Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 27. Von Systemen zu den uninären Relativen.

Jenes folgt schon aus 1 ; 1 = 1. Um dieses, d. h. die erste Formel 64)
zu beweisen, ist
L_{h k} = R_{h k}, d. h. 1_{h k} = 1 = Σ_ii_{h k} = Σ_i1'_{i h}
zu zeigen, welches zutrifft, weil die Summe bei h = i das Glied 1'_{i i}, = 1,
enthält. —

Ebenso ist wegen 0 ; 1 = 0 auch der Modul 0 „ein System“; er kann
das Nullsystem oder leere System genannt werden.

Nach 58) sind wir damit nun auch berechtigt, in unsrer ganzen Theorie
zu schreiben:
1_{i j} = 1_i, 0_{i j} = 0_i
und müssen allgemein haben:
65) 1_i = 1, 0_i = 0.

Auch die in unserm Buche stillschweigend sich vollziehende Ver-
drängung der Benennung von 1 und 0 als „identische Moduln“ durch den
Namen „absolute Moduln“ erscheint damit nachträglich gerechtfertigt.

Ist b = ă ein „Systemkonvers“, mithin b = 1 ; b, so kann man
analog zu 47) bemerken, dass der allgemeine Koeffizient dieses Relativs:
b_{i j} = (1 ; b)_{i j} = Σ_hb_{h j} unabhängig von i
ist. Dadurch erschiene es von vornherein nahe gelegt, den ersten Index i
als belanglos zu unterdrücken und unser b_{i j}, = b_{h j} = b_{k j} = …, kürzer
blos mit b_j zu bezeichnen. Nachdem aber die Festsetzung (58) bereits
getroffen ist, nach welcher uns vielmehr b_j = b_{j i} = b_{j h} = … mit der
Unterstellung b = b ; 1 wird zu bedeuten haben, erscheint solches nicht
mehr angängig: man kann ja dem einfachen Suffixe nicht ansehen, ob
es den Überrest des ersten oder den des zweiten Index aus einem
doppelten Suffixe als einzig verbleibenden Zeiger zu vertreten habe!

Überhaupt dürfen wir auch mit solchen „Unterstellungen“ nicht regellos
wechseln, sondern müssen, um eine reine „Theorie der Systeme“ zu erhalten,
die eine Unterstellung konsequent festhalten: dass uns die einfachen Buch-
staben jeweils Systeme vorstellen, somit für ein a, b, x, u die Annahmen
a = a ; 1, b = b ; 1, x = x ; 1, u = u ; 1 stillschweigend zugrunde gelegt
werden.

Trifft dies für jene zu, so muss es auch für die mit Negationsstrich
versehenen Buchstaben zutreffen, nach 40) auch ā = ā ; 1, etc. sein.

Aber für die mit Konversionsringel versehenen Buchstaben wird es
nicht zutreffen.

Eine inbezug auf Systeme allgemeine Formel wird daher niemals in
dem Sinne allgemein sein, dass man — gleichwie in den schlechthin all-
gemeinen Formeln — die Buchstaben auch durch ihre Konverse ersetzen
dürfte.

Mit der Unterstellung a = a ; 1 oder der Annahme, dass a System
sei, haben wir vielmehr im Einklang mit (58):