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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.
unbeschränkt) variabeln Relativs u inbezug auf dasselbe konstant
sei, ist:
101) [Formel 1]
(wobei im erstern in der Klammer erwähnten Falle die S und P nur
über den Variabilitätsbereich von u zu erstrecken sind, im zweiten
-- hiernächst vorliegenden -- Falle aber die absolute Erstreckung haben).

Denn ist f(u) = e für alle u von gleichem Werte, so gilt wegen [Formel 2]
und [Formel 3] gewiss die obige Gleichung. Umgekehrt, wenn diese gilt, so
kann man den übereinstimmenden Wert ihrer beiderseitigen Ausdrücke e
nennen (und wird solcher, da u in jenen nur als laufender Zeiger auftritt,
unabhängig von u sein). Wegen f(u) Sf(u) und Pf(u) f(u) hat man
sodann für jedes u auch f(u) e und e f(u), mithin f(u) = e, wie zu
zeigen war. --

Unter Anwendung dieses Schema's 101) findet man nun durch Ver-
gleichung von 65) mit 66): c = cSi .., oder c Si .., d. h.
102) cSii · (c ; b){cn j (bn + i)} ; 1
als die gesuchte notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die
Wurzel x der Gleichung x ; b = a ; b durch ebendiese vollkommen bestimmt
(= a) sei.

Kraft dieser Forderung wird sogar das als a ; b j bn definirte c gleich a
selbst sein müssen, wie -- wol ungleich leichter als aus ihr selbst -- aus
der Bemerkung hervorgeht, dass, weil c und a stets Wurzeln sind, auch diese
zusammenfallen müssen.

Es müssen überhaupt die allgemein bekannten Partikularlösungen der
Gleichung zusammenfallen, was uns -- cf. S. 260 -- c = a = a · a ; b ; b =
= c · a ; b ; b liefert und auf die Doppelsubsumtion hinausläuft:
103) a ; b j bn a a ; b ; b,
deren erster Teil die Kraft einer Gleichung hat.

Beim Überspringen (Ignoriren) des mittleren Terms folgt
(a ; b j bn)(an j bn j bn) = (a ; b)(an j bn) j bn = 0 j bn 0,
was konvertirt bn j 0 = 0, somit als eine Resultante für b liefert:
104) b ; 1 = 1
und lehrt, dass b keine Leerzeilen haben darf. Auch dieses Ergebniss durch
Elimination von a aus 102) direkt zu gewinnen, dürfte seine Schwierigkeiten
haben.

In 102) darf nach alledem auch a für c geschrieben werden. Thut man
dies, nachdem man sämtliche vier Schreibweisen aus 66) berücksichtigt, und
bringt rechts auf 0, so entsteht ebenfalls in vier Formen:
105) [Formel 4]

Elfte Vorlesung.
unbeschränkt) variabeln Relativs u inbezug auf dasselbe konstant
sei, ist:
101) [Formel 1]
(wobei im erstern in der Klammer erwähnten Falle die Σ und Π nur
über den Variabilitätsbereich von u zu erstrecken sind, im zweiten
— hiernächst vorliegenden — Falle aber die absolute Erstreckung haben).

Denn ist f(u) = e für alle u von gleichem Werte, so gilt wegen [Formel 2]
und [Formel 3] gewiss die obige Gleichung. Umgekehrt, wenn diese gilt, so
kann man den übereinstimmenden Wert ihrer beiderseitigen Ausdrücke e
nennen (und wird solcher, da u in jenen nur als laufender Zeiger auftritt,
unabhängig von u sein). Wegen f(u) ⋹ Σf(u) und Πf(u) ⋹ f(u) hat man
sodann für jedes u auch f(u) ⋹ e und e ⋹ f(u), mithin f(u) = e, wie zu
zeigen war. —

Unter Anwendung dieses Schema’s 101) findet man nun durch Ver-
gleichung von 65) mit 66): c = cΣi ‥, oder c ⋹ Σi ‥, d. h.
102) c⋹Σiĭ · (c ; b){c̄ ɟ (b̄ + i)} ; 1
als die gesuchte notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die
Wurzel x der Gleichung x ; b = a ; b durch ebendiese vollkommen bestimmt
(= a) sei.

Kraft dieser Forderung wird sogar das als a ; b ɟ b̄̆ definirte c gleich a
selbst sein müssen, wie — wol ungleich leichter als aus ihr selbst — aus
der Bemerkung hervorgeht, dass, weil c und a stets Wurzeln sind, auch diese
zusammenfallen müssen.

Es müssen überhaupt die allgemein bekannten Partikularlösungen der
Gleichung zusammenfallen, was uns — cf. S. 260 — c = a = a · a ; b ; b̆ =
= c · a ; b ; b̆ liefert und auf die Doppelsubsumtion hinausläuft:
103) a ; b ɟ b̄̆ ⋹ a ⋹ a ; b ; b̆,
deren erster Teil die Kraft einer Gleichung hat.

Beim Überspringen (Ignoriren) des mittleren Terms folgt
(a ; b ɟ b̄̆)(ā ɟ b̄ ɟ b̄̆) = (a ; b)(ā ɟ b̄) ɟ b̄̆ = 0 ɟ b̄̆ ⋹ 0,
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104) b ; 1 = 1
und lehrt, dass b keine Leerzeilen haben darf. Auch dieses Ergebniss durch
Elimination von a aus 102) direkt zu gewinnen, dürfte seine Schwierigkeiten
haben.

In 102) darf nach alledem auch a für c geschrieben werden. Thut man
dies, nachdem man sämtliche vier Schreibweisen aus 66) berücksichtigt, und
bringt rechts auf 0, so entsteht ebenfalls in vier Formen:
105) [Formel 4] 

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[542/0556] Elfte Vorlesung. unbeschränkt) variabeln Relativs u inbezug auf dasselbe konstant sei, ist: 101) [FORMEL] (wobei im erstern in der Klammer erwähnten Falle die Σ und Π nur über den Variabilitätsbereich von u zu erstrecken sind, im zweiten — hiernächst vorliegenden — Falle aber die absolute Erstreckung haben). Denn ist f(u) = e für alle u von gleichem Werte, so gilt wegen [FORMEL] und [FORMEL] gewiss die obige Gleichung. Umgekehrt, wenn diese gilt, so kann man den übereinstimmenden Wert ihrer beiderseitigen Ausdrücke e nennen (und wird solcher, da u in jenen nur als laufender Zeiger auftritt, unabhängig von u sein). Wegen f(u) ⋹ Σf(u) und Πf(u) ⋹ f(u) hat man sodann für jedes u auch f(u) ⋹ e und e ⋹ f(u), mithin f(u) = e, wie zu zeigen war. — Unter Anwendung dieses Schema’s 101) findet man nun durch Ver- gleichung von 65) mit 66): c = cΣi ‥, oder c ⋹ Σi ‥, d. h. 102) c⋹Σiĭ · (c ; b){c̄ ɟ (b̄ + i)} ; 1 als die gesuchte notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Wurzel x der Gleichung x ; b = a ; b durch ebendiese vollkommen bestimmt (= a) sei. Kraft dieser Forderung wird sogar das als a ; b ɟ b̄̆ definirte c gleich a selbst sein müssen, wie — wol ungleich leichter als aus ihr selbst — aus der Bemerkung hervorgeht, dass, weil c und a stets Wurzeln sind, auch diese zusammenfallen müssen. Es müssen überhaupt die allgemein bekannten Partikularlösungen der Gleichung zusammenfallen, was uns — cf. S. 260 — c = a = a · a ; b ; b̆ = = c · a ; b ; b̆ liefert und auf die Doppelsubsumtion hinausläuft: 103) a ; b ɟ b̄̆ ⋹ a ⋹ a ; b ; b̆, deren erster Teil die Kraft einer Gleichung hat. Beim Überspringen (Ignoriren) des mittleren Terms folgt (a ; b ɟ b̄̆)(ā ɟ b̄ ɟ b̄̆) = (a ; b)(ā ɟ b̄) ɟ b̄̆ = 0 ɟ b̄̆ ⋹ 0, was konvertirt b̄ ɟ 0 = 0, somit als eine Resultante für b liefert: 104) b ; 1 = 1 und lehrt, dass b keine Leerzeilen haben darf. Auch dieses Ergebniss durch Elimination von a aus 102) direkt zu gewinnen, dürfte seine Schwierigkeiten haben. In 102) darf nach alledem auch a für c geschrieben werden. Thut man dies, nachdem man sämtliche vier Schreibweisen aus 66) berücksichtigt, und bringt rechts auf 0, so entsteht ebenfalls in vier Formen: 105) [FORMEL]

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 542. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/556>, abgerufen am 17.05.2024.