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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.
Schliessen) möglich -- im Gegensatz zum Falle des relativen Faktors
im Subjekte, wofür wir die so einfachen ersten Inversionstheoreme
hatten. Die -- im Vergleich damit fühlt man sich versucht zu sagen:
"vertrakte" -- Gestalt, in der sich uns die zweiten Inversionstheoreme
boten, und aus der im Anwendungsfalle so viele Schwierigkeiten bei
den Untersuchungen erwachsen, ist hienach wol eine unumstössliche, mit
der man endgültig zu rechnen haben wird; sie erscheint im All-
gemeinen nicht durch eine einfachere oder handlichere Form ersetzbar.

Am schnellsten leuchtet das vorstehend Gesagte bei der Exemplifi-
kation auf b = 1 ein, wo sich andernfalles die Relation a ; 1 x ; 1 als
mit der gar nichts sagenden Subsumtion 0 x äquivalent erweisen müsste.

Soll -- allgemein in a, b, x -- der erste unsrer Schlüsse umkehrbar
sein, soll also (wie im Falle b = i) ein einfaches zweites Inversionstheorem
existiren, so ist die hinreichende (und notwendige) Bedingung dafür diese,
dass von a und b die Relation erfüllt sei (welche leicht als solche nach-
zuweisen):
61) [Formel 1]
Trifft diese zu, so werden die genannten Formeln 55), 60) als Gleichungen,
Aussagenäquivalenzen gelten -- und umgekehrt (weil man dann für x
selbst auch dessen Subjekt nehmen kann).

Aber auch die letzte Subsumtion 61) wird die Kraft einer Gleichung
besitzen, indem die Geltung der umgekehrten Subsumtion:
62) a ; b ; (bn j 1') ; b a ; b oder a a ; b j bn j b ; 0' j bn
als einer Formel wie folgt erweislich.

Wegen a ; b a ; b ist bekanntlich a a ; b j bn, aber a ; b = (a ; b j bn) ; b
(a ; b j bn) j b ; 0' nach 56), woraus durch beiderseitig relatives Nachaddiren
von bn nach Vorbemerktem a fortiori die Behauptung folgt.

Die erste Subsumtion 61) freilich gilt rückwärts nicht, wie schon die
Annahme b = 1 zeigt.

Vergleicht man die letzte Subsumtion in 61) mit der darüberstehen-
den, welche sich auch in die Form a ; b a ; {b (1' j bn) ; 1}b setzten lässt,
während beide die Kraft von Gleichungen haben, so drängt sich die Be-
stätigung findende Vermutung auf, dass -- a für b gesagt -- der Satz
gelten möchte:
63) [Formel 2]

Beweis. Li j = Sh lPkai h(ank h + 1'k l)ai j, Ri j = ShPkai h(1'
i k + ank h) ai j ·
Multiplizirt man in Li j das allgemeine Glied der Sh l mit (1'i l + 0'i l) das
= 1 ist -- was auf die Unterscheidung der Fälle l = i und l i bei
deren Gliedern hinauskommt, so ergibt sich:
Li j = Ri j + Sh lPk0'lai h(ank h + 1'l)al j.

Elfte Vorlesung.
Schliessen) möglich — im Gegensatz zum Falle des relativen Faktors
im Subjekte, wofür wir die so einfachen ersten Inversionstheoreme
hatten. Die — im Vergleich damit fühlt man sich versucht zu sagen:
„vertrakte“ — Gestalt, in der sich uns die zweiten Inversionstheoreme
boten, und aus der im Anwendungsfalle so viele Schwierigkeiten bei
den Untersuchungen erwachsen, ist hienach wol eine unumstössliche, mit
der man endgültig zu rechnen haben wird; sie erscheint im All-
gemeinen nicht durch eine einfachere oder handlichere Form ersetzbar.

Am schnellsten leuchtet das vorstehend Gesagte bei der Exemplifi-
kation auf b = 1 ein, wo sich andernfalles die Relation a ; 1 ⋹ x ; 1 als
mit der gar nichts sagenden Subsumtion 0 ⋹ x äquivalent erweisen müsste.

Soll — allgemein in a, b, x — der erste unsrer Schlüsse umkehrbar
sein, soll also (wie im Falle b = i) ein einfaches zweites Inversionstheorem
existiren, so ist die hinreichende (und notwendige) Bedingung dafür diese,
dass von a und b die Relation erfüllt sei (welche leicht als solche nach-
zuweisen):
61) [Formel 1]
Trifft diese zu, so werden die genannten Formeln 55), 60) als Gleichungen,
Aussagenäquivalenzen gelten — und umgekehrt (weil man dann für x
selbst auch dessen Subjekt nehmen kann).

Aber auch die letzte Subsumtion 61) wird die Kraft einer Gleichung
besitzen, indem die Geltung der umgekehrten Subsumtion:
62) a ; b ; (b̄̆ ɟ 1') ; b ⋹ a ; b oder a ⋹ a ; b ɟ b̄̆ ɟ b ; 0' ɟ b̄̆
als einer Formel wie folgt erweislich.

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⋹ (a ; b ɟ b̄̆) ɟ b ; 0' nach 56), woraus durch beiderseitig relatives Nachaddiren
von b̄̆ nach Vorbemerktem a fortiori die Behauptung folgt.

Die erste Subsumtion 61) freilich gilt rückwärts nicht, wie schon die
Annahme b = 1 zeigt.

Vergleicht man die letzte Subsumtion in 61) mit der darüberstehen-
den, welche sich auch in die Form a ; b ⋹ a ; {b (1' ɟ b̄) ; 1}b setzten lässt,
während beide die Kraft von Gleichungen haben, so drängt sich die Be-
stätigung findende Vermutung auf, dass — a für b gesagt — der Satz
gelten möchte:
63) [Formel 2]

Beweis. Li j = Σh lΠkai h(āk h + 1'k l)ai j, Ri j = ΣhΠkai h(1'
i k + āk h) ai j ·
Multiplizirt man in Li j das allgemeine Glied der Σh l mit (1'i l + 0'i l) das
= 1 ist — was auf die Unterscheidung der Fälle l = i und l ≠ i bei
deren Gliedern hinauskommt, so ergibt sich:
Li j = Ri j + Σh lΠk0'lai h(āk h + 1'l)al j.

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[526/0540] Elfte Vorlesung. Schliessen) möglich — im Gegensatz zum Falle des relativen Faktors im Subjekte, wofür wir die so einfachen ersten Inversionstheoreme hatten. Die — im Vergleich damit fühlt man sich versucht zu sagen: „vertrakte“ — Gestalt, in der sich uns die zweiten Inversionstheoreme boten, und aus der im Anwendungsfalle so viele Schwierigkeiten bei den Untersuchungen erwachsen, ist hienach wol eine unumstössliche, mit der man endgültig zu rechnen haben wird; sie erscheint im All- gemeinen nicht durch eine einfachere oder handlichere Form ersetzbar. Am schnellsten leuchtet das vorstehend Gesagte bei der Exemplifi- kation auf b = 1 ein, wo sich andernfalles die Relation a ; 1 ⋹ x ; 1 als mit der gar nichts sagenden Subsumtion 0 ⋹ x äquivalent erweisen müsste. Soll — allgemein in a, b, x — der erste unsrer Schlüsse umkehrbar sein, soll also (wie im Falle b = i) ein einfaches zweites Inversionstheorem existiren, so ist die hinreichende (und notwendige) Bedingung dafür diese, dass von a und b die Relation erfüllt sei (welche leicht als solche nach- zuweisen): 61) [FORMEL] Trifft diese zu, so werden die genannten Formeln 55), 60) als Gleichungen, Aussagenäquivalenzen gelten — und umgekehrt (weil man dann für x selbst auch dessen Subjekt nehmen kann). Aber auch die letzte Subsumtion 61) wird die Kraft einer Gleichung besitzen, indem die Geltung der umgekehrten Subsumtion: 62) a ; b ; (b̄̆ ɟ 1') ; b ⋹ a ; b oder a ⋹ a ; b ɟ b̄̆ ɟ b ; 0' ɟ b̄̆ als einer Formel wie folgt erweislich. Wegen a ; b ⋹ a ; b ist bekanntlich a ⋹ a ; b ɟ b̄̆, aber a ; b = (a ; b ɟ b̄̆) ; b ⋹ ⋹ (a ; b ɟ b̄̆) ɟ b ; 0' nach 56), woraus durch beiderseitig relatives Nachaddiren von b̄̆ nach Vorbemerktem a fortiori die Behauptung folgt. Die erste Subsumtion 61) freilich gilt rückwärts nicht, wie schon die Annahme b = 1 zeigt. Vergleicht man die letzte Subsumtion in 61) mit der darüberstehen- den, welche sich auch in die Form a ; b ⋹ a ; {b (1' ɟ b̄) ; 1}b setzten lässt, während beide die Kraft von Gleichungen haben, so drängt sich die Be- stätigung findende Vermutung auf, dass — a für b gesagt — der Satz gelten möchte: 63) [FORMEL] Beweis. Li j = Σh lΠkai h(āk h + 1'k l)ai j, Ri j = ΣhΠkai h(1' i k + āk h) ai j · Multiplizirt man in Li j das allgemeine Glied der Σh l mit (1'i l + 0'i l) das = 1 ist — was auf die Unterscheidung der Fälle l = i und l ≠ i bei deren Gliedern hinauskommt, so ergibt sich: Li j = Ri j + Σh lΠk0'lai h(āk h + 1'l)al j.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 526. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/540>, abgerufen am 23.11.2024.