Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Elfte Vorlesung.

In Worten: jede Zeile der beiden linkseitigen Membra muss zur Voll-
zeile gemacht werden können. Aufgrund des Wertes:
30) γ̄ = (β̄ ɟ 1' + ᾱ) ɟ 0 = (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0
lässt sich auch ohne Kenntnis der allgemeinen Lösung zu 29) zeigen, dass
dies in der That möglich ist.

Im allgemeinen wird γ̄ selbst schon gewisse Vollzeilen haben, und für
diese bleibt dann ihre Besetzung bei x resp. x̄ mit Augen und Leerstellen
in’s Belieben gestellt.

Zu jenen gehören wegen ᾱ ɟ 0 ⋹ γ̄ und β̄ ɟ 0 ⋹ γ̄ zunächst die Leer-
zeilen von sei es α sei es β. Sodann aber auch diejenigen Zeilen, wo ein
Zeilenreiter von α zusammenfällt mit einem Zeilenreiter von β, d. h. wo α und β
eine einbesetzte Zeile gemein haben. Denn da β̄ ɟ 1' nächst den Vollzeilen
von β̄ nur aus den einbesetzten Zeilen von β besteht, werden letztere (und
nur sie) mit den in ᾱ in ihr einlückiges Negat verkehrten kongruent ein-
besetzten Zeilen von α sich noch zu Vollzeilen ergänzen.

Nun hebt das Relativ (ᾱ ɟ 1')α aus α dessen einbesetzte Zeilen hervor
und ebenso das (β̄ ɟ 1')β die einbesetzten Zeilen aus β. Das Produkt der
beiden: (ᾱβ̄ ɟ 1')αβ gibt die dem α und β gemeinsamen einbesetzten Zeilen,
und ebendies, mit 1 relativ nachmultiplizirt, liefert die Vollzeilen, welche
demnach den Überschuss von γ̄ über die Summe aus ᾱ ɟ 0 und β̄ ɟ 0 allein
noch ausmachen können und um welche γ̄ diese Summe wirklich übertrifft,
weil solche Zeilen weder zu den Leerzeilen von α noch zu denen von β
gehören können.

Wesentlich aus der geometrischen Evidenz ist hiermit ein Satz ent-
deckt, der, wenn man noch a, b für ᾱ, β̄ sagt und sein konjugirtes Gegen-
stück voranstellt, lautet:
31) [Formel 1]
etc., und aus welchem rechts die Symmetrie der linken Seiten bezüglich
a und b erhellt.

Zur Stelle wollen wir diesen Satz auch aus den Koeffizienten be-
weisen. Der links vom Mittelstriche läuft auf zwei Subsumtionen hinaus,
die bei Umstellung gewisser Terme sich darstellen als:
32) (a ; 0')b ; 1 · (āb̄ ɟ 1')ab ; 1 ⋹ 0,
33) a ; 1 · b ; 1 ⋹͇ (a ; 0')b ; 1 + (āb̄ ɟ 1')ab ; 1 = {a ; 0' + a(b̄ ɟ 1')}b ; 1.

Zum Beweis der erstern ist zu zeigen, dass
Σ_{h k l}a_{i h}0'_{h k}b_{i k}a_{i l}b_{i l}Π_m(ā_{i m}b̄_{i m} + 1'_{m l}) = 0
sein müsse, was in der That daraus einleuchtet, dass bei h ≠ k und m ≠ l
doch sicher entweder ā_{i h}b̄_{i h} oder ā_{i k}b̄_{i k} als effektiver Faktor des Π_m auf-
tritt und am vorhergehenden Negate des einen von den beiden Termen,
nämlich an dem a_{i h} oder an dem b_{i k}, zerschellt.