§ 29. Diskussion des P der Wurzeln des Inversionsproblems.
Wegen li und kl gibt aber k = i einen effektiven Faktor des Ph, als welcher ani h mit dem vorhandenen ai h zusammentrifft. Es verschwinden also für jedes h alle Glieder der Sl bei denen li ist, und damit die letzte Doppelsumme, d. h. es ist L = R, q. e. d.
Es kann an dieser Stelle nicht unsre Aufgabe sein zu untersuchen, wie der Forderung 61) durch a und b auf die allgemeinste Weise zu ge- nügen sei.
Aufgabe 15. Gesucht das P und die S von allen Wurzeln x der Gleichung x ; b = a ; b des dritten Inversionsproblemes.
Nach 19) des § 19 war dessen allgemeine Wurzel gegeben durch 64)
[Formel 1]
bedeutete, und sonach c ; b = a ; b sein musste.
Da
[Formel 2]
, so hat man sofort: 65)
[Formel 3]
.
Und da der Ausdruck 64) von x unter das Schema 38) fällt, so werden wir, indem wir das Px = y nennen, nach 44) und 45) auch so- gleich haben: 66)
[Formel 4]
, welche Summationen vorerst im Allgemeinen nicht weiter ausführbar er- scheinen. --
Indem wir von diesen schwierigern Problemen wieder eine Stufe herab- steigen, so sei auch noch als
Aufgabe 16. Gesucht P und S nach u der allgemeinsten Funktion identischen Kalkuls von u und u, das ist also des allgemeinsten Aus- druckes, welcher sich durch die vier von unsern 6 Spezies, als da sind: die drei identischen Spezies und die Konversion, aus u ableiten lässt. Dieser Ausdruck x kann bekanntlich in den beiden Formen angesetzt werden: 67) x = auu + buun + cuu + dunun = (a + un + un)(b + un + u)(c + u + un)(d + u + u), deren zweite sich aus der ersten durch doppeltes Negiren ergibt. Die erstre ist zur Ermittlung der S, die letztre zu der des P geeignet. Nun gilt der Satz: 68)
[Tabelle]
Die Formeln der ersten Zeile leuchten daraus ein, dass u = 1 und u = 0 selbst als Werte von u im Erstreckungsbereiche vorkommen. Die der zweiten Zeile leuchten zunächst nur als die Subsumtionen S 0', 1' P aus 2) des § 8 ein. Dass aber bei der Suun auch jede Augen-
§ 29. Diskussion des Π der Wurzeln des Inversionsproblems.
Wegen l ≠ i und k ≠ l gibt aber k = i einen effektiven Faktor des Πh, als welcher āi h mit dem vorhandenen ai h zusammentrifft. Es verschwinden also für jedes h alle Glieder der Σl bei denen l ≠ i ist, und damit die letzte Doppelsumme, d. h. es ist L = R, q. e. d.
Es kann an dieser Stelle nicht unsre Aufgabe sein zu untersuchen, wie der Forderung 61) durch a und b auf die allgemeinste Weise zu ge- nügen sei.
Aufgabe 15. Gesucht das Π und die Σ von allen Wurzeln x der Gleichung x ; b = a ; b des dritten Inversionsproblemes.
Nach 19) des § 19 war dessen allgemeine Wurzel gegeben durch 64)
[Formel 1]
bedeutete, und sonach c ; b = a ; b sein musste.
Da
[Formel 2]
, so hat man sofort: 65)
[Formel 3]
.
Und da der Ausdruck 64) von x unter das Schema 38) fällt, so werden wir, indem wir das Πx = y nennen, nach 44) und 45) auch so- gleich haben: 66)
[Formel 4]
, welche Summationen vorerst im Allgemeinen nicht weiter ausführbar er- scheinen. —
Indem wir von diesen schwierigern Problemen wieder eine Stufe herab- steigen, so sei auch noch als
Aufgabe 16. Gesucht Π und Σ nach u der allgemeinsten Funktion identischen Kalkuls von u und ŭ, das ist also des allgemeinsten Aus- druckes, welcher sich durch die vier von unsern 6 Spezies, als da sind: die drei identischen Spezies und die Konversion, aus u ableiten lässt. Dieser Ausdruck x kann bekanntlich in den beiden Formen angesetzt werden: 67) x = auŭ + buū̆ + cuŭ + dūū̆ = (a + ū + ū̆)(b + ū + ŭ)(c + u + ū̆)(d + u + ŭ), deren zweite sich aus der ersten durch doppeltes Negiren ergibt. Die erstre ist zur Ermittlung der Σ, die letztre zu der des Π geeignet. Nun gilt der Satz: 68)
[Tabelle]
Die Formeln der ersten Zeile leuchten daraus ein, dass u = 1 und u = 0 selbst als Werte von u im Erstreckungsbereiche vorkommen. Die der zweiten Zeile leuchten zunächst nur als die Subsumtionen Σ ⋹ 0', 1' ⋹ Π aus 2) des § 8 ein. Dass aber bei der Σuū̆ auch jede Augen-
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§ 29. Diskussion des Π der Wurzeln des Inversionsproblems.
Wegen l ≠ i und k ≠ l gibt aber k = i einen effektiven Faktor des Πh,
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also für jedes h alle Glieder der Σl bei denen l ≠ i ist, und damit die
letzte Doppelsumme, d. h. es ist L = R, q. e. d.
Es kann an dieser Stelle nicht unsre Aufgabe sein zu untersuchen,
wie der Forderung 61) durch a und b auf die allgemeinste Weise zu ge-
nügen sei.
Aufgabe 15. Gesucht das Π und die Σ von allen Wurzeln x der
Gleichung x ; b = a ; b des dritten Inversionsproblemes.
Nach 19) des § 19 war dessen allgemeine Wurzel gegeben durch
64) [FORMEL]
bedeutete, und sonach c ; b = a ; b sein musste.
Da [FORMEL], so hat man sofort:
65) [FORMEL].
Und da der Ausdruck 64) von x unter das Schema 38) fällt, so
werden wir, indem wir das Πx = y nennen, nach 44) und 45) auch so-
gleich haben:
66) [FORMEL],
welche Summationen vorerst im Allgemeinen nicht weiter ausführbar er-
scheinen. —
Indem wir von diesen schwierigern Problemen wieder eine Stufe herab-
steigen, so sei auch noch als
Aufgabe 16. Gesucht Π und Σ nach u der allgemeinsten Funktion
identischen Kalkuls von u und ŭ, das ist also des allgemeinsten Aus-
druckes, welcher sich durch die vier von unsern 6 Spezies, als da sind:
die drei identischen Spezies und die Konversion, aus u ableiten lässt.
Dieser Ausdruck x kann bekanntlich in den beiden Formen angesetzt werden:
67) x = auŭ + buū̆ + cuŭ + dūū̆ = (a + ū + ū̆)(b + ū + ŭ)(c + u + ū̆)(d + u + ŭ),
deren zweite sich aus der ersten durch doppeltes Negiren ergibt. Die
erstre ist zur Ermittlung der Σ, die letztre zu der des Π geeignet. Nun
gilt der Satz:
68)
Die Formeln der ersten Zeile leuchten daraus ein, dass u = 1 und
u = 0 selbst als Werte von u im Erstreckungsbereiche vorkommen. Die
der zweiten Zeile leuchten zunächst nur als die Subsumtionen Σ ⋹ 0',
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 527. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/541>, abgerufen am 17.05.2024.
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