Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Elfte Vorlesung.

der andre (aber nicht beide) unterdrückbar. Man mag etwa als das Ein-
fachere für unser Ergebniss schreiben:
44) x = Σ_ia ; i · {b ɟ (c ; i + 1')} · ĭ ; d.

Damit ist x zwar noch nicht völlig in geschlossener Form dargestellt,
aber doch das Π nach u von der zweiten auf eine Σ nach i der ersten
Stufe oder Ordnung reduzirt.

Dieser letzteren jedoch lässt sich sogleich auch die noch einfachere
Form geben:
45) x = Σ_ii · a{b ɟ (c + i)} ; d
— worin wiederum der Summand i auch von c abgetrennt und als Sum-
mand ĭ zu b geschlagen werden dürfte.

Dies lässt sich einerseits leicht verifiziren, indem man auch für letztres x
den allgemeinen Koeffizienten x_{h k} aufstellt; als solcher stellt sich in der
That — nur l für i gesagt — sogleich der vorletzte Ausdruck von x_{h k}
heraus.

Andrerseits kann man auch den letzten Ausdruck 45) des x aus dem
vorhergehenden 44) systematisch ableiten — mittelst Durchgangs durch
eine Doppelsumme. Zu dem Ende schreiben wir in 44) den mittleren Faktor
als (b + ĭ ; c̆) ɟ 1' in der Form e ɟ 1' an und wählen von den vier Dar-
stellungen über die wir nach 14) oder 17), 16) oder 22), und 18) für
e ɟ 1' verfügen:
e ɟ 1' = Π_j(e ; j + j̆) = Π_j(e ɟ j̄ + j̆) = Π_j(e ɟ j + j̄̆) = Σ_j(e ɟ j)j̆
die letzte, weil alsdann die beiden Summationszeichen unmittelbar ver-
tauscht werden dürfen.

Dann wird aber: (b + ĭ ; c̆) ɟ j = b ɟ (c ; i + j) = b ɟ (c + j) ; i = {b ɟ (c + j)} ; i
wegen j = j ; i, etc. sein, und wir erhalten:
x = Σ_jj̆ · Σ_ia ; i · {b ɟ (c + j)} ; i · ĭ ; d =
= Σ_jj̆ · Σ_ia{b ɟ (c + j)} ; i · ĭ ; d = Σ_jj̆ · a{b ɟ (c + j)} ; d,
was abgesehen von der Bezeichnung der Summationsvariabeln die Dar-
stellung 45) von x ist.

[Zu berücksichtigen waren vorstehend die Sätze (wegen i = i ; 1) 10)
des § 27, 10), sodann 27) und 26) des § 25, zuletzt 14).]

Der Kontrolen für unser Ergebniss sind nun viele.

Vor allem wollen wir die schon kontrolirte Lösung der Aufgabe 12
aus ihm ableiten. Zu dem Ende ist in 45) a = 1, b = 0 zu nehmen,
hernach a und b für c und d zu schreiben. So entsteht zunächst:
x = Σ_iĭ · {0 ɟ (a + i)} ; b = Σ_iĭ · (ĭ ɟ a) ; b = Σ_iĭ · ĭ ; (1' ɟ a) ; b,
vergleiche 32) des § 25, nebst 25). Also nach 26):
x = 1 ; {(1' ɟ a) ; b}1' = 1 ; 1'{b̆ ; (ă ɟ 1')},
weil 1'c = 1'c̆. Nun gilt der bemerkenswerte Satz: