆)(ā ɟ b̄ ɟ b̄̆) = (a ; b)(ā ɟ b̄) ɟ b̄̆ = 0 ɟ b̄̆ ⋹ 0, was konvertirt b̄ ɟ 0 = 0, somit als eine Resultante für b liefert: 104) b ; 1 = 1 und lehrt, dass b keine Leerzeilen haben darf. Auch dieses Ergebniss durch Elimination von a aus 102) direkt zu gewinnen, dürfte seine Schwierigkeiten haben.
In 102) darf nach alledem auch a für c geschrieben werden. Thut man dies, nachdem man sämtliche vier Schreibweisen aus 66) berücksichtigt, und bringt rechts auf 0, so entsteht ebenfalls in vier Formen: 105)
[Formel 4]
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><pbfacs="#f0556"n="542"/><fwplace="top"type="header">Elfte Vorlesung.</fw><lb/>
unbeschränkt) variabeln Relativs <hirendition="#i">u</hi> inbezug auf dasselbe <hirendition="#i">konstant</hi><lb/>
sei, ist:<lb/>
101) <hirendition="#et"><formula/></hi><lb/>
(wobei im erstern in der Klammer erwähnten Falle die <hirendition="#i">Σ</hi> und <hirendition="#i">Π</hi> nur<lb/>
über den Variabilitätsbereich von <hirendition="#i">u</hi> zu erstrecken sind, im zweiten<lb/>— hiernächst vorliegenden — Falle aber die absolute Erstreckung haben).</p><lb/><p>Denn ist <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) = <hirendition="#i">e</hi> für alle <hirendition="#i">u</hi> von gleichem Werte, so gilt wegen <formula/><lb/>
und <formula/> gewiss die obige Gleichung. Umgekehrt, wenn diese gilt, so<lb/>
kann man den übereinstimmenden Wert ihrer beiderseitigen Ausdrücke <hirendition="#i">e</hi><lb/>
nennen (und wird solcher, da <hirendition="#i">u</hi> in jenen nur als laufender Zeiger auftritt,<lb/>
unabhängig von <hirendition="#i">u</hi> sein). Wegen <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) ⋹<hirendition="#i">Σf</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) und <hirendition="#i">Πf</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) ⋹<hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) hat man<lb/>
sodann für jedes <hirendition="#i">u</hi> auch <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) ⋹<hirendition="#i">e</hi> und <hirendition="#i">e</hi>⋹<hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>), mithin <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) = <hirendition="#i">e</hi>, wie zu<lb/>
zeigen war. —</p><lb/><p>Unter Anwendung dieses Schema’s 101) findet man nun durch Ver-<lb/>
gleichung von 65) mit 66): <hirendition="#i">c</hi> = <hirendition="#i">cΣ<hirendition="#sub">i</hi></hi>‥, oder <hirendition="#i">c</hi>⋹<hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">i</hi></hi>‥, d. h.<lb/>
102) <hirendition="#et"><hirendition="#i">c</hi>⋹<hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">i</hi>ĭ</hi> · (<hirendition="#i">c</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>){<hirendition="#i">c̄</hi>ɟ (<hirendition="#i">b̄</hi> + <hirendition="#i">i</hi>)} ; 1</hi><lb/>
als die gesuchte notwendige und hinreichende <hirendition="#i">Bedingung</hi> dafür, dass die<lb/>
Wurzel <hirendition="#i">x</hi> der Gleichung <hirendition="#i">x</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> = <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> durch ebendiese vollkommen bestimmt<lb/>
(= <hirendition="#i">a</hi>) sei.</p><lb/><p>Kraft dieser Forderung wird sogar das als <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>ɟ<hirendition="#i">b̄̆</hi> definirte <hirendition="#i">c</hi> gleich <hirendition="#i">a</hi><lb/>
selbst sein müssen, wie — wol ungleich leichter als aus ihr selbst — aus<lb/>
der Bemerkung hervorgeht, dass, weil <hirendition="#i">c</hi> und <hirendition="#i">a</hi> stets Wurzeln sind, auch diese<lb/>
zusammenfallen müssen.</p><lb/><p>Es müssen überhaupt die allgemein bekannten Partikularlösungen der<lb/>
Gleichung zusammenfallen, was uns — cf. S. 260 —<hirendition="#i">c</hi> = <hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">a</hi> · <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> ; <hirendition="#i">b̆</hi> =<lb/>
= <hirendition="#i">c</hi> · <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> ; <hirendition="#i">b̆</hi> liefert und auf die Doppelsubsumtion hinausläuft:<lb/>
103) <hirendition="#et"><hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>ɟ<hirendition="#i">b̄̆</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi> ; <hirendition="#i">b̆</hi>,</hi><lb/>
deren erster Teil die Kraft einer Gleichung hat.</p><lb/><p>Beim Überspringen (Ignoriren) des mittleren Terms folgt<lb/><hirendition="#c">(<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>ɟ<hirendition="#i">b̄̆</hi>)(<hirendition="#i">ā</hi>ɟ<hirendition="#i">b̄</hi>ɟ<hirendition="#i">b̄̆</hi>) = (<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">b</hi>)(<hirendition="#i">ā</hi>ɟ<hirendition="#i">b̄</hi>) ɟ<hirendition="#i">b̄̆</hi> = 0 ɟ<hirendition="#i">b̄̆</hi>⋹ 0,</hi><lb/>
was konvertirt <hirendition="#i">b̄</hi>ɟ 0 = 0, somit als eine Resultante für <hirendition="#i">b</hi> liefert:<lb/>
104) <hirendition="#et"><hirendition="#i">b</hi> ; 1 = 1</hi><lb/>
und lehrt, dass <hirendition="#i">b</hi> keine Leerzeilen haben darf. Auch dieses Ergebniss durch<lb/>
Elimination von <hirendition="#i">a</hi> aus 102) direkt zu gewinnen, dürfte seine Schwierigkeiten<lb/>
haben.</p><lb/><p>In 102) darf nach alledem auch <hirendition="#i">a</hi> für <hirendition="#i">c</hi> geschrieben <choice><sic>werdeu</sic><corr>werden</corr></choice>. Thut man<lb/>
dies, nachdem man sämtliche vier Schreibweisen aus 66) berücksichtigt, und<lb/>
bringt rechts auf 0, so entsteht ebenfalls in vier Formen:<lb/>
105) <formula/><lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[542/0556]
Elfte Vorlesung.
unbeschränkt) variabeln Relativs u inbezug auf dasselbe konstant
sei, ist:
101) [FORMEL]
(wobei im erstern in der Klammer erwähnten Falle die Σ und Π nur
über den Variabilitätsbereich von u zu erstrecken sind, im zweiten
— hiernächst vorliegenden — Falle aber die absolute Erstreckung haben).
Denn ist f(u) = e für alle u von gleichem Werte, so gilt wegen [FORMEL]
und [FORMEL] gewiss die obige Gleichung. Umgekehrt, wenn diese gilt, so
kann man den übereinstimmenden Wert ihrer beiderseitigen Ausdrücke e
nennen (und wird solcher, da u in jenen nur als laufender Zeiger auftritt,
unabhängig von u sein). Wegen f(u) ⋹ Σf(u) und Πf(u) ⋹ f(u) hat man
sodann für jedes u auch f(u) ⋹ e und e ⋹ f(u), mithin f(u) = e, wie zu
zeigen war. —
Unter Anwendung dieses Schema’s 101) findet man nun durch Ver-
gleichung von 65) mit 66): c = cΣi ‥, oder c ⋹ Σi ‥, d. h.
102) c⋹Σiĭ · (c ; b){c̄ ɟ (b̄ + i)} ; 1
als die gesuchte notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die
Wurzel x der Gleichung x ; b = a ; b durch ebendiese vollkommen bestimmt
(= a) sei.
Kraft dieser Forderung wird sogar das als a ; b ɟ b̄̆ definirte c gleich a
selbst sein müssen, wie — wol ungleich leichter als aus ihr selbst — aus
der Bemerkung hervorgeht, dass, weil c und a stets Wurzeln sind, auch diese
zusammenfallen müssen.
Es müssen überhaupt die allgemein bekannten Partikularlösungen der
Gleichung zusammenfallen, was uns — cf. S. 260 — c = a = a · a ; b ; b̆ =
= c · a ; b ; b̆ liefert und auf die Doppelsubsumtion hinausläuft:
103) a ; b ɟ b̄̆ ⋹ a ⋹ a ; b ; b̆,
deren erster Teil die Kraft einer Gleichung hat.
Beim Überspringen (Ignoriren) des mittleren Terms folgt
(a ; b ɟ b̄̆)(ā ɟ b̄ ɟ b̄̆) = (a ; b)(ā ɟ b̄) ɟ b̄̆ = 0 ɟ b̄̆ ⋹ 0,
was konvertirt b̄ ɟ 0 = 0, somit als eine Resultante für b liefert:
104) b ; 1 = 1
und lehrt, dass b keine Leerzeilen haben darf. Auch dieses Ergebniss durch
Elimination von a aus 102) direkt zu gewinnen, dürfte seine Schwierigkeiten
haben.
In 102) darf nach alledem auch a für c geschrieben werden. Thut man
dies, nachdem man sämtliche vier Schreibweisen aus 66) berücksichtigt, und
bringt rechts auf 0, so entsteht ebenfalls in vier Formen:
105) [FORMEL]
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 542. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/556>, abgerufen am 18.02.2025.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
2007–2025 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
(Kontakt).
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2025. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.