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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.

Wenn endlich b ; 1 für b steht, so hat man sofort: 1 ; (a j 1')(b ; 1) =
= 1 ; b ; (a j 1), q. e. d. --

Zuweilen gelangt man auch, indem man einen Fehler macht, zu inter-
essanten Sätzen! Ich hatte bei der weiter unten gegebnen Ableitung des x
durch ungenaue Reminiszenz der Sätze 27) des § 26 mich verleiten lassen
(i j a) ; b fälschlich umzuwandeln in i j a ; b und war dadurch zu dem Werte
0 j (a ; b + 1') für x gelangt, mit welchem von den vier vorstehenden Kon-
trolen, mit Ausnahme der letzten, alle stimmten. Merkwürdigerweise nament-
lich liegt dieses fehlerhafte Resultat ebenfalls richtig zwischen den vor-
ermittelten beiden Grenzen, und indem man dieses kontrolirt, gewinnt man
sehr bemerkenswerte Sätze.

Wir müssen in der That haben:
1 ; (a j 1')b 0 j (a ; b + 1') 0 j (a ; b + 1' · 1 ; b).
Da der Major bereits in {0 j (a ; b + 1')}{0 j (a ; b + 1 ; b)} = x · (0 j 1 ; b) =
= x · 1 ; b zerlegt worden, so ist aus x x · 1 ; b nur noch x 1 ; b dar-
zuthun, was mit: 0 j (a ; b + 1') 0 j (1 ; b + 1') = 0 j 1' + 1 ; b = 1 ; b folgt.

Wertvoller ist, was der Minor, die erste Teilsubsumtion unsrer Doppel-
subsumtion lehrt. Diese kann nach dem ersten Inversionstheoreme äqui-
valent umgeschrieben werden in 1 ; 1 ; (a j 1')b a ; b + 1', oder also in den
ersten Satz des folgenden Gespannes:
41) [Formel 1]
dessen konjugirte Sätze, mit einander und schon anderweitig Bekanntem
vereinigt, uns gestatten, das relative Produkt und die relative Summe
zwischen folgende Grenzen einzuschliessen:
42) [Formel 2]

Behufs Beweises aus der Koeffizientenevidenz des ersten Satzes 41)
haben wir, die rechte Seite auf 0 bringend, zu zeigen dass:
0' · 1 ; (a j 1')b · (an j bn) = 0, also 0'i jShPk(ak h + 1'k j)bh jPl(ani l + bnl j) = 0
ist, oder also ShPk l0'i j(ak h + 1'k j)(ani l + bnl j)bh j = 0.

Da j i, k j in den effektiven Gliedern und Faktoren sein muss,
so ist jedenfalls der Wert k = i vertreten und wird für jedes h ein Faktor
des Pk l bei k = i, l = h als 0'i j(ai h + 1'i j)(ani h + bnh j)bh j gleich 0, mithin
verschwindet jedes Glied der Sh, q. e. d.

A fortiori ist natürlich auch:
0'{a(1' j b) + (a j 1')b} a ; b, also z. B. 0'(a j 1')b(an j bn) = 0

womit gewisse identische Produkte nachgewiesen sind als solche,
die allermindestens enthalten sein müssen im relativen Produkte. Etc.

Elfte Vorlesung.

Wenn endlich b ; 1 für b steht, so hat man sofort: 1 ; (ă ɟ 1')(b ; 1) =
= 1 ; b̆ ; (ă ɟ 1), q. e. d. —

Zuweilen gelangt man auch, indem man einen Fehler macht, zu inter-
essanten Sätzen! Ich hatte bei der weiter unten gegebnen Ableitung des x
durch ungenaue Reminiszenz der Sätze 27) des § 26 mich verleiten lassen
(ĭ ɟ a) ; b fälschlich umzuwandeln in ĭ ɟ a ; b und war dadurch zu dem Werte
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trolen, mit Ausnahme der letzten, alle stimmten. Merkwürdigerweise nament-
lich liegt dieses fehlerhafte Resultat ebenfalls richtig zwischen den vor-
ermittelten beiden Grenzen, und indem man dieses kontrolirt, gewinnt man
sehr bemerkenswerte Sätze.

Wir müssen in der That haben:
1 ; (ă ɟ 1')b ⋹ 0 ɟ (a ; b + 1') ⋹ 0 ɟ (a ; b + 1' · 1 ; b).
Da der Major bereits in {0 ɟ (a ; b + 1')}{0 ɟ (a ; b + 1 ; b)} = x · (0 ɟ 1 ; b) =
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zuthun, was mit: 0 ɟ (a ; b + 1') ⋹ 0 ɟ (1 ; b + 1') = 0 ɟ 1' + 1 ; b = 1 ; b folgt.

Wertvoller ist, was der Minor, die erste Teilsubsumtion unsrer Doppel-
subsumtion lehrt. Diese kann nach dem ersten Inversionstheoreme äqui-
valent umgeschrieben werden in 1 ; 1 ; (ă ɟ 1')b ⋹ a ; b + 1', oder also in den
ersten Satz des folgenden Gespannes:
41) [Formel 1]
dessen konjugirte Sätze, mit einander und schon anderweitig Bekanntem
vereinigt, uns gestatten, das relative Produkt und die relative Summe
zwischen folgende Grenzen einzuschliessen:
42) [Formel 2]

Behufs Beweises aus der Koeffizientenevidenz des ersten Satzes 41)
haben wir, die rechte Seite auf 0 bringend, zu zeigen dass:
0' · 1 ; (ă ɟ 1')b · (ā ɟ b̄) = 0, also 0'i jΣhΠk(ak h + 1'k j)bh jΠl(āi l + b̄l j) = 0
ist, oder also ΣhΠk l0'i j(ak h + 1'k j)(āi l + b̄l j)bh j = 0.

Da j ≠ i, k ≠ j in den effektiven Gliedern und Faktoren sein muss,
so ist jedenfalls der Wert k = i vertreten und wird für jedes h ein Faktor
des Πk l bei k = i, l = h als 0'i j(ai h + 1'i j)(āi h + b̄h j)bh j gleich 0, mithin
verschwindet jedes Glied der Σh, q. e. d.

A fortiori ist natürlich auch:
0'{a(1' ɟ b̆) + (ă ɟ 1')b} ⋹ a ; b, also z. B. 0'(ă ɟ 1')b(ā ɟ b̄) = 0

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[518/0532] Elfte Vorlesung. Wenn endlich b ; 1 für b steht, so hat man sofort: 1 ; (ă ɟ 1')(b ; 1) = = 1 ; b̆ ; (ă ɟ 1), q. e. d. — Zuweilen gelangt man auch, indem man einen Fehler macht, zu inter- essanten Sätzen! Ich hatte bei der weiter unten gegebnen Ableitung des x durch ungenaue Reminiszenz der Sätze 27) des § 26 mich verleiten lassen (ĭ ɟ a) ; b fälschlich umzuwandeln in ĭ ɟ a ; b und war dadurch zu dem Werte 0 ɟ (a ; b + 1') für x gelangt, mit welchem von den vier vorstehenden Kon- trolen, mit Ausnahme der letzten, alle stimmten. Merkwürdigerweise nament- lich liegt dieses fehlerhafte Resultat ebenfalls richtig zwischen den vor- ermittelten beiden Grenzen, und indem man dieses kontrolirt, gewinnt man sehr bemerkenswerte Sätze. Wir müssen in der That haben: 1 ; (ă ɟ 1')b ⋹ 0 ɟ (a ; b + 1') ⋹ 0 ɟ (a ; b + 1' · 1 ; b). Da der Major bereits in {0 ɟ (a ; b + 1')}{0 ɟ (a ; b + 1 ; b)} = x · (0 ɟ 1 ; b) = = x · 1 ; b zerlegt worden, so ist aus x ⋹ x · 1 ; b nur noch x ⋹ 1 ; b dar- zuthun, was mit: 0 ɟ (a ; b + 1') ⋹ 0 ɟ (1 ; b + 1') = 0 ɟ 1' + 1 ; b = 1 ; b folgt. Wertvoller ist, was der Minor, die erste Teilsubsumtion unsrer Doppel- subsumtion lehrt. Diese kann nach dem ersten Inversionstheoreme äqui- valent umgeschrieben werden in 1 ; 1 ; (ă ɟ 1')b ⋹ a ; b + 1', oder also in den ersten Satz des folgenden Gespannes: 41) [FORMEL] dessen konjugirte Sätze, mit einander und schon anderweitig Bekanntem vereinigt, uns gestatten, das relative Produkt und die relative Summe zwischen folgende Grenzen einzuschliessen: 42) [FORMEL] Behufs Beweises aus der Koeffizientenevidenz des ersten Satzes 41) haben wir, die rechte Seite auf 0 bringend, zu zeigen dass: 0' · 1 ; (ă ɟ 1')b · (ā ɟ b̄) = 0, also 0'i jΣhΠk(ak h + 1'k j)bh jΠl(āi l + b̄l j) = 0 ist, oder also ΣhΠk l0'i j(ak h + 1'k j)(āi l + b̄l j)bh j = 0. Da j ≠ i, k ≠ j in den effektiven Gliedern und Faktoren sein muss, so ist jedenfalls der Wert k = i vertreten und wird für jedes h ein Faktor des Πk l bei k = i, l = h als 0'i j(ai h + 1'i j)(āi h + b̄h j)bh j gleich 0, mithin verschwindet jedes Glied der Σh, q. e. d. A fortiori ist natürlich auch: 0'{a(1' ɟ b̆) + (ă ɟ 1')b} ⋹ a ; b, also z. B. 0'(ă ɟ 1')b(ā ɟ b̄) = 0 womit gewisse identische Produkte nachgewiesen sind als solche, die allermindestens enthalten sein müssen im relativen Produkte. Etc.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 518. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/532>, abgerufen am 18.05.2024.

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