Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Elfte Vorlesung.

a ; ī + (ā ɟ i)ĭ in die folgende Klammer, des Inhaltes:
u + a ; ī · (ū ɟ i)ī̆ + (ā ɟ i) · ū ; i + a ; ī · (ū ɟ 0),
hinein, und berücksichtigt, dass nach 29) des § 25: ū ; i · ĭ = ūĭ ist, so er-
hält man nach einer Zusammenziehung von u + ū, und Wiederausmultipli-
ziren mit a ; 1:
89) x = a ; 1 · (ā ɟ i)ĭ + a ; ī · {u + ū ɟ 0 + (ū ɟ i)ī̆}
als erste Lösungsform, welche sich in der zweiten Form noch vereinfacht zu
der in dem Satze dargestellten:
90) [Formel 1] .

Mit letztrer 35) stimmt ganz glatt die Probe 1, gelingt nämlich der
Nachweis, dass
91) x ; ī + x ; 1 · j̄̆ = a ; ī + a ; 1 · j̄̆
bei beliebigem u sein wird. Man braucht nämlich nur immer die Faktoren,
welche „Systeme“ sind, wie a ; 1, a ; ī, ā ɟ i, ū ɟ i, voranzustellen, dann (hinter
einem Punkt) zu berücksichtigen, dass ĭ ; ī = 0, 1 ; ī = 1, ĭ ; 1 = 1, so wird
die linke Seite:
= a ; ī · (ū ɟ i + u ; ī) + a ; 1 · {ā ɟ i + a ; ī · (ū ɟ i + u ; 1)}j̄̆,
und dass nun ū ɟ i + u ; 1 = 1 sein müsse, geht daraus hervor, das u ; 1 auch
u ; ī als Glied (neben u ; i) umfasst, etc. Ähnlich stimmt Probe 1 mit der
Lösungsform 89).

Beide Lösungsformen sind indessen als wesentlich verschiedene leicht
nachzuweisen.

Weniger mühevoll, als durch das Partikularisiren aus dem allgemeinen
Schema 64) der Lösung des dritten Inversionsproblems, ist die Lösung unsrer
Aufgabe wiederum selbständig zu gewinnen. Wir geben hiernächst auch eine
selbständige Auflösung schon darum, weil aus ihr die Relationen zu lernen
sein werden, aufgrund von welchen für unsre Ergebnisse 89), 90) die Probe 2
zu leisten sein wird.

Die aufzulösende Gleichung 91) zerfällt äquivalent in die vier Subsum-
tionen α), die sich bezüglich zu den danebengesetzten β) vereinfachen:
α₁)

x ; ī ⋹ a ; ī + a ; 1 · j̄̆, α_2)x ; 1 · j̄̆ ⋹ a ; ī + a ; 1 · j̄̆

β_1)x⋹a ; ī + ĭ, β_2)x ⋹ a ; 1

α₃)

a ; ī ⋹ x ; ī + x ; 1 · j̄̆, α_4)a ; 1 · j̄̆ ⋹ x ; ī + x ; 1 · j̄̆

β_3) a⋹x ; ī + ĭ, β_4) a ⋹ x ; 1.

Aus α₁ folgt nämlich pariter nach dem ersten Inversionstheoreme:
x⋹ (a ; ī + a ; 1 · j̄̆) ɟ ĭ = a ; ī + a ; 1 · (j̄̆ ɟ 0) + 0 ɟ ĭ = a ; ī + ĭ
und aus α₂) zunächst mit identischem Rechnen:
x ; 1 ⋹ a ; ī + a ; 1 · j̄̆ + j̆ = a ; ī + a ; 1 + j̆ = a ; 1 + j̆,
hernach ebenso: x ⋹ (a ; 1 + j̆) ɟ 0 = a ; 1 + j̆ ɟ 0 = a ; 1 — während in der
zweiten Zeile nur a und x die Rollen tauschen.