Transformation von L in R blos erforderlich, für jedes einzelne der diffe- renziirten (d. i. verschieden benannten) m das Schema anzuwenden: a + Pmf(m) + b = Pm{a + f(m) + b}, wonach das Pm auch über den vorangehenden oder nachfolgenden kon- stanten Addenden miterstreckt werden darf. Ebendieses Schema -- vergl. 26) S. 100 -- war aber aus dem Aussagenschema l) S. 40 leicht zu recht- fertigen.
Ähnlich hätte man für das Schema 39) rechterhand:
[Formel 1]
. -- Das hier Gesagte soll nun aber nicht blos -- etwa durch Schluss der vollständigen Induktion -- für eine beliebige diskrete Wertenreihe der i und i gerechtfertigt und statuirt sein (für die wir es vorstehend sozusagen nur illustrirt haben), sondern es soll nach dem dictum de omni für alle i, i schlechthin in Anspruch genommen werden.
Wenn nunmehr die i, i auch ein Kontinuum von Werten etwa sollten zu durchlaufen haben, so wird man sich doch für einen jeden il, l ihrer Werte darauf berufen dürfen, wie aus b) S. 37 beweisbar gewesen, dass nach 18) S. 98 jeder Term einer "S" auch darstellbar ist als wirkliches Glied einer (binären) "Summe" (im engsten Sinne), deren andres Glied alsdann, als unabhängig von dem in jenem Term auftretenden m mit a bezeichnet, dem Schema Pmf(m) + a = Pm{f(m) + a} unterworfen sein muss. Etc. q. e. d.
Schliesslich sieht man, dass unser Schema falsch und illusorisch würde, wollte man den Zeigernamen mi durch mi, oder überhaupt ein ph(i), ersetzen. Denn in seinem letzten Teile würde alsdann Sif(i, mi) als allgemeiner Faktor der P auftreten, und dieses müsste einen von i gänzlich unabhängigen Wert aufweisen, sintemal der Buchstabe i darin blos als Stellvertreter funktionirt für die ihm aus dem Erstreckungs- bereich des i beizulegenden Werte. Es könnte darnach auch mi als solches in seinem ausgewerteten Ausdrucke nicht mehr vorkommen. (Analog wie ein bestimmtes Integral unabhängig ist von seiner Inte- grationsvariablen!) Darnach käme der dem Term vorangehende Operator
[Formel 2]
ganz in Wegfall, gemäss dem Tautologiegesetze Pa = a, und unser Schema müsste sich noch ausserordentlich vereinfachen! Dass solche Vereinfachung im Allgemeinen nicht zulässig, würde sich exemplificando darthun lassen.
In Nutzanwendung unsres Schemas auf unsre Unteraufgabe erhalten wir nun:
Elfte Vorlesung.
Transformation von L in R blos erforderlich, für jedes einzelne der diffe- renziirten (d. i. verschieden benannten) m das Schema anzuwenden: a + Πmf(m) + b = Πm{a + f(m) + b}, wonach das Πm auch über den vorangehenden oder nachfolgenden kon- stanten Addenden miterstreckt werden darf. Ebendieses Schema — vergl. 26) S. 100 — war aber aus dem Aussagenschema λ) S. 40 leicht zu recht- fertigen.
Ähnlich hätte man für das Schema 39) rechterhand:
[Formel 1]
. — Das hier Gesagte soll nun aber nicht blos — etwa durch Schluss der vollständigen Induktion — für eine beliebige diskrete Wertenreihe der i und ι gerechtfertigt und statuirt sein (für die wir es vorstehend sozusagen nur illustrirt haben), sondern es soll nach dem dictum de omni für alle i, ι schlechthin in Anspruch genommen werden.
Wenn nunmehr die i, ι auch ein Kontinuum von Werten etwa sollten zu durchlaufen haben, so wird man sich doch für einen jeden iλ, λ ihrer Werte darauf berufen dürfen, wie aus β) S. 37 beweisbar gewesen, dass nach 18) S. 98 jeder Term einer „Σ“ auch darstellbar ist als wirkliches Glied einer (binären) „Summe“ (im engsten Sinne), deren andres Glied alsdann, als unabhängig von dem in jenem Term auftretenden m mit a bezeichnet, dem Schema Πmf(m) + a = Πm{f(m) + a} unterworfen sein muss. Etc. q. e. d.
Schliesslich sieht man, dass unser Schema falsch und illusorisch würde, wollte man den Zeigernamen mι durch mi, oder überhaupt ein φ(i), ersetzen. Denn in seinem letzten Teile würde alsdann Σif(i, mi) als allgemeiner Faktor der Π auftreten, und dieses müsste einen von i gänzlich unabhängigen Wert aufweisen, sintemal der Buchstabe i darin blos als Stellvertreter funktionirt für die ihm aus dem Erstreckungs- bereich des i beizulegenden Werte. Es könnte darnach auch mi als solches in seinem ausgewerteten Ausdrucke nicht mehr vorkommen. (Analog wie ein bestimmtes Integral unabhängig ist von seiner Inte- grationsvariablen!) Darnach käme der dem Term vorangehende Operator
[Formel 2]
ganz in Wegfall, gemäss dem Tautologiegesetze Πa = a, und unser Schema müsste sich noch ausserordentlich vereinfachen! Dass solche Vereinfachung im Allgemeinen nicht zulässig, würde sich exemplificando darthun lassen.
In Nutzanwendung unsres Schemas auf unsre Unteraufgabe erhalten wir nun:
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[516/0530]
Elfte Vorlesung.
Transformation von L in R blos erforderlich, für jedes einzelne der diffe-
renziirten (d. i. verschieden benannten) m das Schema anzuwenden:
a + Πmf(m) + b = Πm{a + f(m) + b},
wonach das Πm auch über den vorangehenden oder nachfolgenden kon-
stanten Addenden miterstreckt werden darf. Ebendieses Schema — vergl.
26) S. 100 — war aber aus dem Aussagenschema λ) S. 40 leicht zu recht-
fertigen.
Ähnlich hätte man für das Schema 39) rechterhand:
[FORMEL]. —
Das hier Gesagte soll nun aber nicht blos — etwa durch Schluss der
vollständigen Induktion — für eine beliebige diskrete Wertenreihe
der i und ι gerechtfertigt und statuirt sein (für die wir es vorstehend
sozusagen nur illustrirt haben), sondern es soll nach dem dictum de
omni für alle i, ι schlechthin in Anspruch genommen werden.
Wenn nunmehr die i, ι auch ein Kontinuum von Werten etwa
sollten zu durchlaufen haben, so wird man sich doch für einen jeden
iλ, λ ihrer Werte darauf berufen dürfen, wie aus β) S. 37 beweisbar
gewesen, dass nach 18) S. 98 jeder Term einer „Σ“ auch darstellbar
ist als wirkliches Glied einer (binären) „Summe“ (im engsten Sinne),
deren andres Glied alsdann, als unabhängig von dem in jenem Term
auftretenden m mit a bezeichnet, dem Schema Πmf(m) + a = Πm{f(m) + a}
unterworfen sein muss. Etc. q. e. d.
Schliesslich sieht man, dass unser Schema falsch und illusorisch
würde, wollte man den Zeigernamen mι durch mi, oder überhaupt ein
φ(i), ersetzen. Denn in seinem letzten Teile würde alsdann Σif(i, mi)
als allgemeiner Faktor der Π auftreten, und dieses müsste einen von i
gänzlich unabhängigen Wert aufweisen, sintemal der Buchstabe i darin
blos als Stellvertreter funktionirt für die ihm aus dem Erstreckungs-
bereich des i beizulegenden Werte. Es könnte darnach auch mi als
solches in seinem ausgewerteten Ausdrucke nicht mehr vorkommen.
(Analog wie ein bestimmtes Integral unabhängig ist von seiner Inte-
grationsvariablen!) Darnach käme der dem Term vorangehende Operator
[FORMEL] ganz in Wegfall, gemäss dem Tautologiegesetze Πa = a,
und unser Schema müsste sich noch ausserordentlich vereinfachen!
Dass solche Vereinfachung im Allgemeinen nicht zulässig, würde sich
exemplificando darthun lassen.
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wir nun:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 516. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/530>, abgerufen am 18.05.2024.
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