Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 29. Anwendung zur Lösung einer Produktiraufgabe.

Aufgabe 13. Gesucht [Formel 1] , wie in 38) S. 508.
Sie begreift die vorhergehenden Aufgaben 8 bis 12 als Sonderfälle unter
sich — die 9 und 10 allerdings nicht voll, sondern nur mit deren hervor-
gehobnem Unterfalle. Wir haben — demnächst kraft 39):
[Formel 2] und frägt sich zunächst, welchen Wert dieses letzte [Formel 3] besitzt. Hierbei ist
zu beachten, dass die m_ι nicht konstant bezüglich i sind, sondern in der
Σ_i parallel mit i von Glied zu Glied wechseln.

Sofern nach ι alle m_ι ungleich k sind, wird u_{h k} = 0 neben nach ι
allen [Formel 4] vorkommen und unser [Formel 5] verschwinden.

Sind jedoch nach ι einige m_ι gleich k, so wird in den zugehörigen
Gliedern der letzten Σ_i der Faktor [Formel 6] gegen den Summanden u_{h k}
fortfallen und [Formel 7] als unveräusserlicher Bestandteil des allgemeinen
Faktors in unserm [Formel 8] auftreten, auf diesen aber auch das ganze [Formel 9] sich
reduziren, weil neben u_{h k} = 0 auch die übrigen [Formel 10] (in denen m_ι von k
verschieden) = 0 vorkommen werden — sintemal ja für u alle erdenk-
lichen Werte aus 1² gesetzt werden sollen. Also muss sein:
43) [Formel 11] ,
was auch für den vorhergehenden Fall den richtigen Wert 0 wiedergibt.
Die Summe rechterhand dürfte selbstverständlich nicht nach dem Schema 12)
der S. 121 zu einem einzigen Gliede reduzirt werden, weil in ihr m_ι nicht
bezüglich i konstant ist, sondern seine Bedeutung parallel mit i wechselt;
diese Summe kann vielmehr der effektiven Glieder beliebig viele haben.
Damit wird:
[Formel 12] ,
wenn wir unser (oben vorwärts angewendetes) Schema 39) nun wieder
rückwärts anwenden.

Nun kann man c_{m i} = c̆_{i m} = (i ; c̆)_{h m} = (c ; i)_{m k} nach Belieben schreiben,
den Term auch tautologisch verdoppelt ansetzen und für den einen die
vorletzte, für den andern die letzte Form wählen. Je nachdem ergibt sich:
Π_m(b_{h m} + c_{m i} + 1'_{m k}) = {(b + ĭ ; c̆) ɟ 1'}_{h k} = {b ɟ (c ; i + 1')}_{h k} = {(b + ĭ ; c̆) ɟ (c ; i + 1')}_{h k},
und da auch noch a_{h i} = (a ; i)_{h k}, d_{i k} = (ĭ ; d)_{h k}, so wird:
x_{h k} = Σ_i[a ; i · {(b + ĭ ; c̆) ɟ (c ; i + 1')} · ĭ ; d]_{h k}
oder also:
x = Σ_ia ; i · {(b + ĭ ; c̆) ɟ (c ; i + 1')} · ĭ ; d,
wo von den beiden Termen ĭ ; c̆ und c ; i auch nach Belieben der eine oder