Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 29. Zum dritten Inversionsproblem.

bindung a ; 0' = c, ā ɟ 1' = c̄ vorkommt. Sagt man wiederum a für dieses c
und b für u, so wird sich in der That schon als eine allgemeingültige Formel
beweisen lassen, dass unbedingt:
96) (a ɟ 1')[b + ā{(b̄ + ā ; 0') ɟ 1'} ; 0'] = (a ɟ 1'){ā + b + (b̄ ɟ 1') ; 0'}.

Beweis. Die beiden Teilsubsumtionen dieser Gleichung L = R zer-
fallen selbst wieder, weil ihr Prädikat ein Produkt ist, und sind hievon die
Teilforderungen L ⋹ a ɟ 1' und R ⋹ a ɟ 1' schon augenscheinlich erfüllt.
Bleibt also nur noch zu zeigen, dass:
R⋹b + a{(b̄ + ā ; 0') ɟ 1'} ; 0' und L ⋹ ā + b + (b̄ ɟ 1') ; 0',
d. h. b̄R und ab̄L bezüglich ⋹ dem letzten Gliede rechts. Das letztre rechts
vollends auf 0 gebracht läuft auf
ab̄(b ; 0' ɟ 1')(a ɟ 1') · a{(b̄ + ā ; 0') ɟ 1'} ; 0' = 0
hinaus, wobei noch der Faktor b̄ sich als irrelevant erweist. Ersetzt man
(a ɟ 1')a durch a ɟ 0, so kann man zunächst den aufgrund von 24) S. 255
und (a ɟ 0)a = a ɟ 0 leicht erweislichen Satz anwenden:
97) (a ɟ 0) · ab ; c = (a ɟ 0) · b ; c.
Darnach bleibt noch zu zeigen, dass
(a ɟ 0)(b ; 0' ɟ 1') · {(ā ; 0' + b̄) ɟ 1'} ; 0' = 0.
Auch ohne genannten Satz würde aus letzterem die Behauptung schon a for-
tiori folgen.

Hierin lässt sich nun ferner der Term ā ; 0' unterdrücken, wonach der
letzte Faktor als das Negat des vorletzten erscheint und die Behauptung ein-
leuchtet.

Jenes folgt daraus, dass überhaupt sein muss:
98) (a ɟ 0) · {(ā ; b + c) ɟ d} ; e = (a ɟ 0) · (c ɟ d) ; e.
Denn multiplizirt man mit (a ɟ 0)_{i j} nämlich Π_ha_{i h} in die
Σ_kΠ_l(Σ_mā_{i m}b_{m l} + c_{i l} + d_{l k})e_{k j}
hinein, so wird wegen Zusammentreffens jedes ā_{i m} mit einem Faktor a_{i m} des
Π_h die ganze Σ_m getilgt.

Die Subsumtion für ab̄L ist hienach erfüllt, und bleibt noch die für b̄R
nachzuweisen:
b̄R = (a ɟ 1')āb̄ + (a ɟ 1')b̄ · (b̄ ɟ 1') ; 0' ⋹ a{(b̄ + ā ; 0') ɟ 1'} ; 0',
welche wegen des additiv zusammengesetzten Subjektes in zwei Teile zerfällt.
Der letzte leuchtet auch ohne den Faktor b̄ nach Umstellung der zwei letzten
Terme und Ausmultipliziren des a ɟ 1' mit dem Negat der rechten Seite als
a · b(a ɟ 1') ; 0' ɟ 1' ⋹ b ; 0' ɟ 1'
daraus ein, dass der relative Vorsummand links bereits ⋹ dem b ; 0' rechts
erscheint. Denn unterdrückt man identische Faktoren, so muss man allemal
Übergeordnetes erhalten.

Der andre Teil, rechts auf 0 gebracht, fordert ähnlich:
āb̄{a · b(a ɟ 1') ; 0' ɟ 1'} = 0,