§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.
Die Gleichung 91) ist daher äquivalent dem Produkt der vier Subsum- tionen b). Von diesen ziehn b2) und b4) sich in die Gleichung x ; 1 = a ; 1 zusammen, und kann denselben auf die allgemeinste Weise genügt werden durch den Ansatz: g) x = a ; 1 · {v + (vn j 0)i}.
Die Beifügung des Faktors i ist ein durch die Betrachtungen unter "Zweitens" als zulässig gerechtfertigter Kunstgriff, durch den sich das weitre sehr vereinfacht. Soll nämlich dieses x nun auch die Fordrung b1) erfüllen, so braucht nur mehr a ; 1 · va ; in + i gemacht zu werden, indem sich das andre Glied in g) als ohnehin in i enthalten erweist. Jenes aber leistet der Ansatz: v = w(a ; in + i + an j 0), womit vn = wn + (an j i)in · a ; 1, vn j 0 = {wn + a ; 1 · (an j i)}(wn + in) j 0 = {a ; 1 · (an j i) + wn j 0}(wn j in) = = a ; 1 · (an j i) · wn ; i + wn j 0 und x = a ; 1 · {(a ; in + i)w + (an j i)wni + (wn j 0)i} = = a ; 1 · (an j i)i + a ; 1 · (wn j 0)i + a ; in · w, d. h. weil a ; 1 in a ; 1 · (an j i) + a ; in zerlegbar: d) x = a ; 1 · (an j i)i + a ; in · {w + (w j 0)i}. Da hiemit x ; in = a ; in · w ; in wird und nur mehr noch die Fordrung b3) ainx ; in zu erfüllen bleibt, so ist nun aus ainw ; in noch das w zu bestimmen, wozu das zweite Inversionstheorem verhilft.
[Dass die andre Teilforderung von b3), nämlich aina ; in oder aa ; in + i identisch erfüllt sein, als Formel gelten muss, wurde bereits S. 421 über 32) des § 25 gebucht.]
Nach 10) des § 18 oder auch 8) des § 18 muss man haben:
[Formel 1]
und damit ergibt sich aus d) im "unteren" Falle (wo in durch 1 ersetzt ist) nach geringer Reduktion die Lösung 90), im oberen Falle jedoch eine neue Lösungsform, die sich von 89) durch den Wegfall des Gliedes un j 0 unter- scheidet: 92) x = a ; 1 · (an j i)i + a ; in · {u + (un j i)in}.
Behufs Probe 2 für alle drei Lösungsformen 89, 90, 92) ist nun zu zeigen, dass unter der Voraussetzung 91) sein muss: 93)
[Formel 2]
, wobei jeder unterwellte Term auch wegfallen dürfe. Dabei dürfen wir jedoch die unter b) bereits aus 91) gezognen Konklusionen: e) a ; 1 = x ; 1 und a(xn j i)in + x(an j i)in = 0
§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.
Die Gleichung 91) ist daher äquivalent dem Produkt der vier Subsum- tionen β). Von diesen ziehn β2) und β4) sich in die Gleichung x ; 1 = a ; 1 zusammen, und kann denselben auf die allgemeinste Weise genügt werden durch den Ansatz: γ) x = a ; 1 · {v + (v̄ ɟ 0)ĭ}.
Die Beifügung des Faktors ĭ ist ein durch die Betrachtungen unter „Zweitens“ als zulässig gerechtfertigter Kunstgriff, durch den sich das weitre sehr vereinfacht. Soll nämlich dieses x nun auch die Fordrung β1) erfüllen, so braucht nur mehr a ; 1 · v ⋹ a ; ī + ĭ gemacht zu werden, indem sich das andre Glied in γ) als ohnehin in ĭ enthalten erweist. Jenes aber leistet der Ansatz: v = w(a ; ī + ĭ + ā ɟ 0), womit v̄ = w̄ + (ā ɟ i)ī̆ · a ; 1, v̄ ɟ 0 = {w̄ + a ; 1 · (ā ɟ i)}(w̄ + ī̆) ɟ 0 = {a ; 1 · (ā ɟ i) + w̄ ɟ 0}(w̄ ɟ ī) = = a ; 1 · (ā ɟ i) · w̄ ; i + w̄ ɟ 0 und x = a ; 1 · {(a ; ī + ĭ)w + (ā ɟ i)w̄ĭ + (w̄ ɟ 0)ĭ} = = a ; 1 · (ā ɟ i)ĭ + a ; 1 · (w̄ ɟ 0)ĭ + a ; ī · w, d. h. weil a ; 1 in a ; 1 · (ā ɟ i) + a ; ī zerlegbar: δ) x = a ; 1 · (ā ɟ i)ĭ + a ; ī · {w + (w ɟ 0)ĭ}. Da hiemit x ; ī = a ; ī · w ; ī wird und nur mehr noch die Fordrung β3) aī̆ ⋹ x ; ī zu erfüllen bleibt, so ist nun aus aī̆ ⋹ w ; ī noch das w zu bestimmen, wozu das zweite Inversionstheorem verhilft.
[Dass die andre Teilforderung von β3), nämlich aī̆ ⋹ a ; ī oder a ⋹ a ; ī + ĭ identisch erfüllt sein, als Formel gelten muss, wurde bereits S. 421 über 32) des § 25 gebucht.]
Nach 10) des § 18 oder auch 8) des § 18 muss man haben:
[Formel 1]
und damit ergibt sich aus δ) im „unteren“ Falle (wo ī̆ durch 1 ersetzt ist) nach geringer Reduktion die Lösung 90), im oberen Falle jedoch eine neue Lösungsform, die sich von 89) durch den Wegfall des Gliedes ū ɟ 0 unter- scheidet: 92) x = a ; 1 · (ā ɟ i)ĭ + a ; ī · {u + (ū ɟ i)ī̆}.
Behufs Probe 2 für alle drei Lösungsformen 89, 90, 92) ist nun zu zeigen, dass unter der Voraussetzung 91) sein muss: 93)
[Formel 2]
, wobei jeder unterwellte Term auch wegfallen dürfe. Dabei dürfen wir jedoch die unter β) bereits aus 91) gezognen Konklusionen: ε) a ; 1 = x ; 1 und a(x̄ ɟ i)ī̆ + x(ā ɟ i)ī̆ = 0
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[537/0551]
§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.
Die Gleichung 91) ist daher äquivalent dem Produkt der vier Subsum-
tionen β). Von diesen ziehn β2) und β4) sich in die Gleichung x ; 1 = a ; 1
zusammen, und kann denselben auf die allgemeinste Weise genügt werden
durch den Ansatz: γ) x = a ; 1 · {v + (v̄ ɟ 0)ĭ}.
Die Beifügung des Faktors ĭ ist ein durch die Betrachtungen unter
„Zweitens“ als zulässig gerechtfertigter Kunstgriff, durch den sich das weitre
sehr vereinfacht. Soll nämlich dieses x nun auch die Fordrung β1) erfüllen,
so braucht nur mehr a ; 1 · v ⋹ a ; ī + ĭ gemacht zu werden, indem sich das
andre Glied in γ) als ohnehin in ĭ enthalten erweist. Jenes aber leistet der
Ansatz:
v = w(a ; ī + ĭ + ā ɟ 0), womit v̄ = w̄ + (ā ɟ i)ī̆ · a ; 1,
v̄ ɟ 0 = {w̄ + a ; 1 · (ā ɟ i)}(w̄ + ī̆) ɟ 0 = {a ; 1 · (ā ɟ i) + w̄ ɟ 0}(w̄ ɟ ī) =
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Da hiemit x ; ī = a ; ī · w ; ī wird und nur mehr noch die Fordrung β3) aī̆ ⋹ x ; ī
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das zweite Inversionstheorem verhilft.
[Dass die andre Teilforderung von β3), nämlich aī̆ ⋹ a ; ī oder a ⋹ a ; ī + ĭ
identisch erfüllt sein, als Formel gelten muss, wurde bereits S. 421 über 32)
des § 25 gebucht.]
Nach 10) des § 18 oder auch 8) des § 18 muss man haben:
[FORMEL] und damit ergibt sich aus δ) im „unteren“ Falle (wo ī̆ durch 1 ersetzt ist)
nach geringer Reduktion die Lösung 90), im oberen Falle jedoch eine neue
Lösungsform, die sich von 89) durch den Wegfall des Gliedes ū ɟ 0 unter-
scheidet:
92) x = a ; 1 · (ā ɟ i)ĭ + a ; ī · {u + (ū ɟ i)ī̆}.
Behufs Probe 2 für alle drei Lösungsformen 89, 90, 92) ist nun zu
zeigen, dass unter der Voraussetzung 91) sein muss:
93) [FORMEL],
wobei jeder unterwellte Term auch wegfallen dürfe. Dabei dürfen wir jedoch
die unter β) bereits aus 91) gezognen Konklusionen:
ε) a ; 1 = x ; 1 und a(x̄ ɟ i)ī̆ + x(ā ɟ i)ī̆ = 0
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 537. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/551>, abgerufen am 17.05.2024.
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