Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 28. Zu den Hülfsaufgaben. Entscheidung.

Die letztre Subsumtion erheischt den Nachweis dass:
Σ_{h k}a_{i h}b_{i k}⋹Σ_{h k} {a_{i h}0'_{h k} + a_{i k}Π_m(b̄_{i m} + 1'_{m k})}b_{i k}.
Ersetzt man im letzten Teile den laufenden Zeiger k durch h, so lässt
sich die rechte Seite auch schreiben:
Σ_ha_{i h}{Σ_kb_{i k}0'_{k h} + Π_m(b̄_{i m} + 1'_{m h})b_{i h}},
worin der Faktor Π_m (‥) als Negat des vorhergehenden Gliedes unterdrück-
bar. Ersetzt man alsdann das verbleibende letzte Glied b_{i h} durch das ihm
gleiche Σ_kb_{i k}1'_{h k}, so zieht sich wegen 0'_{h k} + 1'_{h k} = 1 die rechte Seite zu-
sammen zu Σ_ha_{i h}Σ_kb_{i k}, das ist zur linken selber, woraus erhellt, dass die
zweite Subsumtion sogar als Gleichung gilt.

Man kann jedoch hier auch ohne die Koeffizientenbetrachtung zum
Ziele kommen, indem man ihre rechte Seite selbst kraft 26) umschreibt in:
a{b ; 0' + (b̄ ɟ 1')b} ; 1 = a(b ; 1) ; 1 = a ; 1 · b ; 1,
sintemal zunächst der Faktor b̄ ɟ 1' wegfällt, dann b ; 0' + b = b ; 1 in Betracht
kommt. —

Man könnte jedoch die rechte Seite von 33) auch umformen in:
(a ; 0' + a)(a ; 0' + b̄ ɟ 1')b ; 1 = a ; 1 · (a ; 0' + b̄ ɟ 1')b ; 1 = a ; 1 · {b ; 0' · a + (b̄ ɟ 1')b} ; 1,
wo nun die geschweifte Klammer zerlegbar in (b ; 0' + b){a + (b̄ ɟ 1')b},
darnach das Ganze wird = a ; 1 · b ; 1 · {a + (b̄ ɟ 1')b} ; 1 und endlich der dritte
Faktor im ersten eingeht.

Die übrigen, weder zu ᾱ ɟ 0 noch zu β̄ ɟ 0 als Vollzeilen gehörigen
Zeilen müssen nun bei α sowol als bei β besetzte Zeilen sein.

Sooft in einer solchen Zeile α ein Auge trägt, welches nicht mit einem
Auge von β zusammenfällt, genügt es aber, jenes zu x und irgend ein in
derselben Zeile stehendes Auge von β zu x̄ zu schlagen, d. h. bei x leer
zu lassen, um ebendiese Zeile sowol bei αx ; 1 als bei βx̄ ; 1 zur Vollzeile
zu machen. Ebenso, wenn α und β in einer Zeile mindestens zwei Augen
gemein haben, kann man das eine zu x das andre zu x̄ schlagen und wird
dieselbe Wirkung erzielen. Nur wenn α und β das Auge einer einbesetzten
Zeile gemein haben, würde solches unmöglich bleiben. Hier aber werden
wir durch den Umstand, dass alsdann, wie gezeigt, die Zeile in γ̄ als Voll-
zeile figurirt, der Auflage oder Nötigung dazu überhoben.

Wir sind damit zu dem Ergebnisse gelangt, dass bei unabhängigen
Parametern α, β das Problem 29) stets nach x auflösbar ist. Oder:
auch zu dem Probleme 5⁰) sub 10) ist Peirce’s Resultante noch die
volle. Sie ist es also bei den fünf ersten der zehn sub 10) gelösten
Probleme.

Ähnlich eine Entscheidung auch für die übrigen fünf Probleme her-
beizuführen dürfte seine Schwierigkeiten haben, und sei Forschern zur Be-
thätigung empfohlen.

Peirce’s Grundgedanke, die Prämissen als Subsumtionen mit dem
Subjekte 1' angesetzt zu nehmen, erscheint mir — abgesehen von der