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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 29. Zurückführung bedingter P, S auf solche von absoluter Erstreckung.

Man kann aber auch durch das Doppelprodukt hindurchgehn:
x = PiPj(a ; j + j ; i + in ; a) = Pj(a ; j + j j 0 + 1'j ; 1 ; b) =
= Pj(a ; j + 1' ; j ; b) = Pj(a ; j + j ; b) = a j 0 + {(a + 1') j 0} ; b
nach Aufg. 5 und 3. Die Übereinstimmung beider Ergebnisse besteht auf-
grund des zweiten Satzes 30. Die P in Aufg. 6 und 3 sind gleich!

Aufgabe 7. Gesucht x = Pi(i ; a + in ; b).
x = Pi(i ; a + in · 1 ; b) = (Pii ; a + 1 ; b)Pi(i ; a + in) = (0 + 1 ; b)Pi(0' ; i + i ; a),
also nach Aufg. 3: x = 1 ; a · 1 ; b.

Etc. So zahlreich die Aufgaben sind, die sich in solcher Weise lösen
lassen, so können wir doch beispielsweise schon das Pia ; inb mit den bis-
herigen Mitteln noch nicht entdecken. --

Wenden wir jetzt unsre Aufmerksamkeit auch den Summirungs-
resp. Produktirungsaufgaben der zweiten Stufe zu.

Ein wichtiges Problem von allgemeinem Charakter ist: die "Ge-
meinheit" P sowie den (gemeinschaftlichen oder gesamten) "Bereich"
S aller der binären Relative x zu ermitteln, welche eine gegebne Be-
dingung -- etwa Gleichung F(x) = 0 -- als deren "Wurzeln" erfüllen.

Es scheint nahe gelegt, diese beiden Unbekannten (als Produkt und
Summe) mit P und S zu bezeichnen. Doch ist das Produkt gerade Sub-
jekt, die Summe Prädikat zu einer jeden von den Wurzeln, sodass diese
Bezeichnung irre führen könnte. Ich will deshalb P und Q sagen.

Indem er die Erstreckungsbedingung unterhalb des P, S-zeichens
anmerkte, würde der Mathematiker zu schreiben geneigt sein:
[Formel 1] , [Formel 2]
{F(x) = 0} {F(x) = 0}.
Unsre Disziplin aber geniesst den Vorzug, dass in ihr die Erstreckungs-
bedingung dem P, S-Ausdruck selbst einverleibt werden kann. Auf welche
Weise, das soll sogleich für eine naheliegende Erweiterung des Problemes
gesagt werden.

Die Aufgabe lässt sich noch wesentlich verallgemeinern dadurch,
dass anstatt der Wurzeln x selber eine irgendwie gegebne Funktion
Ph(x) derselben zu produktiren resp. zu summiren verlangt wird. Ge-
sucht also möge nun sein:
[Formel 3] , [Formel 4]
{F(x) = 0} {F(x) = 0}.

Wir geben den P, S die absolute Erstreckung -- über alle er-
denklichen Relative x des zweiten Denkbereiches. Alsdann kommt es
blos darauf an, den allgemeinen Term allemal dann zu einem ineffek-
tiven zu machen, wenn x die Erstreckungsbedingung F(x) = 0 nicht

§ 29. Zurückführung bedingter Π, Σ auf solche von absoluter Erstreckung.

Man kann aber auch durch das Doppelprodukt hindurchgehn:
x = ΠiΠj(a ; j + j̆ ; i + ī ; a) = Πj(a ; j + j̆ ɟ 0 + 1'j̆ ; 1 ; b) =
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nach Aufg. 5 und 3. Die Übereinstimmung beider Ergebnisse besteht auf-
grund des zweiten Satzes 30. Die Π in Aufg. 6 und 3 sind gleich!

Aufgabe 7. Gesucht x = Πi(i ; a + ī ; b).
x = Πi(i ; a + ī · 1 ; b) = (Πii ; a + 1 ; b)Πi(i ; a + ī) = (0 + 1 ; b)Πi(0' ; i + i ; a),
also nach Aufg. 3: x = 1 ; a · 1 ; b.

Etc. So zahlreich die Aufgaben sind, die sich in solcher Weise lösen
lassen, so können wir doch beispielsweise schon das Πia ; īb mit den bis-
herigen Mitteln noch nicht entdecken. —

Wenden wir jetzt unsre Aufmerksamkeit auch den Summirungs-
resp. Produktirungsaufgaben der zweiten Stufe zu.

Ein wichtiges Problem von allgemeinem Charakter ist: die „Ge-
meinheit“ Π sowie den (gemeinschaftlichen oder gesamten) „Bereich“
Σ aller der binären Relative x zu ermitteln, welche eine gegebne Be-
dingung — etwa Gleichung F(x) = 0 — als deren „Wurzeln“ erfüllen.

Es scheint nahe gelegt, diese beiden Unbekannten (als Produkt und
Summe) mit P und S zu bezeichnen. Doch ist das Produkt gerade Sub-
jekt, die Summe Prädikat zu einer jeden von den Wurzeln, sodass diese
Bezeichnung irre führen könnte. Ich will deshalb P und Q sagen.

Indem er die Erstreckungsbedingung unterhalb des Π, Σ-zeichens
anmerkte, würde der Mathematiker zu schreiben geneigt sein:
[Formel 1] , [Formel 2]
{F(x) = 0} {F(x) = 0}.
Unsre Disziplin aber geniesst den Vorzug, dass in ihr die Erstreckungs-
bedingung dem Π, Σ-Ausdruck selbst einverleibt werden kann. Auf welche
Weise, das soll sogleich für eine naheliegende Erweiterung des Problemes
gesagt werden.

Die Aufgabe lässt sich noch wesentlich verallgemeinern dadurch,
dass anstatt der Wurzeln x selber eine irgendwie gegebne Funktion
Φ(x) derselben zu produktiren resp. zu summiren verlangt wird. Ge-
sucht also möge nun sein:
[Formel 3] , [Formel 4]
{F(x) = 0} {F(x) = 0}.

Wir geben den Π, Σ die absolute Erstreckung — über alle er-
denklichen Relative x des zweiten Denkbereiches. Alsdann kommt es
blos darauf an, den allgemeinen Term allemal dann zu einem ineffek-
tiven zu machen, wenn x die Erstreckungsbedingung F(x) = 0 nicht

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[505/0519] § 29. Zurückführung bedingter Π, Σ auf solche von absoluter Erstreckung. Man kann aber auch durch das Doppelprodukt hindurchgehn: x = ΠiΠj(a ; j + j̆ ; i + ī ; a) = Πj(a ; j + j̆ ɟ 0 + 1'j̆ ; 1 ; b) = = Πj(a ; j + 1' ; j ; b) = Πj(a ; j + j ; b) = a ɟ 0 + {(a + 1') ɟ 0} ; b nach Aufg. 5 und 3. Die Übereinstimmung beider Ergebnisse besteht auf- grund des zweiten Satzes 30. Die Π in Aufg. 6 und 3 sind gleich! Aufgabe 7. Gesucht x = Πi(i ; a + ī ; b). x = Πi(i ; a + ī · 1 ; b) = (Πii ; a + 1 ; b)Πi(i ; a + ī) = (0 + 1 ; b)Πi(0' ; i + i ; a), also nach Aufg. 3: x = 1 ; a · 1 ; b. Etc. So zahlreich die Aufgaben sind, die sich in solcher Weise lösen lassen, so können wir doch beispielsweise schon das Πia ; īb mit den bis- herigen Mitteln noch nicht entdecken. — Wenden wir jetzt unsre Aufmerksamkeit auch den Summirungs- resp. Produktirungsaufgaben der zweiten Stufe zu. Ein wichtiges Problem von allgemeinem Charakter ist: die „Ge- meinheit“ Π sowie den (gemeinschaftlichen oder gesamten) „Bereich“ Σ aller der binären Relative x zu ermitteln, welche eine gegebne Be- dingung — etwa Gleichung F(x) = 0 — als deren „Wurzeln“ erfüllen. Es scheint nahe gelegt, diese beiden Unbekannten (als Produkt und Summe) mit P und S zu bezeichnen. Doch ist das Produkt gerade Sub- jekt, die Summe Prädikat zu einer jeden von den Wurzeln, sodass diese Bezeichnung irre führen könnte. Ich will deshalb P und Q sagen. Indem er die Erstreckungsbedingung unterhalb des Π, Σ-zeichens anmerkte, würde der Mathematiker zu schreiben geneigt sein: [FORMEL], [FORMEL] {F(x) = 0} {F(x) = 0}. Unsre Disziplin aber geniesst den Vorzug, dass in ihr die Erstreckungs- bedingung dem Π, Σ-Ausdruck selbst einverleibt werden kann. Auf welche Weise, das soll sogleich für eine naheliegende Erweiterung des Problemes gesagt werden. Die Aufgabe lässt sich noch wesentlich verallgemeinern dadurch, dass anstatt der Wurzeln x selber eine irgendwie gegebne Funktion Φ(x) derselben zu produktiren resp. zu summiren verlangt wird. Ge- sucht also möge nun sein: [FORMEL], [FORMEL] {F(x) = 0} {F(x) = 0}. Wir geben den Π, Σ die absolute Erstreckung — über alle er- denklichen Relative x des zweiten Denkbereiches. Alsdann kommt es blos darauf an, den allgemeinen Term allemal dann zu einem ineffek- tiven zu machen, wenn x die Erstreckungsbedingung F(x) = 0 nicht

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 505. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/519>, abgerufen am 18.05.2024.