Stelle von 0' ein Auge trägt, erhellt im Hinblick auf S. 139 daraus, dass unter den Werten von u auch solche figuriren, welche die gedachte Stelle unparig besetzt zeigen, wo sie dann auch in uun ein Auge haben wird. Etc. q. e. d.
Hienach ist denn sogleich: 69)
[Formel 1]
.
Untersuchung 17. Als in methodologischer Hinsicht von Interesse mag eine Nutzanwendung der Sätze 14) hier noch vorgetragen werden, die ich von denselben behufs Lösung des dritten Inversionsproblemes zu machen suchte zu einer Zeit, als mir dessen in § 19 gegebne definitive Lösung noch verschlossen war. Obwol diese Anwendung nicht den beabsichtigten Erfolg herbeiführte, erschloss sie doch den Einblick in eine merkwürdige Umformung der Problemstellung und ist vielleicht auch, nachdem das Problem schon anderweitig gelöst worden, selbst in objektiver Hinsicht nicht ohne Wert.
Das allgemeine dritte Inversionsproblem des § 19, nämlich die Auf- lösung der Gleichung x ; b = a ; b, lässt sich nach 14) nun auch in der Form in Angriff nehmen: 70) Six ; i · i ; b = Sia ; i · i ; b, und liegt es nahe, diese Gleichung zunächst nach den x ; i als Unbekannten aufzulösen.
Diese Aufgabe fällt unter das Schema der in Bd. 2, § 51 unter Aufg. 20 symmetrisch allgemein gelösten. Nach diesem Schema ergibt sich unschwer: 71)
[Formel 2]
-- worin der Faktor i ; bn zunächst als in j bn auftrat.
Mit diesem Resultat stimmt bei beliebigem u auch die Probe 1 -- wobei nur zu berücksichtigen, dass Sii ; b = 1 ; b und a ; b · 1 ; b = a ; b, sowie dass nach 26) des § 25: i ; b · i ; bn = i ; bbn = i ; 0 = 0 ist, wonach sich denn die linke Seite von 70) gleich a ; b · (un j bn + u ; b) = a ; b · 1 herausstellt, q. e. d.
Nennen wir nun die rechte Seite in 71) kurz c, so bleibt nach x nur mehr die Gleichung aufzulösen: 72) x ; i = c.
Diese zerfällt in x ; ic und cx ; i = x j in mit Rücksicht auf 22) des § 25, und es lassen sich beide Teilsubsumtionen nach dem ersten Inversionstheorem äquivalent transformiren wie folgt: (cx j in) = (c ; ix), (x ; ic) = (xc j in),
Elfte Vorlesung.
Stelle von 0' ein Auge trägt, erhellt im Hinblick auf S. 139 daraus, dass unter den Werten von u auch solche figuriren, welche die gedachte Stelle unparig besetzt zeigen, wo sie dann auch in uū̆ ein Auge haben wird. Etc. q. e. d.
Hienach ist denn sogleich: 69)
[Formel 1]
.
Untersuchung 17. Als in methodologischer Hinsicht von Interesse mag eine Nutzanwendung der Sätze 14) hier noch vorgetragen werden, die ich von denselben behufs Lösung des dritten Inversionsproblemes zu machen suchte zu einer Zeit, als mir dessen in § 19 gegebne definitive Lösung noch verschlossen war. Obwol diese Anwendung nicht den beabsichtigten Erfolg herbeiführte, erschloss sie doch den Einblick in eine merkwürdige Umformung der Problemstellung und ist vielleicht auch, nachdem das Problem schon anderweitig gelöst worden, selbst in objektiver Hinsicht nicht ohne Wert.
Das allgemeine dritte Inversionsproblem des § 19, nämlich die Auf- lösung der Gleichung x ; b = a ; b, lässt sich nach 14) nun auch in der Form in Angriff nehmen: 70) Σix ; i · ĭ ; b = Σia ; i · ĭ ; b, und liegt es nahe, diese Gleichung zunächst nach den x ; i als Unbekannten aufzulösen.
Diese Aufgabe fällt unter das Schema der in Bd. 2, § 51 unter Aufg. 20 symmetrisch allgemein gelösten. Nach diesem Schema ergibt sich unschwer: 71)
[Formel 2]
— worin der Faktor ĭ ; b̄ zunächst als ī̆ ɟ b̄ auftrat.
Mit diesem Resultat stimmt bei beliebigem u auch die Probe 1 — wobei nur zu berücksichtigen, dass Σiĭ ; b = 1 ; b und a ; b · 1 ; b = a ; b, sowie dass nach 26) des § 25: ĭ ; b · ĭ ; b̄ = ĭ ; bb̄ = ĭ ; 0 = 0 ist, wonach sich denn die linke Seite von 70) gleich a ; b · (ū ɟ b̄ + u ; b) = a ; b · 1 herausstellt, q. e. d.
Nennen wir nun die rechte Seite in 71) kurz c, so bleibt nach x nur mehr die Gleichung aufzulösen: 72) x ; i = c.
Diese zerfällt in x ; i ⋹ c und c ⋹ x ; i = x ɟ ī mit Rücksicht auf 22) des § 25, und es lassen sich beide Teilsubsumtionen nach dem ersten Inversionstheorem äquivalent transformiren wie folgt: (c ⋹ x ɟ ī) = (c ; ĭ ⋹ x), (x ; i ⋹ c) = (x ⋹ c ɟ ī̆),
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Elfte Vorlesung.
Stelle von 0' ein Auge trägt, erhellt im Hinblick auf S. 139 daraus, dass
unter den Werten von u auch solche figuriren, welche die gedachte Stelle
unparig besetzt zeigen, wo sie dann auch in uū̆ ein Auge haben wird.
Etc. q. e. d.
Hienach ist denn sogleich:
69) [FORMEL].
Untersuchung 17. Als in methodologischer Hinsicht von Interesse
mag eine Nutzanwendung der Sätze 14) hier noch vorgetragen werden,
die ich von denselben behufs Lösung des dritten Inversionsproblemes zu
machen suchte zu einer Zeit, als mir dessen in § 19 gegebne definitive
Lösung noch verschlossen war. Obwol diese Anwendung nicht den
beabsichtigten Erfolg herbeiführte, erschloss sie doch den Einblick in
eine merkwürdige Umformung der Problemstellung und ist vielleicht
auch, nachdem das Problem schon anderweitig gelöst worden, selbst
in objektiver Hinsicht nicht ohne Wert.
Das allgemeine dritte Inversionsproblem des § 19, nämlich die Auf-
lösung der Gleichung x ; b = a ; b, lässt sich nach 14) nun auch in der Form
in Angriff nehmen:
70) Σix ; i · ĭ ; b = Σia ; i · ĭ ; b,
und liegt es nahe, diese Gleichung zunächst nach den x ; i als Unbekannten
aufzulösen.
Diese Aufgabe fällt unter das Schema der in Bd. 2, § 51 unter Aufg. 20
symmetrisch allgemein gelösten. Nach diesem Schema ergibt sich unschwer:
71) [FORMEL]
— worin der Faktor ĭ ; b̄ zunächst als ī̆ ɟ b̄ auftrat.
Mit diesem Resultat stimmt bei beliebigem u auch die Probe 1 —
wobei nur zu berücksichtigen, dass Σiĭ ; b = 1 ; b und a ; b · 1 ; b = a ; b,
sowie dass nach 26) des § 25: ĭ ; b · ĭ ; b̄ = ĭ ; bb̄ = ĭ ; 0 = 0 ist, wonach
sich denn die linke Seite von 70) gleich a ; b · (ū ɟ b̄ + u ; b) = a ; b · 1
herausstellt, q. e. d.
Nennen wir nun die rechte Seite in 71) kurz c, so bleibt nach x nur
mehr die Gleichung aufzulösen:
72) x ; i = c.
Diese zerfällt in
x ; i ⋹ c und c ⋹ x ; i = x ɟ ī
mit Rücksicht auf 22) des § 25, und es lassen sich beide Teilsubsumtionen
nach dem ersten Inversionstheorem äquivalent transformiren wie folgt:
(c ⋹ x ɟ ī) = (c ; ĭ ⋹ x), (x ; i ⋹ c) = (x ⋹ c ɟ ī̆),
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 528. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/542>, abgerufen am 23.11.2024.
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