Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.

Viertens. Sei b = i : j͞ = ī + j̄̆ = ī ɟ j̄̆ Negat eines Elementepaares,
Einaugennegat oder „Einlücker“, mithin b̄ = ij̆ = ij̆, b̆ = j̄ + ī̆ = j̄ ɟ ī̆,
b̄̆ = jĭ = j ; ĭ. So wird: a ; b = a ; ī + a ; 1 · j̄̆ = a ; 1 · (a ; ī + j̄̆),
c = (a ; 1 ɟ j)(a ; 1 ɟ ĭ){(a ; ī + j̄̆) ɟ jĭ} = (a ; 1 + 0 ɟ j)(a ; 1 + ĭ)(a ; ī + j̄̆ ɟ jĭ) =
= a ; 1 · (a ; ī + ĭ) = a ; ī + a ; 1 · ĭ = a ; (ī + ĭ), da j̄̆ ɟ j = 0 ɟ (j + j̄) = 1, j̄̆ ɟ ĭ =
= j̄̆ ɟ 0 ɟ ĭ = 0 ɟ ĭ = ĭ, also: c̄ = ā ɟ iī̆, ū + c̄ = (ū + ā ɟ i)(ū + ā ɟ ī̆),
(ū + c̄) ɟ b̄ = {(ū + ā ɟ i) ɟ i}{(ū + ā ɟ i) ɟ j̆}{(ū + ā ɟ ī̆) ɟ i}{(ū + ā ɟ ī̆) ɟ j̆} =
= (ā ɟ i + ū ɟ i)(ā ɟ i + ū ɟ 0 + j̆){(ū + ā ɟ 0 + ī̆) ɟ i}{(ū + ā ɟ 0 + ī̆) ɟ 0 + j̆} =
= {ā ɟ i + (ū ɟ i)(ū ɟ 0 + j̆)}{ā ɟ 0 + (ū + ī̆) ɟ i}{ā ɟ 0 + (ū + ī̆) ɟ 0 + j̆},
wobei der mittlere Faktor wegen des Gliedes ū ɟ (ī + i) = ū ɟ 1 = 1 weg-
fällt. Also wird:
(ū + c̄) ɟ b̄ = {ā ɟ i + ū ɟ 0 + (ū ɟ i)j̆}(ā ɟ 0 + ū ɟ ī + j̆) =
= ā ɟ 0 + (ā ɟ i)(ū ; i + j̆) + ū ɟ 0 + (ū ɟ i)j̆,
d = (a ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} = a ; ī · {ū ɟ 0 + (ū ɟ i)j̆} + a ; 1 · {(ā ɟ i) · ū ; i + ū ɟ 0}j̄̆,
wovon der erste Term a ; ī · (ū ɟ 0), mit j̆ + j̄̆ multiplizirt, zum einen Teile im
nächsten, zum andern im letzten Terme eingeht, mithin bleibt:
d = a ; ī · (ū ɟ i)j̆ + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i · j̄̆,
indem das ū ; i = ū ɟ ī dem ihm eingeordneten ū ɟ 0 als Faktor zugesetzt
werden darf.

Nunmehr ist — wollen wir alle uns zugänglichen Lösungsformen finden —
sowol d ; b̆ als d ; 1 zu bilden. Letzteres gestaltet sich einfacher:
d ; 1 = a ; ī · (ū ɟ i) + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i,
sintemal diese Faktoren — als durchweg „Systeme“ — vortreten, hernach
j̆ ; 1 sowie j̄̆ ; 1 = 1 ist. Bei ersterem erhalten wir:
d ; b̆ = d ; j̄ + d ; ī̆ = α · j̆ ; j̄ + β · j̄̆ ; j̄ + d ; 1 · ī̆,
wenn α das erste, β das zweite der beiden Glieder des d ; 1 für den Augen-
blick genannt wird. Nun ist aber j̆ ; j̄ = 1 ; jj̄ = 0 und j̄̆ ; j̄ = 1 ; j̄j̄ = 1,
sonach entsteht:
d ; b̆ = β + (α + β)ī̆ = αī̆ + β = a ; ī · (ū ɟ i)ī̆ + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i.

Da nunmehr [Formel 1] zu setzen ist, so erhalten wir als erste
Lösungsform:
x = (a ; ī + a ; 1 · ĭ){u + a ; ī · (ū ɟ i)ī̆ + a ; 1 · (ā ɟ i + ū ɟ 0) · ū ; i},
woraus die zweite durch Unterdrückung des Faktors ī̆ hervorgeht. Man kann
hier sogleich den Faktor a ; 1 ganz und gar vorziehen (der ja auch bei a ; ī
anbringbar ist). Multiplizirt man im übrigen mit a ; ī + ĭ oder besser