Zweitens. Sei b Systemkonvers, oder stehe 1 ; b für b, 0 j bn für bn, b ; 1 für b, bn j 0 für bn. So wird c = a ; 1 ; b j bn j 0 = (a ; 1 j bn)(1 ; b j bn) j 0 = (a ; 1 + 0 j bn) j 0 = = a ; 1 + 0 j bn j 0 = a ; 1 + 0 j bn j 0, cn = (an j 0) · 1 ; b ; 1, jenes in Anbetracht, dass 1 ; b j bn = 1 ist.
(un + cn) j bn wird = un j 0 + (an j 0) · 1 ; b ; 1 + 0 j bn, und dies, mit a ; b, das heisst a ; 1 · 1 ; b multiplizirt, gibt a ; 1 ; b · (un j 0). Und dies von(;) b, also b ; 1, genommen gibt (ebenso, wie von 1 genommen): (un j 0) · a ; 1 · 1 ; b ; 1. Dar- nach erhalten wir: 81) x = (a ; 1 + 0 j bn j 0)u + a ; 1 ; b ; 1 · (un j 0) als die allgemeine Wurzel der Gleichung x ; 1 ; b = a ; 1 ; b. Auch mit ihr stimmen leicht die beiden Proben.
Jenachdem b verschwindet oder nicht, vereinfacht sich deren Ausdruck jedoch ungemein, und zwar zu: 82)
[Formel 1]
.
Das Ergebniss stimmt nicht überein mit einem schon früher als Lösung zu x ; 1 · 1 ; b = a ; 1 · 1 ; b von mir selbständig gefundenen: 83) x = (0 j bn j 0) u + u · a ; 1 + a ; 1 · 1 ; b · (un j 0) = (a ; 1 + 0 j bn j 0)u + a ; 1 ; b · (un j 0), welches sich vielmehr vereinfacht zu: 84)
[Formel 2]
, und ist die Vergleichung beider Lösungsformen sehr lehrreich.
Für den Fall b 0 erscheint in 82) die allgemeine Wurzel x als un- abhängig von b, und zwar ist sie in der That keine andre als die aus 24) des § 19 uns schon bekannte Lösung der Gleichung x ; 1 = a ; 1, welche dem- nach (für b 0) mit der Gleichung x ; 1 ; b = a ; 1 ; b äquivalent sein muss.
Wie diese in der That stets aus jener folgt, so ist der umgekehrte Schluss -- nur für b 0 -- wie folgt zu ziehen. Aus x ; 1 ; b = a ; 1 ; b folgt x ; 1 ; b ; 1 = a ; 1 ; b ; 1 oder x ; 1 · 1 ; b ; 1 = a ; 1 · 1 ; b ; 1, was für b 0 mit- hin 1 ; b ; 1 = 1 auf x ; 1 = a ; 1 hinauskommt, q. e. d.
Trotz ihres in 84) minder einfachen Ausdrucks erscheint die selbständig gefundene Lösung als die bessere gegenüber 82) unter dem Gesichtspunkt, dass weniger Augen (und keine Vollzeilen) zu dem willkürlich angenommenen u bei der Ausrechnung des x hinzugefügt werden müssen, mithin die sozusagen an dem u, um es in eine Wurzel zu verwandeln, anzubringende "Korrektur" geringfügiger ist.
Zudem lernen wir aber, dass auch umgekehrt für die allgemeine Wurzel der Gleichung x ; 1 = a ; 1 der zweite Ausdruck 84) angesetzt werden konnte. In ihm wird dann b die Rolle eines unwesentlichen Parameters spielen, welcher nur insofern nicht willkürlich ist, als sein Verschwinden ausgeschlossen sein
Elfte Vorlesung.
Zweitens. Sei b Systemkonvers, oder stehe 1 ; b für b, 0 ɟ b̄ für b̄, b̆ ; 1 für b̆, b̄̆ ɟ 0 für b̄̆. So wird c = a ; 1 ; b ɟ b̄̆ ɟ 0 = (a ; 1 ɟ b̄̆)(1 ; b ɟ b̄̆) ɟ 0 = (a ; 1 + 0 ɟ b̄̆) ɟ 0 = = a ; 1 + 0 ɟ b̄̆ ɟ 0 = a ; 1 + 0 ɟ b̄ ɟ 0, c̄ = (ā ɟ 0) · 1 ; b ; 1, jenes in Anbetracht, dass 1 ; b ɟ b̄̆ = 1 ist.
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Jenachdem b verschwindet oder nicht, vereinfacht sich deren Ausdruck jedoch ungemein, und zwar zu: 82)
[Formel 1]
.
Das Ergebniss stimmt nicht überein mit einem schon früher als Lösung zu x ; 1 · 1 ; b = a ; 1 · 1 ; b von mir selbständig gefundenen: 83) x = (0 ɟ b̄ ɟ 0) u + u · a ; 1 + a ; 1 · 1 ; b · (ū ɟ 0) = (a ; 1 + 0 ɟ b̄ ɟ 0)u + a ; 1 ; b · (ū ɟ 0), welches sich vielmehr vereinfacht zu: 84)
[Formel 2]
, und ist die Vergleichung beider Lösungsformen sehr lehrreich.
Für den Fall b ≠ 0 erscheint in 82) die allgemeine Wurzel x als un- abhängig von b, und zwar ist sie in der That keine andre als die aus 24) des § 19 uns schon bekannte Lösung der Gleichung x ; 1 = a ; 1, welche dem- nach (für b ≠ 0) mit der Gleichung x ; 1 ; b = a ; 1 ; b äquivalent sein muss.
Wie diese in der That stets aus jener folgt, so ist der umgekehrte Schluss — nur für b ≠ 0 — wie folgt zu ziehen. Aus x ; 1 ; b = a ; 1 ; b folgt x ; 1 ; b ; 1 = a ; 1 ; b ; 1 oder x ; 1 · 1 ; b ; 1 = a ; 1 · 1 ; b ; 1, was für b ≠ 0 mit- hin 1 ; b ; 1 = 1 auf x ; 1 = a ; 1 hinauskommt, q. e. d.
Trotz ihres in 84) minder einfachen Ausdrucks erscheint die selbständig gefundene Lösung als die bessere gegenüber 82) unter dem Gesichtspunkt, dass weniger Augen (und keine Vollzeilen) zu dem willkürlich angenommenen u bei der Ausrechnung des x hinzugefügt werden müssen, mithin die sozusagen an dem u, um es in eine Wurzel zu verwandeln, anzubringende „Korrektur“ geringfügiger ist.
Zudem lernen wir aber, dass auch umgekehrt für die allgemeine Wurzel der Gleichung x ; 1 = a ; 1 der zweite Ausdruck 84) angesetzt werden konnte. In ihm wird dann b die Rolle eines unwesentlichen Parameters spielen, welcher nur insofern nicht willkürlich ist, als sein Verschwinden ausgeschlossen sein
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[532/0546]
Elfte Vorlesung.
Zweitens. Sei b Systemkonvers, oder stehe 1 ; b für b, 0 ɟ b̄ für b̄,
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c = a ; 1 ; b ɟ b̄̆ ɟ 0 = (a ; 1 ɟ b̄̆)(1 ; b ɟ b̄̆) ɟ 0 = (a ; 1 + 0 ɟ b̄̆) ɟ 0 =
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heisst a ; 1 · 1 ; b multiplizirt, gibt a ; 1 ; b · (ū ɟ 0). Und dies von(;) b̆, also b̆ ; 1,
genommen gibt (ebenso, wie von 1 genommen): (ū ɟ 0) · a ; 1 · 1 ; b ; 1. Dar-
nach erhalten wir:
81) x = (a ; 1 + 0 ɟ b̄ ɟ 0)u + a ; 1 ; b ; 1 · (ū ɟ 0)
als die allgemeine Wurzel der Gleichung x ; 1 ; b = a ; 1 ; b. Auch mit ihr
stimmen leicht die beiden Proben.
Jenachdem b verschwindet oder nicht, vereinfacht sich deren Ausdruck
jedoch ungemein, und zwar zu:
82) [FORMEL].
Das Ergebniss stimmt nicht überein mit einem schon früher als Lösung
zu x ; 1 · 1 ; b = a ; 1 · 1 ; b von mir selbständig gefundenen:
83) x = (0 ɟ b̄ ɟ 0) u + u · a ; 1 + a ; 1 · 1 ; b · (ū ɟ 0) = (a ; 1 + 0 ɟ b̄ ɟ 0)u + a ; 1 ; b · (ū ɟ 0),
welches sich vielmehr vereinfacht zu:
84) [FORMEL],
und ist die Vergleichung beider Lösungsformen sehr lehrreich.
Für den Fall b ≠ 0 erscheint in 82) die allgemeine Wurzel x als un-
abhängig von b, und zwar ist sie in der That keine andre als die aus 24) des
§ 19 uns schon bekannte Lösung der Gleichung x ; 1 = a ; 1, welche dem-
nach (für b ≠ 0) mit der Gleichung x ; 1 ; b = a ; 1 ; b äquivalent sein muss.
Wie diese in der That stets aus jener folgt, so ist der umgekehrte Schluss
— nur für b ≠ 0 — wie folgt zu ziehen. Aus x ; 1 ; b = a ; 1 ; b folgt
x ; 1 ; b ; 1 = a ; 1 ; b ; 1 oder x ; 1 · 1 ; b ; 1 = a ; 1 · 1 ; b ; 1, was für b ≠ 0 mit-
hin 1 ; b ; 1 = 1 auf x ; 1 = a ; 1 hinauskommt, q. e. d.
Trotz ihres in 84) minder einfachen Ausdrucks erscheint die selbständig
gefundene Lösung als die bessere gegenüber 82) unter dem Gesichtspunkt,
dass weniger Augen (und keine Vollzeilen) zu dem willkürlich angenommenen u
bei der Ausrechnung des x hinzugefügt werden müssen, mithin die sozusagen
an dem u, um es in eine Wurzel zu verwandeln, anzubringende „Korrektur“
geringfügiger ist.
Zudem lernen wir aber, dass auch umgekehrt für die allgemeine Wurzel
der Gleichung x ; 1 = a ; 1 der zweite Ausdruck 84) angesetzt werden konnte.
In ihm wird dann b die Rolle eines unwesentlichen Parameters spielen, welcher
nur insofern nicht willkürlich ist, als sein Verschwinden ausgeschlossen sein
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 532. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/546>, abgerufen am 17.05.2024.
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