§ 28. Volle Resultante beim allgemeinsten Eliminationsprobleme.
Ersetzte man in der zweiten Prämisse der sechs Probleme 35) -- die erste ungeändert beibehaltend -- das xn ebenfalls durch x, so würde schon das System der "Einzelresultanten" jeweils das volle Eliminationsergebniss darstellen, indem hernach x = 1 eine Wurzel sein müsste. Die Probleme verlören damit als Eliminationsprobleme ihr hauptsächlichstes Interesse.
Ich mache übrigens zuguterletzt (und im Laufe der Drucklegung) die Entdeckung: dass in unsrer Algebra der Relative das Eliminations- problem sich ganz allgemein lösen lässt. Und zwar ist zu irgend einer Gleichung F(x) = 0 die volle Resultante der Elimination des x angeb- bar in Gestalt der (augenscheinlich von x freien) Relation: 39)
[Tabelle]
-- ein Sachverhalt, der sich erschöpfend ausdrücken lassen wird in Form der Aussagenäquivalenz: 40)
[Formel 1]
. Diese kann als solche schon aus dem Schema 8) des § 11, S. 152 gerechtfertigt werden, wie sogleich erhellen wird. Jedoch lässt sich alles auch ganz leicht unmittelbar einsehen wie folgt.
Gibt es ein x, für welches die Gleichung F(x) = 0 besteht, so ver- schwindet in unserm
[Formel 2]
bei 39) mindestens der (dem u = diesem x ent- sprechende) Faktor 1 ; F(x) ; 1 und ist darum die Gleichung 39) als "eine Resultante" notwendig erfüllt. Aber auch umgekehrt: falls 39) gilt, so muss, da jeder Faktor des
[Formel 3]
als ein ausgezeichnetes Relativ blos der beiden Werte 0 und 1 fähig ist, mindestens ein Faktor dieses P gleich 0 sein, und, wenn x der Wert eines solchen u genannt wird, wofür dies zutrifft, so ist nach 5) des § 10, S. 147 dieses x auch eine Wurzel der Gleichung F(x) = 0, die Gleichung mithin auflösbar. Das heisst: die Resultante 39) muss die volle sein.
In diesem Falle läuft die Äquivalenz 40) auf 1 = 1 hinaus.
Gibt es kein x, welches die Gleichung F(x) = 0 erfüllt, so ist jedes F(u) 0, sonach jeder Faktor des
[Formel 4]
gleich 1 und also auch dieses selber = 1. Alsdann tritt als Resultante 39) die absurde Gleichung 1 = 0 zu- tage, comme de juste. Und umgekehrt, wenn als Resultante 1 = 0 aus F(x) = 0 folgt, so kann diese Gleichung unmöglich eine Wurzel haben.
In diesem Falle bewahrheitet sich die Äquivalenz 40) ebenfalls, und zwar als 0 = 0, q. e. d.
Die andre oben angedeutete Begründungsweise unsrer Äquivalenz 40) beruht ersichtlich auf dem 43) der folgenden Schemata, zu denen sich mit Rücksicht auf 3), 4) des § 11 die dortigen Sätze 6) bis 9) auch noch zusammenziehn lassen:
§ 28. Volle Resultante beim allgemeinsten Eliminationsprobleme.
Ersetzte man in der zweiten Prämisse der sechs Probleme 35) — die erste ungeändert beibehaltend — das x̄ ebenfalls durch x, so würde schon das System der „Einzelresultanten“ jeweils das volle Eliminationsergebniss darstellen, indem hernach x = 1 eine Wurzel sein müsste. Die Probleme verlören damit als Eliminationsprobleme ihr hauptsächlichstes Interesse.
Ich mache übrigens zuguterletzt (und im Laufe der Drucklegung) die Entdeckung: dass in unsrer Algebra der Relative das Eliminations- problem sich ganz allgemein lösen lässt. Und zwar ist zu irgend einer Gleichung F(x) = 0 die volle Resultante der Elimination des x angeb- bar in Gestalt der (augenscheinlich von x freien) Relation: 39)
[Tabelle]
— ein Sachverhalt, der sich erschöpfend ausdrücken lassen wird in Form der Aussagenäquivalenz: 40)
[Formel 1]
. Diese kann als solche schon aus dem Schema 8) des § 11, S. 152 gerechtfertigt werden, wie sogleich erhellen wird. Jedoch lässt sich alles auch ganz leicht unmittelbar einsehen wie folgt.
Gibt es ein x, für welches die Gleichung F(x) = 0 besteht, so ver- schwindet in unserm
[Formel 2]
bei 39) mindestens der (dem u = diesem x ent- sprechende) Faktor 1 ; F(x) ; 1 und ist darum die Gleichung 39) als „eine Resultante“ notwendig erfüllt. Aber auch umgekehrt: falls 39) gilt, so muss, da jeder Faktor des
[Formel 3]
als ein ausgezeichnetes Relativ blos der beiden Werte 0 und 1 fähig ist, mindestens ein Faktor dieses Π gleich 0 sein, und, wenn x der Wert eines solchen u genannt wird, wofür dies zutrifft, so ist nach 5) des § 10, S. 147 dieses x auch eine Wurzel der Gleichung F(x) = 0, die Gleichung mithin auflösbar. Das heisst: die Resultante 39) muss die volle sein.
In diesem Falle läuft die Äquivalenz 40) auf 1 = 1 hinaus.
Gibt es kein x, welches die Gleichung F(x) = 0 erfüllt, so ist jedes F(u) ≠ 0, sonach jeder Faktor des
[Formel 4]
gleich 1 und also auch dieses selber = 1. Alsdann tritt als Resultante 39) die absurde Gleichung 1 = 0 zu- tage, comme de juste. Und umgekehrt, wenn als Resultante 1 = 0 aus F(x) = 0 folgt, so kann diese Gleichung unmöglich eine Wurzel haben.
In diesem Falle bewahrheitet sich die Äquivalenz 40) ebenfalls, und zwar als 0 = 0, q. e. d.
Die andre oben angedeutete Begründungsweise unsrer Äquivalenz 40) beruht ersichtlich auf dem 43) der folgenden Schemata, zu denen sich mit Rücksicht auf 3), 4) des § 11 die dortigen Sätze 6) bis 9) auch noch zusammenziehn lassen:
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§ 28. Volle Resultante beim allgemeinsten Eliminationsprobleme.
Ersetzte man in der zweiten Prämisse der sechs Probleme 35) — die
erste ungeändert beibehaltend — das x̄ ebenfalls durch x, so würde schon
das System der „Einzelresultanten“ jeweils das volle Eliminationsergebniss
darstellen, indem hernach x = 1 eine Wurzel sein müsste. Die Probleme
verlören damit als Eliminationsprobleme ihr hauptsächlichstes Interesse.
Ich mache übrigens zuguterletzt (und im Laufe der Drucklegung)
die Entdeckung: dass in unsrer Algebra der Relative das Eliminations-
problem sich ganz allgemein lösen lässt. Und zwar ist zu irgend einer
Gleichung F(x) = 0 die volle Resultante der Elimination des x angeb-
bar in Gestalt der (augenscheinlich von x freien) Relation:
39)
— ein Sachverhalt, der sich erschöpfend ausdrücken lassen wird in
Form der Aussagenäquivalenz:
40) [FORMEL].
Diese kann als solche schon aus dem Schema 8) des § 11, S. 152
gerechtfertigt werden, wie sogleich erhellen wird. Jedoch lässt sich
alles auch ganz leicht unmittelbar einsehen wie folgt.
Gibt es ein x, für welches die Gleichung F(x) = 0 besteht, so ver-
schwindet in unserm [FORMEL] bei 39) mindestens der (dem u = diesem x ent-
sprechende) Faktor 1 ; F(x) ; 1 und ist darum die Gleichung 39) als „eine
Resultante“ notwendig erfüllt. Aber auch umgekehrt: falls 39) gilt, so
muss, da jeder Faktor des [FORMEL] als ein ausgezeichnetes Relativ blos der beiden
Werte 0 und 1 fähig ist, mindestens ein Faktor dieses Π gleich 0 sein,
und, wenn x der Wert eines solchen u genannt wird, wofür dies zutrifft,
so ist nach 5) des § 10, S. 147 dieses x auch eine Wurzel der Gleichung
F(x) = 0, die Gleichung mithin auflösbar. Das heisst: die Resultante 39)
muss die volle sein.
In diesem Falle läuft die Äquivalenz 40) auf 1 = 1 hinaus.
Gibt es kein x, welches die Gleichung F(x) = 0 erfüllt, so ist jedes
F(u) ≠ 0, sonach jeder Faktor des [FORMEL] gleich 1 und also auch dieses selber
= 1. Alsdann tritt als Resultante 39) die absurde Gleichung 1 = 0 zu-
tage, comme de juste. Und umgekehrt, wenn als Resultante 1 = 0 aus
F(x) = 0 folgt, so kann diese Gleichung unmöglich eine Wurzel haben.
In diesem Falle bewahrheitet sich die Äquivalenz 40) ebenfalls, und
zwar als 0 = 0, q. e. d.
Die andre oben angedeutete Begründungsweise unsrer Äquivalenz 40)
beruht ersichtlich auf dem 43) der folgenden Schemata, zu denen sich
mit Rücksicht auf 3), 4) des § 11 die dortigen Sätze 6) bis 9) auch
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 489. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/503>, abgerufen am 24.08.2024.
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