ai j = (1 ; a)i j = Shah j = Shaj h = aj i = aj, also ai j = aj. Und wird hierin a = b genannt, so entsteht mit der Unterstellung b = 1 ; b, das ist, als für Systemkonverse b gültig: 66) bi j = bh j = bk j = ... = bj.
Diese Abkürzung: in bj -- im Gegensatz zu der wie gezeigt ver- werflichen in bj -- ist legitim, und sie erklärt den Sinn des Symbols oder Koeffizienten bj für die Fälle, wo ihm eine Erklärung bislang zuteil geworden, nämlich für die, wo b ein System vorstellt.
Etabliren wir jetzt auch noch die Sätze: 67)
(ab)i = aibi
(a + b)i = ai + bi
68)
(Pa)i = Sai
(Sa)i = Sai
als geltend, sofern alle a und b Systeme vorstellen, immer a = a ; 1, b = b ; 1 ist -- welche Sätze in der That mit Rücksicht auf (58) durch die Festsetzungen (10) und (15) des § 3 unmittelbar gewähr- leistet erscheinen -- so haben wir schon alles wesentliche Material gewonnen, um eine sehr wichtige Bemerkung vorzubereiten.
Dieser wollen wir jedoch noch eine weitere lehrreiche Betrachtung voraufgehn lassen.
Fundamental ist auch noch dieser Satz: 69)
[Formel 1]
. Derselbe ist vor- und rückwärts als eine Aussagensubsumtion zunächst zu beweisen.
Vorwärts. Ist die linkseitige Aussage L erfüllt, so dürfen wir nach § 25 das dadurch als ein "Element" charakterisirte Relativ x etwa i nennen. Dann sind die Folgerungen i 0 und i ; 1 = i bereits längst aus dieser Charakteristik gezogen und handelt es sich nur noch darum darzuthun, dass für jedes System u sein müsse: (iu) + (iun) = 1.
Nach 63) läuft dies aber in der That hinaus auf die Selbstverständ- lichkeit ui + uni = 1.
Rückwärts ist aus den Voraussetzungen R der rechten Seite von 69) die Behauptung linkerhand oder die nach 8) des § 25 mit ihr äquivalente Aussage: Si(x = i) zu schliessen. Nun können wir in R unter den Relativen u auch die Elemente i des ersten Denkbereiches hervorhebend verstehen, indem wir
Zehnte Vorlesung.
ăi j = (1 ; ă)i j = Σhăh j = Σhaj h = aj i = aj, also ăi j = aj. Und wird hierin ă = b genannt, so entsteht mit der Unterstellung b = 1 ; b, das ist, als für Systemkonverse b gültig: 66) bi j = bh j = bk j = … = b̆j.
Diese Abkürzung: in b̆j — im Gegensatz zu der wie gezeigt ver- werflichen in bj — ist legitim, und sie erklärt den Sinn des Symbols oder Koeffizienten b̆j für die Fälle, wo ihm eine Erklärung bislang zuteil geworden, nämlich für die, wo b̆ ein System vorstellt.
Etabliren wir jetzt auch noch die Sätze: 67)
(ab)i = aibi
(a + b)i = ai + bi
68)
(Πa)i = Σai
(Σa)i = Σai
als geltend, sofern alle a und b Systeme vorstellen, immer a = a ; 1, b = b ; 1 ist — welche Sätze in der That mit Rücksicht auf (58) durch die Festsetzungen (10) und (15) des § 3 unmittelbar gewähr- leistet erscheinen — so haben wir schon alles wesentliche Material gewonnen, um eine sehr wichtige Bemerkung vorzubereiten.
Dieser wollen wir jedoch noch eine weitere lehrreiche Betrachtung voraufgehn lassen.
Fundamental ist auch noch dieser Satz: 69)
[Formel 1]
. Derselbe ist vor- und rückwärts als eine Aussagensubsumtion zunächst zu beweisen.
Vorwärts. Ist die linkseitige Aussage L erfüllt, so dürfen wir nach § 25 das dadurch als ein „Element“ charakterisirte Relativ x etwa i nennen. Dann sind die Folgerungen i ≠ 0 und i ; 1 = i bereits längst aus dieser Charakteristik gezogen und handelt es sich nur noch darum darzuthun, dass für jedes System u sein müsse: (i ⋹ u) + (i ⋹ ū) = 1.
Nach 63) läuft dies aber in der That hinaus auf die Selbstverständ- lichkeit ui + ūi = 1.
Rückwärts ist aus den Voraussetzungen R der rechten Seite von 69) die Behauptung linkerhand oder die nach 8) des § 25 mit ihr äquivalente Aussage: Σi(x = i) zu schliessen. Nun können wir in R unter den Relativen u auch die Elemente i des ersten Denkbereiches hervorhebend verstehen, indem wir
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[460/0474]
Zehnte Vorlesung.
ăi j = (1 ; ă)i j = Σhăh j = Σhaj h = aj i = aj,
also ăi j = aj. Und wird hierin ă = b genannt, so entsteht mit der
Unterstellung b = 1 ; b, das ist, als für Systemkonverse b gültig:
66) bi j = bh j = bk j = … = b̆j.
Diese Abkürzung: in b̆j — im Gegensatz zu der wie gezeigt ver-
werflichen in bj — ist legitim, und sie erklärt den Sinn des Symbols
oder Koeffizienten b̆j für die Fälle, wo ihm eine Erklärung bislang
zuteil geworden, nämlich für die, wo b̆ ein System vorstellt.
Etabliren wir jetzt auch noch die Sätze:
67) (ab)i = aibi (a + b)i = ai + bi
68) (Πa)i = Σai (Σa)i = Σai
als geltend, sofern alle a und b Systeme vorstellen, immer a = a ; 1,
b = b ; 1 ist — welche Sätze in der That mit Rücksicht auf (58)
durch die Festsetzungen (10) und (15) des § 3 unmittelbar gewähr-
leistet erscheinen — so haben wir schon alles wesentliche Material
gewonnen, um eine sehr wichtige Bemerkung vorzubereiten.
Dieser wollen wir jedoch noch eine weitere lehrreiche Betrachtung
voraufgehn lassen.
Fundamental ist auch noch dieser Satz:
69) [FORMEL].
Derselbe ist vor- und rückwärts als eine Aussagensubsumtion zunächst
zu beweisen.
Vorwärts. Ist die linkseitige Aussage L erfüllt, so dürfen wir nach
§ 25 das dadurch als ein „Element“ charakterisirte Relativ x etwa i nennen.
Dann sind die Folgerungen i ≠ 0 und i ; 1 = i bereits längst aus dieser
Charakteristik gezogen und handelt es sich nur noch darum darzuthun,
dass für jedes System u sein müsse:
(i ⋹ u) + (i ⋹ ū) = 1.
Nach 63) läuft dies aber in der That hinaus auf die Selbstverständ-
lichkeit
ui + ūi = 1.
Rückwärts ist aus den Voraussetzungen R der rechten Seite von 69)
die Behauptung linkerhand oder die nach 8) des § 25 mit ihr äquivalente
Aussage:
Σi(x = i)
zu schliessen. Nun können wir in R unter den Relativen u auch die
Elemente i des ersten Denkbereiches hervorhebend verstehen, indem wir
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 460. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/474>, abgerufen am 17.05.2024.
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