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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.

muss. Ersetzt man aber b durch die allgemeinste Wurzel v + 0 j vn j 0 der
Gleichung b 0, so wird 1 ; b = 1 ; v + 0 j vn j 0 und entsteht als eine zu-
lässige Lösungsform der Gleichung x ; 1 = a ; 1 auch diese:
85) [Formel 1] ,
worin v als "unwesentlicher Parameter" schlechthin beliebig bleibt. In die
zweite 82) geht diese Formel nur bei der Annahme v = 0 über, und andern-
falls deckt sie sich mit der zweiten 84) -- wobei nur v für b steht. Solche
Lösungsform kann in gewissem Sinne "vollkommner" als die 24) des § 19
genannt werden, indem sie nur den Leerzeilen von u, welche bei a besetzt
sind, anstatt sie sofort in Vollzeilen zu verwandeln, irgend welche Augen (in
jedem Falle mindestens ein Auge) zuteilt, was ja genügt, um sie auch bei x
in besetzte Zeilen zu verwandeln. Man kann z. B. auch v durch irgend ein i
ersetzen, womit dann in jeder unter a ; 1 fallenden Leerzeile des u gerade nur
ein Auge angebracht wird, alle so zugefügten Augen aber in einer Vertikal-
flucht liegen werden.

Die betrachteten Lösungsformen 81) bis 85) stellen uns hienach zu-
gleich auch schon die allgemeine Wurzel der Gleichungen
x ; i = a ; i sowie x ; in = a ; in
dar; doch kann man solche nach dem zuletzt Gesagten auch spezifizirter
schreiben als:
86) [Formel 2]
87) [Formel 3]
oder auch rechterhand i und in vertauscht.

Die Betrachtung eröffnete uns also den Ausblick in mögliche Vervoll-
kommnungen unsrer Lösungsformen der Aufgaben -- sozusagen innerlichen
Charakters, indem sie freilich äusserlich sich nicht als solche darstellen, näm-
lich nur auf Kosten der Einfachheit des Ausdrucks der Wurzeln zu erzielen
sein werden.

Drittens. Sei b = i : j = ij = i ; j Elementepaar, Einauge, also
bn = in + jn = in j jn, b = ji = j ; i, bn = jn + in = jn j in.
So wird: a ; b = a ; i · j und c = (a ; i j jn j in)(j j jn j in).

Wegen jn ; 1 jn ist aber 1 j j jn, mithin der zweite Faktor von c gleich
1 j in = 1. Bleibt:
c = a ; i j 0 j j j 0 j in = a ; i + in, cn = an ; i · i -- cf. 2) des § 25,
da 0 j j = 0. Nach 29) des § 25 aber diehn sich diese Ergebnisse noch zu-
sammen in:
c = a + in, cn = ani.
Damit wird:
(un + cn) j bn = (un + an)(un + i) j in j 0 j jn = {(un + an) j in} {(un + i) j in} + jn = (un + an) ; i + jn,
sintemal (un + i) j in = un j (i + in) = un j 1 = 1 nach 32) des § 25 ist. Wir er-
halten also:

§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.

muss. Ersetzt man aber b durch die allgemeinste Wurzel v + 0 ɟ v̄ ɟ 0 der
Gleichung b ≠ 0, so wird 1 ; b = 1 ; v + 0 ɟ v̄ ɟ 0 und entsteht als eine zu-
lässige Lösungsform der Gleichung x ; 1 = a ; 1 auch diese:
85) [Formel 1] ,
worin v als „unwesentlicher Parameter“ schlechthin beliebig bleibt. In die
zweite 82) geht diese Formel nur bei der Annahme v = 0 über, und andern-
falls deckt sie sich mit der zweiten 84) — wobei nur v für b steht. Solche
Lösungsform kann in gewissem Sinne „vollkommner“ als die 24) des § 19
genannt werden, indem sie nur den Leerzeilen von u, welche bei a besetzt
sind, anstatt sie sofort in Vollzeilen zu verwandeln, irgend welche Augen (in
jedem Falle mindestens ein Auge) zuteilt, was ja genügt, um sie auch bei x
in besetzte Zeilen zu verwandeln. Man kann z. B. auch v durch irgend ein ĭ
ersetzen, womit dann in jeder unter a ; 1 fallenden Leerzeile des u gerade nur
ein Auge angebracht wird, alle so zugefügten Augen aber in einer Vertikal-
flucht liegen werden.

Die betrachteten Lösungsformen 81) bis 85) stellen uns hienach zu-
gleich auch schon die allgemeine Wurzel der Gleichungen
x ; ĭ = a ; ĭ sowie x ; ī̆ = a ; ī̆
dar; doch kann man solche nach dem zuletzt Gesagten auch spezifizirter
schreiben als:
86) [Formel 2]
87) [Formel 3]
oder auch rechterhand ĭ und ī̆ vertauscht.

Die Betrachtung eröffnete uns also den Ausblick in mögliche Vervoll-
kommnungen unsrer Lösungsformen der Aufgaben — sozusagen innerlichen
Charakters, indem sie freilich äusserlich sich nicht als solche darstellen, näm-
lich nur auf Kosten der Einfachheit des Ausdrucks der Wurzeln zu erzielen
sein werden.

Drittens. Sei b = i : j = ij̆ = i ; j̆ Elementepaar, Einauge, also
b̄ = ī + j̄̆ = ī ɟ j̄̆, b̆ = jĭ = j ; ĭ, b̄̆ = j̄ + ī̆ = j̄ ɟ ī̆.
So wird: a ; b = a ; i · j̆ und c = (a ; i ɟ j̄ ɟ ī̆)(j̆ ɟ j̄ ɟ ī̆).

Wegen j̄ ; 1 ⋹ j̄ ist aber 1 ⋹ j̆ ɟ j̄, mithin der zweite Faktor von c gleich
1 ɟ ī̆ = 1. Bleibt:
c = a ; i ɟ 0 ɟ j ɟ 0 ɟ ī̆ = a ; i + ī̆, c̄ = ā ; i · ĭ — cf. 2) des § 25,
da 0 ɟ j = 0. Nach 29) des § 25 aber diehn sich diese Ergebnisse noch zu-
sammen in:
c = a + ī̆, c̄ = āĭ.
Damit wird:
(ū + c̄) ɟ b̄ = (ū + ā)(ū + ĭ) ɟ ī ɟ 0 ɟ j̄̆ = {(ū + ā) ɟ ī} {(ū + ĭ) ɟ ī} + j̄̆ = (ū + ā) ; i + j̄̆,
sintemal (ū + ĭ) ɟ ī = ū ɟ (i + ī) = ū ɟ 1 = 1 nach 32) des § 25 ist. Wir er-
halten also:

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[533/0547] § 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems. muss. Ersetzt man aber b durch die allgemeinste Wurzel v + 0 ɟ v̄ ɟ 0 der Gleichung b ≠ 0, so wird 1 ; b = 1 ; v + 0 ɟ v̄ ɟ 0 und entsteht als eine zu- lässige Lösungsform der Gleichung x ; 1 = a ; 1 auch diese: 85) [FORMEL], worin v als „unwesentlicher Parameter“ schlechthin beliebig bleibt. In die zweite 82) geht diese Formel nur bei der Annahme v = 0 über, und andern- falls deckt sie sich mit der zweiten 84) — wobei nur v für b steht. Solche Lösungsform kann in gewissem Sinne „vollkommner“ als die 24) des § 19 genannt werden, indem sie nur den Leerzeilen von u, welche bei a besetzt sind, anstatt sie sofort in Vollzeilen zu verwandeln, irgend welche Augen (in jedem Falle mindestens ein Auge) zuteilt, was ja genügt, um sie auch bei x in besetzte Zeilen zu verwandeln. Man kann z. B. auch v durch irgend ein ĭ ersetzen, womit dann in jeder unter a ; 1 fallenden Leerzeile des u gerade nur ein Auge angebracht wird, alle so zugefügten Augen aber in einer Vertikal- flucht liegen werden. Die betrachteten Lösungsformen 81) bis 85) stellen uns hienach zu- gleich auch schon die allgemeine Wurzel der Gleichungen x ; ĭ = a ; ĭ sowie x ; ī̆ = a ; ī̆ dar; doch kann man solche nach dem zuletzt Gesagten auch spezifizirter schreiben als: 86) [FORMEL] 87) [FORMEL] oder auch rechterhand ĭ und ī̆ vertauscht. Die Betrachtung eröffnete uns also den Ausblick in mögliche Vervoll- kommnungen unsrer Lösungsformen der Aufgaben — sozusagen innerlichen Charakters, indem sie freilich äusserlich sich nicht als solche darstellen, näm- lich nur auf Kosten der Einfachheit des Ausdrucks der Wurzeln zu erzielen sein werden. Drittens. Sei b = i : j = ij̆ = i ; j̆ Elementepaar, Einauge, also b̄ = ī + j̄̆ = ī ɟ j̄̆, b̆ = jĭ = j ; ĭ, b̄̆ = j̄ + ī̆ = j̄ ɟ ī̆. So wird: a ; b = a ; i · j̆ und c = (a ; i ɟ j̄ ɟ ī̆)(j̆ ɟ j̄ ɟ ī̆). Wegen j̄ ; 1 ⋹ j̄ ist aber 1 ⋹ j̆ ɟ j̄, mithin der zweite Faktor von c gleich 1 ɟ ī̆ = 1. Bleibt: c = a ; i ɟ 0 ɟ j ɟ 0 ɟ ī̆ = a ; i + ī̆, c̄ = ā ; i · ĭ — cf. 2) des § 25, da 0 ɟ j = 0. Nach 29) des § 25 aber diehn sich diese Ergebnisse noch zu- sammen in: c = a + ī̆, c̄ = āĭ. Damit wird: (ū + c̄) ɟ b̄ = (ū + ā)(ū + ĭ) ɟ ī ɟ 0 ɟ j̄̆ = {(ū + ā) ɟ ī} {(ū + ĭ) ɟ ī} + j̄̆ = (ū + ā) ; i + j̄̆, sintemal (ū + ĭ) ɟ ī = ū ɟ (i + ī) = ū ɟ 1 = 1 nach 32) des § 25 ist. Wir er- halten also:

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 533. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/547>, abgerufen am 18.02.2025.

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