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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.
sehen, darf -- wofern die Operationen Erfolg haben sollen -- für i über-
haupt nicht ein den Namen i enthaltendes Symbol -- wie ph(i) -- ge-
wählt werden!

Dies wird den Vorteil bringen, dass wir alsdann jedes einzelne
nach einem bestimmten mi zu nehmende P voranschieben dürfen vor
unser S. Es wird sich das wichtige Schema rechtfertigen lassen:
39) [Formel 1] ,
durch welches der Erfolg erzielt ist, alle P vor das S gebracht zu
haben.

Der Bequemlichkeit des Druckes zuliebe haben wir hier die Zeiger i
und m so angesetzt, als ob sie als Elemente die volle Erstreckung über
11 hätten. Dies ist ja gewiss zulässig. Indessen ist es für die Geltung
unsres Schemas keineswegs erforderlich. Vielmehr dürften i und m auch
irgendwie gegebene Erstreckungen im Denkbereiche 11 haben -- die Er-
streckung von m natürlich von vornherein als unabhängig von i, für jedes
i die gleiche, vorausgesetzt, und auch auf jedes mi übertragen, d. h. einem
jeden von diesen wiederum zugeschrieben (eine Beschränkung, von welcher
sogar der letzte Teil eines jeden der beiden Doppelschemata unabhängig
ist). M. a. W. wir dürften auch [Formel 2] für Si oder [Formel 3] für Pm etc. schreiben.

Ja unser Schema bliebe auch in Kraft, wenn die beiden Zeiger, oder
einer von ihnen, gar keine Elementbuchstaben wären, sondern als ein u
oder v ihre Erstreckung im Denkbereiche 12 hätten. Doch wollen wir auf
letztre Möglichkeiten an dieser Stelle nicht näher eingehn.

Der letzte Teil unsrer Schemata bedarf noch der Erläuterung,
muss vor seiner Begründung erst verstehen gelernt werden.

Wenn i (parallel mit i) etwa eine Wertenreihe 1, 2, 3, ... zu
durchlaufen hätte, so würde sich die Bedeutung des rätselhaften Ope-
rators vor dem letzten Si in 39) dadurch erklären lassen, dass man
diesen in der gewöhnlichen Schreibung ausführlich, explizirt hinsetzte
-- unter Nichterwähnung des allgemeinen Terms oder Faktors näm-
lich, in Gestalt von:
[Formel 4] ihn als das Produktationssymbol für ein (eventuell unbegrenzt) "viel-
faches Produkt" definirte. Und ebenso wäre
[Formel 5] weiter nichts als wie das Summationssymbol zur Andeutung einer
"mehrfachen Summe".

Da letztere unzweifelhaft dem mehrfachen Produkte dual entspricht,
so sieht man zunächst, dass in der neuen Symbolik (die zur Abkürzung

Elfte Vorlesung.
sehen, darf — wofern die Operationen Erfolg haben sollen — für ι über-
haupt nicht ein den Namen i enthaltendes Symbol — wie φ(i) — ge-
wählt werden!

Dies wird den Vorteil bringen, dass wir alsdann jedes einzelne
nach einem bestimmten mι zu nehmende Π voranschieben dürfen vor
unser Σ. Es wird sich das wichtige Schema rechtfertigen lassen:
39) [Formel 1] ,
durch welches der Erfolg erzielt ist, alle Π vor das Σ gebracht zu
haben.

Der Bequemlichkeit des Druckes zuliebe haben wir hier die Zeiger i
und m so angesetzt, als ob sie als Elemente die volle Erstreckung über
11 hätten. Dies ist ja gewiss zulässig. Indessen ist es für die Geltung
unsres Schemas keineswegs erforderlich. Vielmehr dürften i und m auch
irgendwie gegebene Erstreckungen im Denkbereiche 11 haben — die Er-
streckung von m natürlich von vornherein als unabhängig von i, für jedes
i die gleiche, vorausgesetzt, und auch auf jedes mι übertragen, d. h. einem
jeden von diesen wiederum zugeschrieben (eine Beschränkung, von welcher
sogar der letzte Teil eines jeden der beiden Doppelschemata unabhängig
ist). M. a. W. wir dürften auch [Formel 2] für Σi oder [Formel 3] für Πm etc. schreiben.

Ja unser Schema bliebe auch in Kraft, wenn die beiden Zeiger, oder
einer von ihnen, gar keine Elementbuchstaben wären, sondern als ein u
oder v ihre Erstreckung im Denkbereiche 12 hätten. Doch wollen wir auf
letztre Möglichkeiten an dieser Stelle nicht näher eingehn.

Der letzte Teil unsrer Schemata bedarf noch der Erläuterung,
muss vor seiner Begründung erst verstehen gelernt werden.

Wenn ι (parallel mit i) etwa eine Wertenreihe 1, 2, 3, … zu
durchlaufen hätte, so würde sich die Bedeutung des rätselhaften Ope-
rators vor dem letzten Σi in 39) dadurch erklären lassen, dass man
diesen in der gewöhnlichen Schreibung ausführlich, explizirt hinsetzte
— unter Nichterwähnung des allgemeinen Terms oder Faktors näm-
lich, in Gestalt von:
[Formel 4] ihn als das Produktationssymbol für ein (eventuell unbegrenzt) „viel-
faches Produkt“ definirte. Und ebenso wäre
[Formel 5] weiter nichts als wie das Summationssymbol zur Andeutung einer
„mehrfachen Summe“.

Da letztere unzweifelhaft dem mehrfachen Produkte dual entspricht,
so sieht man zunächst, dass in der neuen Symbolik (die zur Abkürzung

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[514/0528] Elfte Vorlesung. sehen, darf — wofern die Operationen Erfolg haben sollen — für ι über- haupt nicht ein den Namen i enthaltendes Symbol — wie φ(i) — ge- wählt werden! Dies wird den Vorteil bringen, dass wir alsdann jedes einzelne nach einem bestimmten mι zu nehmende Π voranschieben dürfen vor unser Σ. Es wird sich das wichtige Schema rechtfertigen lassen: 39) [FORMEL], durch welches der Erfolg erzielt ist, alle Π vor das Σ gebracht zu haben. Der Bequemlichkeit des Druckes zuliebe haben wir hier die Zeiger i und m so angesetzt, als ob sie als Elemente die volle Erstreckung über 11 hätten. Dies ist ja gewiss zulässig. Indessen ist es für die Geltung unsres Schemas keineswegs erforderlich. Vielmehr dürften i und m auch irgendwie gegebene Erstreckungen im Denkbereiche 11 haben — die Er- streckung von m natürlich von vornherein als unabhängig von i, für jedes i die gleiche, vorausgesetzt, und auch auf jedes mι übertragen, d. h. einem jeden von diesen wiederum zugeschrieben (eine Beschränkung, von welcher sogar der letzte Teil eines jeden der beiden Doppelschemata unabhängig ist). M. a. W. wir dürften auch [FORMEL] für Σi oder [FORMEL] für Πm etc. schreiben. Ja unser Schema bliebe auch in Kraft, wenn die beiden Zeiger, oder einer von ihnen, gar keine Elementbuchstaben wären, sondern als ein u oder v ihre Erstreckung im Denkbereiche 12 hätten. Doch wollen wir auf letztre Möglichkeiten an dieser Stelle nicht näher eingehn. Der letzte Teil unsrer Schemata bedarf noch der Erläuterung, muss vor seiner Begründung erst verstehen gelernt werden. Wenn ι (parallel mit i) etwa eine Wertenreihe 1, 2, 3, … zu durchlaufen hätte, so würde sich die Bedeutung des rätselhaften Ope- rators vor dem letzten Σi in 39) dadurch erklären lassen, dass man diesen in der gewöhnlichen Schreibung ausführlich, explizirt hinsetzte — unter Nichterwähnung des allgemeinen Terms oder Faktors näm- lich, in Gestalt von: [FORMEL] ihn als das Produktationssymbol für ein (eventuell unbegrenzt) „viel- faches Produkt“ definirte. Und ebenso wäre [FORMEL] weiter nichts als wie das Summationssymbol zur Andeutung einer „mehrfachen Summe“. Da letztere unzweifelhaft dem mehrfachen Produkte dual entspricht, so sieht man zunächst, dass in der neuen Symbolik (die zur Abkürzung

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 514. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/528>, abgerufen am 17.05.2024.