Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 28. Volle Resultante beim allgemeinsten Eliminationsprobleme.

Ersetzte man in der zweiten Prämisse der sechs Probleme 35) — die
erste ungeändert beibehaltend — das x̄ ebenfalls durch x, so würde schon
das System der „Einzelresultanten“ jeweils das volle Eliminationsergebniss
darstellen, indem hernach x = 1 eine Wurzel sein müsste. Die Probleme
verlören damit als Eliminationsprobleme ihr hauptsächlichstes Interesse.

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Ich mache übrigens zuguterletzt (und im Laufe der Drucklegung)
die Entdeckung: dass in unsrer Algebra der Relative das Eliminations-
problem sich ganz allgemein lösen lässt. Und zwar ist zu irgend einer
Gleichung F(x) = 0 die volle Resultante der Elimination des x angeb-
bar in Gestalt der (augenscheinlich von x freien) Relation:
39)

[Tabelle]

— ein Sachverhalt, der sich erschöpfend ausdrücken lassen wird in
Form der Aussagenäquivalenz:
40) [Formel 1] .
Diese kann als solche schon aus dem Schema 8) des § 11, S. 152
gerechtfertigt werden, wie sogleich erhellen wird. Jedoch lässt sich
alles auch ganz leicht unmittelbar einsehen wie folgt.

Gibt es ein x, für welches die Gleichung F(x) = 0 besteht, so ver-
schwindet in unserm [Formel 2] bei 39) mindestens der (dem u = diesem x ent-
sprechende) Faktor 1 ; F(x) ; 1 und ist darum die Gleichung 39) als „eine
Resultante“ notwendig erfüllt. Aber auch umgekehrt: falls 39) gilt, so
muss, da jeder Faktor des [Formel 3] als ein ausgezeichnetes Relativ blos der beiden
Werte 0 und 1 fähig ist, mindestens ein Faktor dieses Π gleich 0 sein,
und, wenn x der Wert eines solchen u genannt wird, wofür dies zutrifft,
so ist nach 5) des § 10, S. 147 dieses x auch eine Wurzel der Gleichung
F(x) = 0, die Gleichung mithin auflösbar. Das heisst: die Resultante 39)
muss die volle sein.

In diesem Falle läuft die Äquivalenz 40) auf 1 = 1 hinaus.

Gibt es kein x, welches die Gleichung F(x) = 0 erfüllt, so ist jedes
F(u) ≠ 0, sonach jeder Faktor des [Formel 4] gleich 1 und also auch dieses selber
= 1. Alsdann tritt als Resultante 39) die absurde Gleichung 1 = 0 zu-
tage, comme de juste. Und umgekehrt, wenn als Resultante 1 = 0 aus
F(x) = 0 folgt, so kann diese Gleichung unmöglich eine Wurzel haben.

In diesem Falle bewahrheitet sich die Äquivalenz 40) ebenfalls, und
zwar als 0 = 0, q. e. d.

Die andre oben angedeutete Begründungsweise unsrer Äquivalenz 40)
beruht ersichtlich auf dem 43) der folgenden Schemata, zu denen sich
mit Rücksicht auf 3), 4) des § 11 die dortigen Sätze 6) bis 9) auch
noch zusammenziehn lassen: