Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.

Lösungen, die sich selbständig für ebendiese Partikularfälle finden
liessen und nicht immer mit den durch die Partikularisirung ge-
wonnenen wesentlich übereinstimmen.

Erstens. Sei b System, oder besser gesagt: es stehe b ; 1 (bei wiederum
beliebig anzunehmendem b) an Stelle von b, mithin b̄ ɟ 0 für b̄, 1 ; b̆ für b̆,
0 ɟ b̄̆ für b̄̆. So wird:
c = a ; b ; 1 ɟ 0 ɟ b̄̆ = a ; b ; 1 + 0 ɟ b̄̆, c̄ = (ā ɟ b̄ ɟ 0) · 1 ; b̆,
ū + c̄ = (ū + ā ɟ b̄ ɟ 0)(ū + 1 ; b̆), woran nun mit ɟ b̄ ɟ 0 zu operiren ist. Der
zweite Faktor wird alsdann
(ū + 1 ; b̆) ɟ b̄ ɟ 0 = ū ɟ (b̄ ɟ 0 + b ; 1) = ū ɟ 1 = 1, cf. 10) des § 27,
das Ganze mithin gleich dem ersten Faktor, d. h. das (ū + c̄) ɟ b̄ des Schema’s 64)
wird = ū ɟ b̄ ɟ 0 + ā ɟ b̄ ɟ 0, und (a ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} wird a ; b ; 1 · (ū ɟ b̄ ɟ 0).
Dies ist mit dem frühern b̆, also 1 ; b̆, wonicht mit 1, relativ nachzumulti-
pliziren, wodurch entsteht: (ū ɟ b̄ ɟ 0) · a ; b ; 1 ; b̆, worin jedoch der Faktor 1 ; b̆
auch durch 1 ; 1, = 1, ersetzbar, mithin unterdrückbar. Darnach ergibt sich
leicht:
78) [Formel 1]
als die allgemeine Wurzel der Gleichung x ; b ; 1 = a ; b ; 1. Bei Unterdrückung
des als unterdrückbar erwiesenen unterwellten Faktors stimmt dies Ergebniss
völlig überein mit dem, welches ich lange vor 22) selbständig gefunden hatte,
indem ich die Koeffizientenforderung:
Π_i {Σ_hx_{i h}(b ; 1)_h = Σ_ha_{i h}(b ; 1)_h}
nach dem Schema von Bd. 2, § 51, Aufg. 21 systematisch auflöste.

Für das etwa durch die Fortlassung des unterwellten Terms vereinfachte
Ergebniss gelingt es unschwer auch die beiden Proben zu leisten, wobei zu
Probe 1 nur zu beachten ist, dass a ; b ; 1 · 1 ; b ; 1 = a ; b ; 1, sowie nach 10)
des § 27: u(0 ɟ b̄̆) ; b ; 1 = u ; (b̄ ɟ 0)(b ; 1) = u ; 0 = 0 ist, und sich dann
x ; b ; 1 gleich a ; b ; 1 mal ū ɟ b̄ ɟ 0 + u ; b ; 1, welches = 1 ist, ergibt. Probe 2
betreffend ist zu zeigen, dass, sooft x ; b ; 1 = a ; b ; 1 ist, die Gleichung 78) für
u = x zutrifft. Darin verschwindet aber rechts das erste Glied wegen a ; b ; 1 ⋹
⋹ x ; b ; 1, und bleibt blos x ⋹ a ; b ; 1 + 0 ɟ b̄̆ zu zeigen, was aus x ; b ; 1 ⋹ a ; b ; 1
zunächst in der Gestalt x ⋹ a ; b ; 1 ɟ 0 ɟ b̄̆ nach dem ersten Inversionstheoreme
durch Hinüberwerfen des relativen Faktors b ; 1 in der That folgt, q. e. d.

Speziell b durch i ersetzend erhalten wir nun auch die Lösung:
x = (ū ɟ ī) · a ; i + a ; i · u + u(0 ɟ ī̆) und haben noch etwas vereinfachend
im Hinblick auf 29) S. 420 etc. den Satz:
79) [Formel 2]
und ähnlich auch:
80) [Formel 3] .

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