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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.
erfüllt, d. h. es ist dafür Sorge zu tragen, dass in jedem solchen Falle
der allgemeine Term des P, S belanglos, nämlich sofern er Produkt-
faktor ist, gleich 1, sofern er Summand ist, gleich 0 werde. Wogegen
für jedes x, welches die Erstreckungsbedingung erfüllt, als Term wirk-
lich Ph(x) in Ansatz, Erscheinung oder Wirkung zu treten hat.

Dies wird erreicht, indem man schreibt:
33) [Formel 1] .

Je nachdem x Wurzel ist oder nicht, wird in der That in Q die
Faktoraussage F(x) = 0 den Wahrheitswert 1 oder 0 haben, um-
gekehrt aber die als Summand in P auftretende Negation derselben
gleich 0 oder 1 sein, etc.

Sofern nun das Polynom F(x) unsrer Bedingungsgleichung von vorn-
herein als ein Aussagensymbol, etwa eine Koeffizientenfunktion oder auch
als ein "ausgezeichnetes" Relativ lediglich der Werte 0 und 1 fähig sein
sollte, könnten wir Obiges vereinfachen zu
[Formel 2] .
In diesem Falle hätten wir nämlich (F 0) = (F = 1) = F und (F = 0) =
= (Fn = 1) = Fn. In jedem andern Falle dagegen wäre dergleichen ein
gröblicher Fehler.

Allgemein kann nun, in 33), der Aussagenterm nach den Schemata
des § 11 durch ein binäres und zwar ein ausgezeichnetes Relativ er-
setzt werden, welches mit ihm zugleich den Wert 0 oder 1 annimmt,
und zwar ist:
F(x) = 0 = {F(x) 0} = 1 ; F(x) ; 1, {F(x) = 0} = 0 j Fn(x) j 0,
wonach denn
34) [Formel 3]
sich ergibt. Hierin könnte denn auch u für x geschrieben werden.

In dem Unterfalle des Problems, welcher zuerst unser Interesse
auf sich zog, haben wir insbesondre:
35) [Formel 4] .

Vermöchten wir nun für eine irgendwie gegebene Funktion von u
das nach u mit der absoluten Erstreckung (über alle binären Relative)
genommene P resp. S zu evaluiren, so wären wir nach diesen Schemata
34), 35) in der Lage, das fragliche P und Q zu ermitteln -- sogar
ohne die Wurzeln x [der Bedingungsgleichung F(x) = 0] selbst zu
kennen oder eruirt zu haben!


Elfte Vorlesung.
erfüllt, d. h. es ist dafür Sorge zu tragen, dass in jedem solchen Falle
der allgemeine Term des Π, Σ belanglos, nämlich sofern er Produkt-
faktor ist, gleich 1, sofern er Summand ist, gleich 0 werde. Wogegen
für jedes x, welches die Erstreckungsbedingung erfüllt, als Term wirk-
lich Φ(x) in Ansatz, Erscheinung oder Wirkung zu treten hat.

Dies wird erreicht, indem man schreibt:
33) [Formel 1] .

Je nachdem x Wurzel ist oder nicht, wird in der That in Q die
Faktoraussage F(x) = 0 den Wahrheitswert 1 oder 0 haben, um-
gekehrt aber die als Summand in P auftretende Negation derselben
gleich 0 oder 1 sein, etc.

Sofern nun das Polynom F(x) unsrer Bedingungsgleichung von vorn-
herein als ein Aussagensymbol, etwa eine Koeffizientenfunktion oder auch
als ein „ausgezeichnetes“ Relativ lediglich der Werte 0 und 1 fähig sein
sollte, könnten wir Obiges vereinfachen zu
[Formel 2] .
In diesem Falle hätten wir nämlich (F ≠ 0) = (F = 1) = F und (F = 0) =
= (F̄ = 1) = F̄. In jedem andern Falle dagegen wäre dergleichen ein
gröblicher Fehler.

Allgemein kann nun, in 33), der Aussagenterm nach den Schemata
des § 11 durch ein binäres und zwar ein ausgezeichnetes Relativ er-
setzt werden, welches mit ihm zugleich den Wert 0 oder 1 annimmt,
und zwar ist:
F(x) = 0͞ = {F(x) ≠ 0} = 1 ; F(x) ; 1, {F(x) = 0} = 0 ɟ F̄(x) ɟ 0,
wonach denn
34) [Formel 3]
sich ergibt. Hierin könnte denn auch u für x geschrieben werden.

In dem Unterfalle des Problems, welcher zuerst unser Interesse
auf sich zog, haben wir insbesondre:
35) [Formel 4] .

Vermöchten wir nun für eine irgendwie gegebene Funktion von u
das nach u mit der absoluten Erstreckung (über alle binären Relative)
genommene Π resp. Σ zu evaluiren, so wären wir nach diesen Schemata
34), 35) in der Lage, das fragliche P und Q zu ermitteln — sogar
ohne die Wurzeln x [der Bedingungsgleichung F(x) = 0] selbst zu
kennen oder eruirt zu haben!


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[506/0520] Elfte Vorlesung. erfüllt, d. h. es ist dafür Sorge zu tragen, dass in jedem solchen Falle der allgemeine Term des Π, Σ belanglos, nämlich sofern er Produkt- faktor ist, gleich 1, sofern er Summand ist, gleich 0 werde. Wogegen für jedes x, welches die Erstreckungsbedingung erfüllt, als Term wirk- lich Φ(x) in Ansatz, Erscheinung oder Wirkung zu treten hat. Dies wird erreicht, indem man schreibt: 33) [FORMEL]. Je nachdem x Wurzel ist oder nicht, wird in der That in Q die Faktoraussage F(x) = 0 den Wahrheitswert 1 oder 0 haben, um- gekehrt aber die als Summand in P auftretende Negation derselben gleich 0 oder 1 sein, etc. Sofern nun das Polynom F(x) unsrer Bedingungsgleichung von vorn- herein als ein Aussagensymbol, etwa eine Koeffizientenfunktion oder auch als ein „ausgezeichnetes“ Relativ lediglich der Werte 0 und 1 fähig sein sollte, könnten wir Obiges vereinfachen zu [FORMEL]. In diesem Falle hätten wir nämlich (F ≠ 0) = (F = 1) = F und (F = 0) = = (F̄ = 1) = F̄. In jedem andern Falle dagegen wäre dergleichen ein gröblicher Fehler. Allgemein kann nun, in 33), der Aussagenterm nach den Schemata des § 11 durch ein binäres und zwar ein ausgezeichnetes Relativ er- setzt werden, welches mit ihm zugleich den Wert 0 oder 1 annimmt, und zwar ist: F(x) = 0͞ = {F(x) ≠ 0} = 1 ; F(x) ; 1, {F(x) = 0} = 0 ɟ F̄(x) ɟ 0, wonach denn 34) [FORMEL] sich ergibt. Hierin könnte denn auch u für x geschrieben werden. In dem Unterfalle des Problems, welcher zuerst unser Interesse auf sich zog, haben wir insbesondre: 35) [FORMEL]. Vermöchten wir nun für eine irgendwie gegebene Funktion von u das nach u mit der absoluten Erstreckung (über alle binären Relative) genommene Π resp. Σ zu evaluiren, so wären wir nach diesen Schemata 34), 35) in der Lage, das fragliche P und Q zu ermitteln — sogar ohne die Wurzeln x [der Bedingungsgleichung F(x) = 0] selbst zu kennen oder eruirt zu haben!

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 506. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/520>, abgerufen am 17.05.2024.