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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 29. Zum dritten Inversionsprobleme.
wonach denn die Doppelsubsumtion
73) c ; i x c j in
die gesuchte Auflösung darstellen wird, mithin der Gleichung 72) äqui-
valent sein muss.

Diese Äquivalenz mittelst vorgesetzten Pi für alle i in Anspruch ge-
nommen gibt:
74) Pi(x ; i = c) = {Sic ; i x Pi(c j in)} = (Lu x Ru).
Wäre c konstant inbezug auf i, so würde Lu = Sic ; i sich gleich c ; 1,
und Ru = Pi(c j in) sich gleich c j 0 ergeben. Obgleich nun aber c als
Funktion von i gegeben ist und als solche ausdrucksvoller mit ci hätte
bezeichnet werden sollen, so lassen sich Lu und Ru, nämlich Subjekt und
Prädikat von x, doch in konziser Form evaluiren, indem man für Lu die
erste, für Ru die zweite Form von c aus 71) bequemer benutzt. Man findet
unter Anwendung bekannter Sätze:
75) [Formel 1] .
Mit diesen Werten muss also sein:
76) [Formel 2] ,
und gelingt es, hiermit die beiden Proben zu leisten.

Probe 1 fordert zu zeigen, dass, sobald es ein u gibt, derart, dass die
Doppelsubsumtion rechts in 76) besteht, dann x ; b = a ; b ist.

Aus der Annahme folgt aber
Lu ; b x ; b Ru ; b
und wird der Nachweis geliefert sein, sobald es gelungen ist zu zeigen, dass
a ; b Lu ; b, Ru ; b a ; b
für jedes u ist, indem alsdann a fortiori
a ; b x ; b a ; b, d. h. x ; b = a ; b
geschlossen werden kann. Hiezu nun sind, obzwar es einige Rechnung er-
fordert, die schon bekannten Sätze ausreichend und stellt sich dabei, sowie
auch nachher bei der andern Probe, heraus, dass in Lu der unterwellte
Term 1 ; bn auch unterdrückbar ist unbeschadet der Allgemeingültigkeit und
des erschöpfenden Charakters der Lösung.

Probe 2 verlangt, als vorwärtige Subsumtion die Äquivalenz zu beweisen:
(x ; b = a ; b) = {(xn j bn)(a ; b) ; 1 + x(a ; b ; 1 + 1 ; bn) x (xn j bn)(a ; b) j 0 + x(a ; b j bn)},
welche als rückwärtige soeben durch die Probe 1 implicite erwiesen worden.
Aus der Hypothesis folgt aber in der That: (xn j bn)(a ; b) = 0, und somit
reduzirt sich die Behauptung zu der Doppelsubsumtion:
[Formel 3] ,

Schröder, Algebra der Relative. 34

§ 29. Zum dritten Inversionsprobleme.
wonach denn die Doppelsubsumtion
73) c ; ĭ ⋹ x ⋹ c ɟ ī̆
die gesuchte Auflösung darstellen wird, mithin der Gleichung 72) äqui-
valent sein muss.

Diese Äquivalenz mittelst vorgesetzten Πi für alle i in Anspruch ge-
nommen gibt:
74) Πi(x ; i = c) = {Σic ; ĭ ⋹ x ⋹ Πi(c ɟ ī̆)} = (Lu ⋹ x ⋹ Ru).
Wäre c konstant inbezug auf i, so würde Lu = Σic ; ĭ sich gleich c ; 1,
und Ru = Πi(c ɟ ī̆) sich gleich c ɟ 0 ergeben. Obgleich nun aber c als
Funktion von i gegeben ist und als solche ausdrucksvoller mit ci hätte
bezeichnet werden sollen, so lassen sich Lu und Ru, nämlich Subjekt und
Prädikat von x, doch in konziser Form evaluiren, indem man für Lu die
erste, für Ru die zweite Form von c aus 71) bequemer benutzt. Man findet
unter Anwendung bekannter Sätze:
75) [Formel 1] .
Mit diesen Werten muss also sein:
76) [Formel 2] ,
und gelingt es, hiermit die beiden Proben zu leisten.

Probe 1 fordert zu zeigen, dass, sobald es ein u gibt, derart, dass die
Doppelsubsumtion rechts in 76) besteht, dann x ; b = a ; b ist.

Aus der Annahme folgt aber
Lu ; b ⋹ x ; b ⋹ Ru ; b
und wird der Nachweis geliefert sein, sobald es gelungen ist zu zeigen, dass
a ; b ⋹ Lu ; b, Ru ; b ⋹ a ; b
für jedes u ist, indem alsdann a fortiori
a ; b ⋹ x ; b ⋹ a ; b, d. h. x ; b = a ; b
geschlossen werden kann. Hiezu nun sind, obzwar es einige Rechnung er-
fordert, die schon bekannten Sätze ausreichend und stellt sich dabei, sowie
auch nachher bei der andern Probe, heraus, dass in Lu der unterwellte
Term 1 ; b̄̆ auch unterdrückbar ist unbeschadet der Allgemeingültigkeit und
des erschöpfenden Charakters der Lösung.

Probe 2 verlangt, als vorwärtige Subsumtion die Äquivalenz zu beweisen:
(x ; b = a ; b) = {(x̄ ɟ b̄)(a ; b) ; 1 + x(a ; b ; 1 + 1 ; b̄̆) ⋹ x ⋹ (x̄ ɟ b̄)(a ; b) ɟ 0 + x(a ; b ɟ b̄̆)},
welche als rückwärtige soeben durch die Probe 1 implicite erwiesen worden.
Aus der Hypothesis folgt aber in der That: (x̄ ɟ b̄)(a ; b) = 0, und somit
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[Formel 3] ,

Schröder, Algebra der Relative. 34
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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 529. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/543>, abgerufen am 17.05.2024.