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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 29. Anwendung zur Lösung einer Produktiraufgabe.
[Formel 1] .
Wieder ist jedoch leicht unmittelbar zu sehen, dass
40) [Formel 2]
sein muss, was für den Fall, dass auch nur eines der mi gleich k ist, in
Gestalt der Gleichung 1 = 1 ohne weitres einleuchtet, für den Fall da-
gegen, dass sämtliche mi der Summe nach i ungleich k sind, in Gestalt
der Gleichung 0 = 0 daraus zu erkennen ist, dass alsdann unter den zu-
lässigen Werten des u auch ein solcher sein wird, für welchen sowol
uh k = 0 als auch nach i (und dem parallel damit sich ändernden i) jedes
[Formel 3] , d. h. jedes [Formel 4] zugleich ist, mithin ein Faktor des [Formel 5] ver-
schwindet.

Darnach entsteht:
[Formel 6] ,
indem wir unser Schema 39) auch wieder rückwärts anwenden durften. D. h.
[Formel 7] -- womit in Übereinstimmung mit der obigen Angabe s = 1 ; b ; (a j 1')
gefunden ist.

Nachdem jetzt die Methode zur Lösung kund geworden, wollen wir
anstatt der speziellen Aufgabe 12 lieber sogleich die allgemeinere Aufgabe
in Angriff nehmen und lösen, welche wir über Aufg. 8 charakterisirt haben.

Vorausbemerkt sei jedoch zur Stelle, dass durch Spezialisiren des Er-
gebnisses dieser allgemeineren Untersuchung sich die Lösung unsrer Aufg. 12
unschwer ergeben wird als:
x = 1 : (a j 1')b.
D. h. die S. 511 für x ermittelte untere Grenze stellt im vorliegenden
Falle den exakten Wert dieser Unbekannten vor. Damit stimmt denn be-
greiflicherweise die durch die Vorausbestimmung jener Grenzen gegebne
Kontrole für unser Ergebniss.

Ebendieses gibt auch für die schon zum voraus erledigten partikularen
Fälle des Problemes deren Resultate richtig wieder. So ohne weiteres für
a = 0. Steht dagegen b1' für b, so muss eingesehen werden, dass:
1 ; (a j 1')b1' = 0 j (a0' + b1')
ist. Zu dem Ende kann man nach einem (ich greife ein wenig vor) dem-
nächst statuirten Satze 47), 46) die linke Seite zerlegen in 1 ; (a j 1')1' =
= 1 ; (1' j a)1' = 0 j (a + 1') und 1 ; b1' = 0 j (b + 0'), so wird sich das
Produkt dieser beiden Ausdrücke 0 j (a + 1')(b + 0') als die rechte Seite
darstellen, q. e. d.


§ 29. Anwendung zur Lösung einer Produktiraufgabe.
[Formel 1] .
Wieder ist jedoch leicht unmittelbar zu sehen, dass
40) [Formel 2]
sein muss, was für den Fall, dass auch nur eines der mι gleich k ist, in
Gestalt der Gleichung 1 = 1 ohne weitres einleuchtet, für den Fall da-
gegen, dass sämtliche mι der Summe nach i ungleich k sind, in Gestalt
der Gleichung 0 = 0 daraus zu erkennen ist, dass alsdann unter den zu-
lässigen Werten des u auch ein solcher sein wird, für welchen sowol
uh k = 0 als auch nach i (und dem parallel damit sich ändernden ι) jedes
[Formel 3] , d. h. jedes [Formel 4] zugleich ist, mithin ein Faktor des [Formel 5] ver-
schwindet.

Darnach entsteht:
[Formel 6] ,
indem wir unser Schema 39) auch wieder rückwärts anwenden durften. D. h.
[Formel 7] — womit in Übereinstimmung mit der obigen Angabe s = 1 ; b̆ ; (ă ɟ 1')
gefunden ist.

Nachdem jetzt die Methode zur Lösung kund geworden, wollen wir
anstatt der speziellen Aufgabe 12 lieber sogleich die allgemeinere Aufgabe
in Angriff nehmen und lösen, welche wir über Aufg. 8 charakterisirt haben.

Vorausbemerkt sei jedoch zur Stelle, dass durch Spezialisiren des Er-
gebnisses dieser allgemeineren Untersuchung sich die Lösung unsrer Aufg. 12
unschwer ergeben wird als:
x = 1 : (ă ɟ 1')b.
D. h. die S. 511 für x ermittelte untere Grenze stellt im vorliegenden
Falle den exakten Wert dieser Unbekannten vor. Damit stimmt denn be-
greiflicherweise die durch die Vorausbestimmung jener Grenzen gegebne
Kontrole für unser Ergebniss.

Ebendieses gibt auch für die schon zum voraus erledigten partikularen
Fälle des Problemes deren Resultate richtig wieder. So ohne weiteres für
a = 0. Steht dagegen b1' für b, so muss eingesehen werden, dass:
1 ; (ă ɟ 1')b1' = 0 ɟ (a0' + b1')
ist. Zu dem Ende kann man nach einem (ich greife ein wenig vor) dem-
nächst statuirten Satze 47), 46) die linke Seite zerlegen in 1 ; (ă ɟ 1')1' =
= 1 ; (1' ɟ a)1' = 0 ɟ (a + 1') und 1 ; b1' = 0 ɟ (b + 0'), so wird sich das
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darstellen, q. e. d.


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[517/0531] § 29. Anwendung zur Lösung einer Produktiraufgabe. [FORMEL]. Wieder ist jedoch leicht unmittelbar zu sehen, dass 40) [FORMEL] sein muss, was für den Fall, dass auch nur eines der mι gleich k ist, in Gestalt der Gleichung 1 = 1 ohne weitres einleuchtet, für den Fall da- gegen, dass sämtliche mι der Summe nach i ungleich k sind, in Gestalt der Gleichung 0 = 0 daraus zu erkennen ist, dass alsdann unter den zu- lässigen Werten des u auch ein solcher sein wird, für welchen sowol uh k = 0 als auch nach i (und dem parallel damit sich ändernden ι) jedes [FORMEL], d. h. jedes [FORMEL] zugleich ist, mithin ein Faktor des [FORMEL] ver- schwindet. Darnach entsteht: [FORMEL], indem wir unser Schema 39) auch wieder rückwärts anwenden durften. D. h. [FORMEL] — womit in Übereinstimmung mit der obigen Angabe s = 1 ; b̆ ; (ă ɟ 1') gefunden ist. Nachdem jetzt die Methode zur Lösung kund geworden, wollen wir anstatt der speziellen Aufgabe 12 lieber sogleich die allgemeinere Aufgabe in Angriff nehmen und lösen, welche wir über Aufg. 8 charakterisirt haben. Vorausbemerkt sei jedoch zur Stelle, dass durch Spezialisiren des Er- gebnisses dieser allgemeineren Untersuchung sich die Lösung unsrer Aufg. 12 unschwer ergeben wird als: x = 1 : (ă ɟ 1')b. D. h. die S. 511 für x ermittelte untere Grenze stellt im vorliegenden Falle den exakten Wert dieser Unbekannten vor. Damit stimmt denn be- greiflicherweise die durch die Vorausbestimmung jener Grenzen gegebne Kontrole für unser Ergebniss. Ebendieses gibt auch für die schon zum voraus erledigten partikularen Fälle des Problemes deren Resultate richtig wieder. So ohne weiteres für a = 0. Steht dagegen b1' für b, so muss eingesehen werden, dass: 1 ; (ă ɟ 1')b1' = 0 ɟ (a0' + b1') ist. Zu dem Ende kann man nach einem (ich greife ein wenig vor) dem- nächst statuirten Satze 47), 46) die linke Seite zerlegen in 1 ; (ă ɟ 1')1' = = 1 ; (1' ɟ a)1' = 0 ɟ (a + 1') und 1 ; b1' = 0 ɟ (b + 0'), so wird sich das Produkt dieser beiden Ausdrücke 0 ɟ (a + 1')(b + 0') als die rechte Seite darstellen, q. e. d.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 517. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/531>, abgerufen am 17.05.2024.