Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 28. Zu den Hülfsaufgaben.

α ; 1 + ᾱ ɟ 1' = 1, und a fortiori α ; 1 + (ᾱ ɟ 1') ; 1 = 1
wie auch zeilenrechnerisch leicht zu zeigen.

Das Ergebniss lässt jedoch noch an Symmetrie zu wünschen.

Wegen 0'̆ = 0' gilt aber nach 11) des § 27 der Satz:
26)

(a ; 0')b ; 1 = (b ; 0')a ; 1

(a ɟ 1' + b) ɟ 0 = (b ɟ 1' + a) ɟ 0

und konjugirt dazu. Darnach lässt sich auch schreiben:
a = α + {(β̄ ɟ 1' + ᾱ) ɟ 0} · (ᾱ ɟ 1') ; 1
und würde die Symmetrie unsrer Lösung eine vollkommne sein, falls der
Faktor (ᾱ ɟ 1') ; 1 wegfiele. Dies legt die Vermutung nahe, dass schon
folgendes die Lösung darstelle:
27) a = α + (β̄ ɟ 1' + ᾱ) ɟ 0, b = β + (ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0
— worin die zweiten Glieder denselben Wert repräsentiren und blos
in ihrer Ausdrucksform differiren.

Und dies bestätigen die beiden Proben. Nennt man zur Abkürzung
28) (α ; 0')β ; 1 = γ = (β ; 0')α ; 1,
so ist a = α + γ̄, b = β + γ̄ unsre Lösung. Denn für γ = 1 wird a = α,
b = β und stimmt somit die Probe 2. Weil ferner γ sowie γ̄ „System“
ist, haben wir γ̄ ; 0' = γ̄ ; 1 ; 0' = γ̄ ; 1 = γ̄
a ; 0' = α ; 0' + γ̄, a ; 0' · b = α ; 0' · β + γ̄,
(a ; 0')b ; 1 = (α ; 0')β ; 1 + γ̄ = γ + γ̄ = 1,
und stimmt also auch die Probe 1 für beliebige α, β, q. e. d.

Die beiden Lösungsformen für a sind gleichwohl wesentlich verschieden,
sintemal zu ihrer Übereinstimmung erforderlich (und hinreichend) wäre,
dass allgemein
(ᾱ ɟ 1' + β̄) ɟ 0 ⋹ α + (ᾱ ɟ 1') ; 1
gälte, was schon bei β̄ = 1 nicht zutrifft.

Wir hatten nun durch x der Forderung 5⁰) sub 10) Genüge zu leisten,
welche bedingt:
1 ⋹ ax ; 1 ⋹ x ; 1, 1 ⋹ bx̄ ; 1 ⋹ x̄ ; 1,
d. h. a fortiori muss x ; 1 = 1 und x̄ ; 1 = 1 sein, oder unser x — nach
S. 475 das konverse desjenigen in 22) — kann weder Leerzeilen noch
Vollzeilen haben.

Weil γ̄ = etc. ɟ 0 System ist, so muss also sein
γ̄x ; 1 = γ̄ · x ; 1 = γ̄, ebenso γ̄x̄ ; 1 = γ̄,
und wenn wir die Abkürzung 28) beibehalten, so dreht sich die Frage
darum, ob es möglich ist mit den Werten 27) von a, b unsrer Forderung 5⁰)
bei ganz beliebigen Werten von α, β allemal durch ein x zu genügen.
Diese Forderung hat aber nach dem Gesagten die Gestalt:
29) (αx ; 1 + γ̄ = 1)(βx̄ ; 1 + γ̄ = 1).

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