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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 27. Algebra der uninären Relative.
die auf andre Relative u bezüglichen Faktoraussagen von R unterdrücken
oder ungenutzt lassen. Darnach bleibt von R bestehen:
R' = (x 0)(x ; 1 = x)Pi{(x i) + (x in)}
und dies genügt bereits, um L zu folgern.

Von der Alternative hinter P können nämlich (wie früher schon er-
wähnt) niemals (d. i. für kein i) beide Gliederaussagen zugleich zutreffen,
weil sonst (x i)(x in), = (x iin = 0) im Widerspruch zu x 0 folgen
würde. Unfehlbar hat also jeweils das eine Glied der Alternative den
Wahrheitswert 1, das andre dann den (Unwahrheitswert) 0. Es kann aber
auch nicht durchweg das zweite Glied den Wahrheitswert 1 haben, weil
man mit der Annahme Pi(x in), = (x Piin) = (x 0) wegen 64) auf
den nämlichen Widerspruch kommen würde. Folglich gibt es mindestens
ein Element i, für welches das erste Glied der Alternative erfüllt ist,
somit gilt:
(x 0)(x ; 1 = x)(x i), was = (x = i)
nur mehr noch nachzuweisen bleibt.

Da ih k = 1'i h = 0 für h i und x i ist, so muss auch jedes
xh k = 0 für h i sein und können höchstens die xi k gleich 1 werden.
Wegen x ; 1 = x sind aber nach k alle xi k einander gleich und = xi;
letzteres kann nicht 0 sein, weil sonst x = 0 folgte; also muss xi, das ist
nach k jedes xi k, gleich 1 = 1'i i = ii k sein; und da für h i auch schon
xh k = 1'i h = ih k erwiesen war, so ist allgemein xh k = ih k und x = i dar-
gethan, q. e. d. -- Weil alle Elemente unsres ersten Denkbereichs ver-
schieden sind, so kann es natürlich nur eines dieser Elemente sein, welchem
x eingeordnet folglich gleich ist, und dieses ist dann in Erfüllung des
zweiten Glieds unsrer Alternative in dem Negate jedes andern Elementes
enthalten. --

Denkt man sich die linkseitige Aussage im Satze 69) durch das
Urteil ersetzt: "x ist ein Element", und macht man die Unterstellung,
dass alle Buchstaben eo ipso Systeme vorstellen, d. h. beschränkt man
sich mit den Betrachtungen ganz und gar auf den Denkbereich der Systeme,
so werden in der rechten Seite von 69) die Aussagenfaktoren x ; 1 = x,
u ; 1 = u als selbstverständlich erfüllte unterdrückbar und lehrt jener Satz:
[Formel 1] ,
oder, wenn wir durch Bezeichnung des x mit dem Buchstaben i die
linke Seite zu einer selbstverständlichen machen, so resultirt die Be-
hauptung, dass
[Formel 2] den Wahrheitswert 1 habe, oder gelte.

Aus der Übereinstimmung dieser Resultate mit der Individuums-
definition des Klassenkalkuls erhellt nun also, dass in dem, aus 11

§ 27. Algebra der uninären Relative.
die auf andre Relative u bezüglichen Faktoraussagen von R unterdrücken
oder ungenutzt lassen. Darnach bleibt von R bestehen:
R' = (x ≠ 0)(x ; 1 = x)Πi{(x ⋹ i) + (x ⋹ ī)}
und dies genügt bereits, um L zu folgern.

Von der Alternative hinter Π können nämlich (wie früher schon er-
wähnt) niemals (d. i. für kein i) beide Gliederaussagen zugleich zutreffen,
weil sonst (x ⋹ i)(x ⋹ ī), = (x ⋹ iī = 0) im Widerspruch zu x ≠ 0 folgen
würde. Unfehlbar hat also jeweils das eine Glied der Alternative den
Wahrheitswert 1, das andre dann den (Unwahrheitswert) 0. Es kann aber
auch nicht durchweg das zweite Glied den Wahrheitswert 1 haben, weil
man mit der Annahme Πi(x ⋹ ī), = (x ⋹ Πiī) = (x ⋹ 0) wegen 64) auf
den nämlichen Widerspruch kommen würde. Folglich gibt es mindestens
ein Element i, für welches das erste Glied der Alternative erfüllt ist,
somit gilt:
(x ≠ 0)(x ; 1 = x)(x ⋹ i), was = (x = i)
nur mehr noch nachzuweisen bleibt.

Da ih k = 1'i h = 0 für h ≠ i und x ⋹ i ist, so muss auch jedes
xh k = 0 für h ≠ i sein und können höchstens die xi k gleich 1 werden.
Wegen x ; 1 = x sind aber nach k alle xi k einander gleich und = xi;
letzteres kann nicht 0 sein, weil sonst x = 0 folgte; also muss xi, das ist
nach k jedes xi k, gleich 1 = 1'i i = ii k sein; und da für h ≠ i auch schon
xh k = 1'i h = ih k erwiesen war, so ist allgemein xh k = ih k und x = i dar-
gethan, q. e. d. — Weil alle Elemente unsres ersten Denkbereichs ver-
schieden sind, so kann es natürlich nur eines dieser Elemente sein, welchem
x eingeordnet folglich gleich ist, und dieses ist dann in Erfüllung des
zweiten Glieds unsrer Alternative in dem Negate jedes andern Elementes
enthalten. —

Denkt man sich die linkseitige Aussage im Satze 69) durch das
Urteil ersetzt: „x ist ein Element“, und macht man die Unterstellung,
dass alle Buchstaben eo ipso Systeme vorstellen, d. h. beschränkt man
sich mit den Betrachtungen ganz und gar auf den Denkbereich der Systeme,
so werden in der rechten Seite von 69) die Aussagenfaktoren x ; 1 = x,
u ; 1 = u als selbstverständlich erfüllte unterdrückbar und lehrt jener Satz:
[Formel 1] ,
oder, wenn wir durch Bezeichnung des x mit dem Buchstaben i die
linke Seite zu einer selbstverständlichen machen, so resultirt die Be-
hauptung, dass
[Formel 2] den Wahrheitswert 1 habe, oder gelte.

Aus der Übereinstimmung dieser Resultate mit der Individuums-
definition des Klassenkalkuls erhellt nun also, dass in dem, aus 11

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[461/0475] § 27. Algebra der uninären Relative. die auf andre Relative u bezüglichen Faktoraussagen von R unterdrücken oder ungenutzt lassen. Darnach bleibt von R bestehen: R' = (x ≠ 0)(x ; 1 = x)Πi{(x ⋹ i) + (x ⋹ ī)} und dies genügt bereits, um L zu folgern. Von der Alternative hinter Π können nämlich (wie früher schon er- wähnt) niemals (d. i. für kein i) beide Gliederaussagen zugleich zutreffen, weil sonst (x ⋹ i)(x ⋹ ī), = (x ⋹ iī = 0) im Widerspruch zu x ≠ 0 folgen würde. Unfehlbar hat also jeweils das eine Glied der Alternative den Wahrheitswert 1, das andre dann den (Unwahrheitswert) 0. Es kann aber auch nicht durchweg das zweite Glied den Wahrheitswert 1 haben, weil man mit der Annahme Πi(x ⋹ ī), = (x ⋹ Πiī) = (x ⋹ 0) wegen 64) auf den nämlichen Widerspruch kommen würde. Folglich gibt es mindestens ein Element i, für welches das erste Glied der Alternative erfüllt ist, somit gilt: (x ≠ 0)(x ; 1 = x)(x ⋹ i), was = (x = i) nur mehr noch nachzuweisen bleibt. Da ih k = 1'i h = 0 für h ≠ i und x ⋹ i ist, so muss auch jedes xh k = 0 für h ≠ i sein und können höchstens die xi k gleich 1 werden. Wegen x ; 1 = x sind aber nach k alle xi k einander gleich und = xi; letzteres kann nicht 0 sein, weil sonst x = 0 folgte; also muss xi, das ist nach k jedes xi k, gleich 1 = 1'i i = ii k sein; und da für h ≠ i auch schon xh k = 1'i h = ih k erwiesen war, so ist allgemein xh k = ih k und x = i dar- gethan, q. e. d. — Weil alle Elemente unsres ersten Denkbereichs ver- schieden sind, so kann es natürlich nur eines dieser Elemente sein, welchem x eingeordnet folglich gleich ist, und dieses ist dann in Erfüllung des zweiten Glieds unsrer Alternative in dem Negate jedes andern Elementes enthalten. — Denkt man sich die linkseitige Aussage im Satze 69) durch das Urteil ersetzt: „x ist ein Element“, und macht man die Unterstellung, dass alle Buchstaben eo ipso Systeme vorstellen, d. h. beschränkt man sich mit den Betrachtungen ganz und gar auf den Denkbereich der Systeme, so werden in der rechten Seite von 69) die Aussagenfaktoren x ; 1 = x, u ; 1 = u als selbstverständlich erfüllte unterdrückbar und lehrt jener Satz: [FORMEL], oder, wenn wir durch Bezeichnung des x mit dem Buchstaben i die linke Seite zu einer selbstverständlichen machen, so resultirt die Be- hauptung, dass [FORMEL] den Wahrheitswert 1 habe, oder gelte. Aus der Übereinstimmung dieser Resultate mit der Individuums- definition des Klassenkalkuls erhellt nun also, dass in dem, aus 11

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 461. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/475>, abgerufen am 17.05.2024.