Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Elfte Vorlesung.

41)

Π(a = 0) = {1 ; (Σa) ; 1 = 0}

Π(1 = a) = (1 = 0 ɟ Πa ɟ 0)

42)

Σ(a ≠ 0) = {1 = 1 ; (Σa) ; 1}

Σ(1 ≠ a) = (0 ɟ Πa ɟ 0 = 0)

43)

Σ(a = 0) = (1 ; Πa ; 1 = 0)

Σ(1 = a) = {1 = Σ(0 ɟ a ɟ 0)}

44)

Π(a ≠ 0) = (1 = 1 ; Πa ; 1)

Π(1 ≠ a) = {Σ(0 ɟ a ɟ 0) = 0}

— worin a als ein variables Relativ zu denken ist, und die Π, Σ
irgendwelche, aber beiderseits die nämliche Erstreckung haben mögen.

„Eine“ richtige Resultante der Elimination des x aus F(x) = 0 ist
allemal auch schon die Gleichung:
45) [Formel 1] .
Diese aber wird im allgemeinen keineswegs die volle sein. Denn da uns
F(u) nur irgend ein Relativ vorstellt, welches (auch) andre Werte als 0
und 1 anzunehmen fähig ist, so kann das ΠF(u) sehr wohl verschwinden
ohne dass überhaupt jemals ein Faktor desselben 0 würde.

Mit 40) oder 39) erscheint die vollständige Lösung des allgemeinen
Eliminationsproblems zurückgeführt auf die Auswertung einer Summe Σ,
resp. eines Produktes Π. Wie jene im Gegensatz zur Addition eine
Summation, Summiren genannt wird, so gestatte ich mir, diese im
Gegensatz zur Multiplikation als eine Produktation, ein Produktiren zu
bezeichnen; denn ein unterscheidender und kurzer Name dafür stellt
sich als unentbehrlich dar. Beide Aufgaben und Operationen sind
demnach von fundamentaler Bedeutung.

Ein einfaches Beispiel zu dem mit Schema 39) gegebnen Eliminir-
verfahren dürfte wol willkommen sein. Sei x zu eliminiren aus a ⋹ x ; b,
so muss die volle Resultante lauten:
[Formel 2] .
Das Π zur Linken muss aber den Wert haben: 1 ; a(0 ɟ b̄) ; 1, denn dieser
dem Werte ū = 0 entsprechende Faktor ist in allen andern enthalten und
kommt bei u = 1 wirklich vor; er ist der minimale unter allen Faktoren.
Die gesuchte Resultante fordert also das Verschwinden besagten Faktors
und Produktwertes, was auf a(0 ɟ b̄) = 0 selbst hinausläuft und womit in
Übereinstimmung mit § 18 nunmehr „systematisch“ a ⋹ 1 ; b als die Re-
sultante gefunden ist.

Die Erstreckung der Σ, Π war vorstehend „die absolute“, näm-
lich über alle Relative u des Denkbereiches 1² — ein Fall jedoch,
auf welchen auch der einer beschränkten, irgendwie bedingten Er-
streckung jeweils leicht zurückzuführen sein wird — vergl. 35) des
§ 29. Der allgemeine Term der Π, Σ, in 39) von der (spezielleren)
Form eines ausgezeichneten Relativs, kann jedoch allgemeiner — und
wie z. B. in 45) — als eine beliebig gegebene Relativfunktion angesetzt