§ 28. Peirce's Grundgedanke etwas verallgemeinert.
Als Herleitung hat man z. B. bei der vorletzten Aufgabe: c ; ad ; (e j xn) ; x ; bd ; (e j xn ; x) ; bd ; (e j 0') ; b = d ; e ; b, und bei der letzten: a ; db ; (c j x) ; (xn j f) ; eb ; {(c j x) ; xn j f} ; eb ; {(c j x ; xn) j f} ; e b ; {(c j 0') j f} ; e = b ; (c j f) ; e, doch kann man hier noch auf zwei andre Arten weiterschliessen und findet dasselbe Ergebniss, z. B. sogleich mit b ; (c j x ; xn j f) ; eb ; (c j 0' j f) ; e = etc.
Dagegen würden a ; d (b ; c j f) ; e oder b ; (c j f ; e) oder gar b ; c j f ; e entschieden weniger sagende Teilresultanten der vorigen sein.
Das erste von den sechs Problemen fällt in den Umkreis, Rayon des identischen Kalkuls. Um die verschiednen Formen seiner Resultante direkt aufeinander zurückzuführen, schliesse man nach dem ersten Inversions- theoreme: (a ; b 0') = (a 0' j bn = bn = bn j 0') = (b ; a 0'). Etc. cf. 22) des § 8 S. 127.
Während die Resultante beim ersten Problem (sonach) die volle ist, begreifen die übrigen fünf nach Peirce's Methode gewonnenen Resultanten nicht einmal die "Einzelresultanten" der Prämissen unter sich und sind zweifellos nicht die vollen. Diese können wir leicht auch beim zweiten und dritten Probleme angeben, wo sie vielmehr lauten: 36)
[Formel 1]
und sich nach Kontraposition der ersten Prämisse in xnan a fortiori ergeben. Der Beweis ihrer Vollständigkeit liegt darin, dass, sobald sie erfüllt, sich x = a als eine Lösung erweist.
Dass in der That die Peirce'sche Resultante aus unsrer vollen mit folgt, ist beim dritten Probleme aus c ; (d j an) c ; d j an nach 7) des § 6 unmittelbar ersichtlich, indem eben jene nach dem ersten Inversionstheorem in bc ; d j an umgeschrieben werden kann.
Der gleiche Nachweis führt beim zweiten Probleme zur Konstatirung eines interessanten Satzes: 37)
[Formel 2]
in welchem man natürlich auch die untereinanderstehenden Subsumtionen in eine einzige zusammenziehen könnte.
Beweis mittelbar aus a ; b ; bna ; 0' durch Hinüberwerfen des bn, oder auch mittelst des Schlusses: a ; b = a ; (0' j b) a ; 0' j b.
Auch mittelst rhetorischer Evidenz:
§ 28. Peirce’s Grundgedanke etwas verallgemeinert.
Als Herleitung hat man z. B. bei der vorletzten Aufgabe: c ; ă ⋹ d ; (e ɟ x̄) ; x̆ ; b̆ ⋹ d ; (e ɟ x̄ ; x̆) ; b̆ ⋹ d ; (e ɟ 0') ; b̆ = d ; e ; b̆, und bei der letzten: a ; d̆ ⋹ b ; (c ɟ x) ; (x̄̆ ɟ f̆) ; ĕ ⋹ b ; {(c ɟ x) ; x̄̆ ɟ f̆} ; ĕ ⋹ b ; {(c ɟ x ; x̄̆) ɟ f̆} ; ĕ ⋹ ⋹ b ; {(c ɟ 0') ɟ f̆} ; ĕ = b ; (c ɟ f̆) ; ĕ, doch kann man hier noch auf zwei andre Arten weiterschliessen und findet dasselbe Ergebniss, z. B. sogleich mit ⋹ b ; (c ɟ x ; x̄̆ ɟ f̆) ; ĕ ⋹ b ; (c ɟ 0' ɟ f̆) ; ĕ = etc.
Dagegen würden a ; d̆ ⋹ (b ; c ɟ f̆) ; ĕ oder ⋹ b ; (c ɟ f̆ ; ĕ) oder gar ⋹ b ; c ɟ f̆ ; ĕ entschieden weniger sagende Teilresultanten der vorigen sein.
Das erste von den sechs Problemen fällt in den Umkreis, Rayon des identischen Kalkuls. Um die verschiednen Formen seiner Resultante direkt aufeinander zurückzuführen, schliesse man nach dem ersten Inversions- theoreme: (a ; b̆ ⋹ 0') = (a ⋹ 0' ɟ b̄ = b̄ = b̄ ɟ 0') = (b̆ ; a ⋹ 0'). Etc. cf. 22) des § 8 S. 127.
Während die Resultante beim ersten Problem (sonach) die volle ist, begreifen die übrigen fünf nach Peirce’s Methode gewonnenen Resultanten nicht einmal die „Einzelresultanten“ der Prämissen unter sich und sind zweifellos nicht die vollen. Diese können wir leicht auch beim zweiten und dritten Probleme angeben, wo sie vielmehr lauten: 36)
[Formel 1]
und sich nach Kontraposition der ersten Prämisse in x̄ ⋹ ā a fortiori ergeben. Der Beweis ihrer Vollständigkeit liegt darin, dass, sobald sie erfüllt, sich x = a als eine Lösung erweist.
Dass in der That die Peirce’sche Resultante aus unsrer vollen mit folgt, ist beim dritten Probleme aus c ; (d ɟ ā) ⋹ c ; d ɟ ā nach 7) des § 6 unmittelbar ersichtlich, indem eben jene nach dem ersten Inversionstheorem in b ⋹ c ; d ɟ ā umgeschrieben werden kann.
Der gleiche Nachweis führt beim zweiten Probleme zur Konstatirung eines interessanten Satzes: 37)
[Formel 2]
in welchem man natürlich auch die untereinanderstehenden Subsumtionen in eine einzige zusammenziehen könnte.
Beweis mittelbar aus a ; b ; b̄̆ ⋹ a ; 0' durch Hinüberwerfen des b̄̆, oder auch mittelst des Schlusses: a ; b = a ; (0' ɟ b) ⋹ a ; 0' ɟ b.
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[487/0501]
§ 28. Peirce’s Grundgedanke etwas verallgemeinert.
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c ; ă ⋹ d ; (e ɟ x̄) ; x̆ ; b̆ ⋹ d ; (e ɟ x̄ ; x̆) ; b̆ ⋹ d ; (e ɟ 0') ; b̆ = d ; e ; b̆,
und bei der letzten:
a ; d̆ ⋹ b ; (c ɟ x) ; (x̄̆ ɟ f̆) ; ĕ ⋹ b ; {(c ɟ x) ; x̄̆ ɟ f̆} ; ĕ ⋹ b ; {(c ɟ x ; x̄̆) ɟ f̆} ; ĕ ⋹
⋹ b ; {(c ɟ 0') ɟ f̆} ; ĕ = b ; (c ɟ f̆) ; ĕ,
doch kann man hier noch auf zwei andre Arten weiterschliessen und findet
dasselbe Ergebniss, z. B. sogleich mit ⋹ b ; (c ɟ x ; x̄̆ ɟ f̆) ; ĕ ⋹ b ; (c ɟ 0' ɟ f̆) ; ĕ = etc.
Dagegen würden
a ; d̆ ⋹ (b ; c ɟ f̆) ; ĕ oder ⋹ b ; (c ɟ f̆ ; ĕ) oder gar ⋹ b ; c ɟ f̆ ; ĕ
entschieden weniger sagende Teilresultanten der vorigen sein.
Das erste von den sechs Problemen fällt in den Umkreis, Rayon des
identischen Kalkuls. Um die verschiednen Formen seiner Resultante direkt
aufeinander zurückzuführen, schliesse man nach dem ersten Inversions-
theoreme:
(a ; b̆ ⋹ 0') = (a ⋹ 0' ɟ b̄ = b̄ = b̄ ɟ 0') = (b̆ ; a ⋹ 0'). Etc. cf. 22) des § 8 S. 127.
Während die Resultante beim ersten Problem (sonach) die volle
ist, begreifen die übrigen fünf nach Peirce’s Methode gewonnenen
Resultanten nicht einmal die „Einzelresultanten“ der Prämissen unter
sich und sind zweifellos nicht die vollen. Diese können wir leicht
auch beim zweiten und dritten Probleme angeben, wo sie vielmehr lauten:
36) [FORMEL]
und sich nach Kontraposition der ersten Prämisse in x̄ ⋹ ā a fortiori
ergeben. Der Beweis ihrer Vollständigkeit liegt darin, dass, sobald sie
erfüllt, sich x = a als eine Lösung erweist.
Dass in der That die Peirce’sche Resultante aus unsrer vollen mit
folgt, ist beim dritten Probleme aus c ; (d ɟ ā) ⋹ c ; d ɟ ā nach 7) des § 6
unmittelbar ersichtlich, indem eben jene nach dem ersten Inversionstheorem
in b ⋹ c ; d ɟ ā umgeschrieben werden kann.
Der gleiche Nachweis führt beim zweiten Probleme zur Konstatirung
eines interessanten Satzes:
37) [FORMEL]
in welchem man natürlich auch die untereinanderstehenden Subsumtionen
in eine einzige zusammenziehen könnte.
Beweis mittelbar aus a ; b ; b̄̆ ⋹ a ; 0' durch Hinüberwerfen des b̄̆,
oder auch mittelst des Schlusses: a ; b = a ; (0' ɟ b) ⋹ a ; 0' ɟ b.
Auch mittelst rhetorischer Evidenz:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 487. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/501>, abgerufen am 18.05.2024.
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