Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Elfte Vorlesung.

(d = )(a ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} = a ; i · (ū + ā) ; i · j̆ = a ; i · ū ; i · j̆ = aū ; i · j̆,
sintemal nach 26) des § 25: a ; i · ā ; i = aā ; i = 0 ; i = 0. Das Ergebniss
d = aū ; i · j̆ ist nun mit b̆ (oder auch mit 1) relativ nachzumultipliziren. Es
wird: d ; b̆ = aū ; i · j̆ ; j ; ĭ = aū ; i · ĭ = aūĭ, da j̆ ; j = 1 ; jj = 1 ; j = 1 ist
(dagegen d ; 1 = aū ; i selbst, weil j̆ ; 1 = 1). Jenes führt zu der Lösung:
x = (a + ī̆)[u + aūĭ] = (a + ī̆)(aĭ + u) = ĭa + au + uī̆ = aĭ + uī̆,
womit der Satz gefunden ist:
88) [Formel 1] .
(Dieses, d. h. Benutzung des d ; 1, würde zu einer minder einfachen und von
der vorstehenden wesentlich verschiedenen Lösungsform führen, bei welcher
rechts in x noch das Glied aū ; i · ī̆ hinzuträte.)

Weit bequemer, als wie soeben durch Partikularisiren aus der Lösung
des allgemeinen Inversionsproblemes, lässt sich das so einfache Ergebniss 88)
gewinnen, indem man die Gleichung x ; i · j̆ = a ; i · j̆ selbständig auflöst —
und zwar wie folgt:

Die beiden in der Gleichung enthaltnen Subsumtionen geben äquivalent
die Doppelsubsumtion:
a ; i · j̆ ⋹ x ; i ⋹ a ; i + j̄̆,
aus deren zweiter Teilsubsumtion sofort x als Subjekt, aus deren erster aber
nach Ersetzung des x ; i durch x ɟ ī auch x als Prädikat isolirt werden kann
— beides nach dem ersten Inversionstheoreme. So entsteht:
(a ; i) j̆ ; ĭ ⋹ x ⋹ (a ; i + j̄̆) ɟ ī̆,
wo das Subjekt sich vereinfacht zu a ; i · ĭ · j̆ ; 1 = aĭ, das Prädikat zu
a ; i + j̄̆ ɟ 0 ɟ ī̆ = a ; i + ī̆ = a + ī̆ und x = aĭ + u(a + ī̆)
gefunden ist im Einklang mit 88).

Es stimmt hiemit die Probe 1, indem:
x ; i = aĭ ; i + uī̆ ; i = a ; ii + u ; īi = a ; i
wird, und dass auch die Probe 2 stimme, ist mit der eben gegebenen selb-
ständigen Herleitung implicite gezeigt.

In der Gestalt x ; (i : j) = a angesetzt, bedingt unser Problem eine Re-
sultante, die einiger Beachtung wert ist. Systematisch, nach dem Schema 2)
des § 19 gebildet lautet sie:
a ⋹ (a ɟ j : i͞) ; (i : j) = (a ɟ j̄ ɟ ī̆) ; i ; j̆ = (a ; j ɟ 0 ɟ ī̆) ; i ; 1 ; j̆ =
= (a ; j + ī̆) ; i · j̆ = (a ; j ; 1 ; i + 1 ; īi)j̆ = a ; j · j̆, also a = a ; (j : j),
oder nach 29) des § 25: a = aj̆, a ⋹ j̆.

Als eine Konklusion kann man diese einfache Resultante freilich auch
sofort aus der Schreibung x ; i · j̆ = a des Problems gewinnen.