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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zehnte Vorlesung.
heisst i ; a, ist = i · 1 ; a ; 1, mithin i selbst, sobald a nicht 0 ist,
andernfalls 0.

Wir fragen: Fällt dieser Begriff zusammen mit dem: das Element i
des Systems a? Die Antwort lautet: nein! Letzteres (natürlich in der
suppositio nominalis betrachtet) ist ein konnotativer Name, gleichbedeutend
mit: das Element i, welches (nebenbei gesagt) dem System a angehört.
Der Relativsatz ist dabei ein prädikativer und nicht ein determinativer --
vergl. Bd. 1, S. 221 sq. Das bestimmte Element i ist als solches durch
diesen seinen Namen schon hinreichend, nämlich vollständig, gekennzeichnet.
Entweder gehört dasselbe dem System a an oder nicht. Im ersten Falle
ist (i a) = 1, im letztern (i a) = 0. Das Element i, welches dem a
angehört, das ist "i(i a)" wird also = i · 1 = i sein, wird einfach i vor-
stellen im erstern Falle, dagegen = 0 sein, nichts vorstellen im letztern
Falle; in diesem nenne ich den Namen für die Logik einen undeutigen oder
sinnlosen, mögen Psychologen oder die es zu sein glauben auch noch so
viel Empfindungsgehalt, Bedeutung und Sinn darin entdecken.

Diese Entscheidung fällt nun mit dem obigen Resultat nicht zusammen,
wonach ja i ; a = i zu gelten hat, sobald nur a 0 ist, unbekümmert
darum, ob i a ist oder nicht.

Hiedurch werden wir auf einen Doppelsinn in der Wortsprache auf-
merksam: es sind zwei ganz verschiedene Partikeln "of" in "element of a
system" und in "lover of a benefactor". Jene ist nicht die Übersetzung
des Zeichens (;) der relativen Multiplikation.

Die Präposition "von", sofern sie einen genitivus partitivus oder
possessivus vertritt, erfüllt eine andre Bestimmung, funktionirt logisch
anders, als bei der Zusammensetzung von Relativen.

Fällt gar der Ausdruck: "ein System von Elementen", so kann dieses
"von" noch weniger für die Partikel der Komposition von Relativen aus-
gegeben werden, die wir in "Wohlthäter von einem Dienenden" beispiels-
weise erblicken.

Dies nur ganz beiläufig. Noch nimmt uns ja die Algebra der Rela-
tive zu sehr gefangen.

Ein Elementkonvers von einem Elementkonvers endlich ist immer
das letztere Elementkonvers selbst, sofern das erstere nicht verschwindet;
im andern Falle ist es = 0.

Die dualen Sätze für die relativen Summen auszusprechen sei dem
Leser überlassen.

Den Sätzen über Systeme und deren Konverse sind von rechts-
wegen auch die Theoreme noch anzureihen, welche sich aufstellen
lassen über die Einordnung zwischen solchen und Moduln, sowie
zwischen jenen unter sich und -- noch allgemeiner -- über die Ein-
ordnung zwischen Quaderrelativen. Denn die Quaderrelative beider
Arten, d. i. sowol der Form a ; 1 ; b als der a j 0 j b, begreifen ja, wie
man für b oder a gleich 1 resp. 0 sofort erkennt, auch die Systeme
und Systemkonverse als Partikularfälle unter sich.


Zehnte Vorlesung.
heisst i ; a, ist = i · 1 ; a ; 1, mithin i selbst, sobald a nicht 0 ist,
andernfalls 0.

Wir fragen: Fällt dieser Begriff zusammen mit dem: das Element i
des Systems a? Die Antwort lautet: nein! Letzteres (natürlich in der
suppositio nominalis betrachtet) ist ein konnotativer Name, gleichbedeutend
mit: das Element i, welches (nebenbei gesagt) dem System a angehört.
Der Relativsatz ist dabei ein prädikativer und nicht ein determinativer —
vergl. Bd. 1, S. 221 sq. Das bestimmte Element i ist als solches durch
diesen seinen Namen schon hinreichend, nämlich vollständig, gekennzeichnet.
Entweder gehört dasselbe dem System a an oder nicht. Im ersten Falle
ist (i ⋹ a) = 1, im letztern (i ⋹ a) = 0. Das Element i, welches dem a
angehört, das ist „i(i ⋹ a)“ wird also = i · 1 = i sein, wird einfach i vor-
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Falle; in diesem nenne ich den Namen für die Logik einen undeutigen oder
sinnlosen, mögen Psychologen oder die es zu sein glauben auch noch so
viel Empfindungsgehalt, Bedeutung und Sinn darin entdecken.

Diese Entscheidung fällt nun mit dem obigen Resultat nicht zusammen,
wonach ja i ; a = i zu gelten hat, sobald nur a ≠ 0 ist, unbekümmert
darum, ob i ⋹ a ist oder nicht.

Hiedurch werden wir auf einen Doppelsinn in der Wortsprache auf-
merksam: es sind zwei ganz verschiedene Partikeln „of“ in „element of a
system“ und in „lover of a benefactor“. Jene ist nicht die Übersetzung
des Zeichens (;) der relativen Multiplikation.

Die Präposition „von“, sofern sie einen genitivus partitivus oder
possessivus vertritt, erfüllt eine andre Bestimmung, funktionirt logisch
anders, als bei der Zusammensetzung von Relativen.

Fällt gar der Ausdruck: „ein System von Elementen“, so kann dieses
„von“ noch weniger für die Partikel der Komposition von Relativen aus-
gegeben werden, die wir in „Wohlthäter von einem Dienenden“ beispiels-
weise erblicken.

Dies nur ganz beiläufig. Noch nimmt uns ja die Algebra der Rela-
tive zu sehr gefangen.

Ein Elementkonvers von einem Elementkonvers endlich ist immer
das letztere Elementkonvers selbst, sofern das erstere nicht verschwindet;
im andern Falle ist es = 0.

Die dualen Sätze für die relativen Summen auszusprechen sei dem
Leser überlassen.

Den Sätzen über Systeme und deren Konverse sind von rechts-
wegen auch die Theoreme noch anzureihen, welche sich aufstellen
lassen über die Einordnung zwischen solchen und Moduln, sowie
zwischen jenen unter sich und — noch allgemeiner — über die Ein-
ordnung zwischen Quaderrelativen. Denn die Quaderrelative beider
Arten, d. i. sowol der Form a ; 1 ; b als der a ɟ 0 ɟ b, begreifen ja, wie
man für b oder a gleich 1 resp. 0 sofort erkennt, auch die Systeme
und Systemkonverse als Partikularfälle unter sich.


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[452/0466] Zehnte Vorlesung. heisst i ; a, ist = i · 1 ; a ; 1, mithin i selbst, sobald a nicht 0 ist, andernfalls 0. Wir fragen: Fällt dieser Begriff zusammen mit dem: das Element i des Systems a? Die Antwort lautet: nein! Letzteres (natürlich in der suppositio nominalis betrachtet) ist ein konnotativer Name, gleichbedeutend mit: das Element i, welches (nebenbei gesagt) dem System a angehört. Der Relativsatz ist dabei ein prädikativer und nicht ein determinativer — vergl. Bd. 1, S. 221 sq. Das bestimmte Element i ist als solches durch diesen seinen Namen schon hinreichend, nämlich vollständig, gekennzeichnet. Entweder gehört dasselbe dem System a an oder nicht. Im ersten Falle ist (i ⋹ a) = 1, im letztern (i ⋹ a) = 0. Das Element i, welches dem a angehört, das ist „i(i ⋹ a)“ wird also = i · 1 = i sein, wird einfach i vor- stellen im erstern Falle, dagegen = 0 sein, nichts vorstellen im letztern Falle; in diesem nenne ich den Namen für die Logik einen undeutigen oder sinnlosen, mögen Psychologen oder die es zu sein glauben auch noch so viel Empfindungsgehalt, Bedeutung und Sinn darin entdecken. Diese Entscheidung fällt nun mit dem obigen Resultat nicht zusammen, wonach ja i ; a = i zu gelten hat, sobald nur a ≠ 0 ist, unbekümmert darum, ob i ⋹ a ist oder nicht. Hiedurch werden wir auf einen Doppelsinn in der Wortsprache auf- merksam: es sind zwei ganz verschiedene Partikeln „of“ in „element of a system“ und in „lover of a benefactor“. Jene ist nicht die Übersetzung des Zeichens (;) der relativen Multiplikation. Die Präposition „von“, sofern sie einen genitivus partitivus oder possessivus vertritt, erfüllt eine andre Bestimmung, funktionirt logisch anders, als bei der Zusammensetzung von Relativen. Fällt gar der Ausdruck: „ein System von Elementen“, so kann dieses „von“ noch weniger für die Partikel der Komposition von Relativen aus- gegeben werden, die wir in „Wohlthäter von einem Dienenden“ beispiels- weise erblicken. Dies nur ganz beiläufig. Noch nimmt uns ja die Algebra der Rela- tive zu sehr gefangen. Ein Elementkonvers von einem Elementkonvers endlich ist immer das letztere Elementkonvers selbst, sofern das erstere nicht verschwindet; im andern Falle ist es = 0. Die dualen Sätze für die relativen Summen auszusprechen sei dem Leser überlassen. Den Sätzen über Systeme und deren Konverse sind von rechts- wegen auch die Theoreme noch anzureihen, welche sich aufstellen lassen über die Einordnung zwischen solchen und Moduln, sowie zwischen jenen unter sich und — noch allgemeiner — über die Ein- ordnung zwischen Quaderrelativen. Denn die Quaderrelative beider Arten, d. i. sowol der Form a ; 1 ; b als der a ɟ 0 ɟ b, begreifen ja, wie man für b oder a gleich 1 resp. 0 sofort erkennt, auch die Systeme und Systemkonverse als Partikularfälle unter sich.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 452. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/466>, abgerufen am 17.05.2024.