welcher für das Folgende fundamental ist und somit den Übergang von unsrer Formelsammlung zur Theorie der Systeme bildet.
Behufs Beweises brauchen wir nur die Äquivalenz der Sub- sumtionen (a ; 1 a) = (aa j 0) darzuthun, sintemal die rückwärtigen ohnehin gelten. Sie besteht auf- grund des ersten Inversionstheorems. Zudem ist in der That (a ; 1 a) = Ph k(Slah lah k) = Ph(Slah lPkah k), (aa j 0) = Ph k(ah kPlah l) = Ph(Skah kPlah l), wobei offenbar die rechten Seiten nur in den Namen laufender Zeiger differiren, q. e. d. Die übrigen Äquivalenzen unter 40) ergeben sich aus der hiemit bewiesenen durch Kontraposition und Konjugation.
Die einander äquivalenten Gleichungen der ersten Zeile von 40) sind nun die verschiednen Formen der Charakteristik des "Systems".
Wir nennen jedes Relativ a ein System, wenn es die Forderung a ; 1 a oder also die a ; 1 = a erfüllt. 1 und 0 sind Systeme.
Da i ; 1 = i bekanntlich -- vergl. 2) des § 25 -- ist, so muss jedes Element ein System sein und kann (siehe nachher) in der That als ein "einelementiges System" bezeichnet werden.
Die Gleichungen der zweiten Zeile von 40) charakterisiren ebenso ein Relativ als Systemkonvers. Denn wenn a für a darin gesagt wird, so folgen sie (durch beiderseitiges Konvertiren) aus denen der ersten Zeile, und umgekehrt.
Auch das Negat eines Systems ist ein System, das Negat eines Systemkonverses wiederum Systemkonvers -- wie aus der Symmetrie der Formeln 40) hinsichtlich a und an unmittelbar einleuchtet.
Ebenso muss Summe und Produkt zweier Systeme wieder ein System sein, d. h. wir haben den Satz: 41) (a ; 1 = a)(c ; 1 = c) {(a + c) ; 1 = a + c}(ac ; 1 = ac).
Behufs Beweises der ersten Behauptung braucht man nur die Prä- missen mit Rücksicht auf 4) des § 6 überschiebend zu addiren; die zweite Behauptung ergibt sich mit ac ; 1 a ; 1 · c ; 1 = ac nach 5) des § 6 mit Rücksicht auf die Geltung der umgekehrten Subsumtion.
Die vorstehenden Sätze lassen sich zusammenfassend verall- gemeinern zu dem Theorem: Jede "Funktion im identischen Kalkul" von lauter Systemen muss auch ein System sein.
Für die relativen Knüpfungen eines Systems (oder "absoluten Terms", siehe weiter unten) a = a ; 1 mit einem beliebigen Relativ b gelten nun die Formeln:
Zehnte Vorlesung.
welcher für das Folgende fundamental ist und somit den Übergang von unsrer Formelsammlung zur Theorie der Systeme bildet.
Behufs Beweises brauchen wir nur die Äquivalenz der Sub- sumtionen (a ; 1 ⋹ a) = (a ⋹ a ɟ 0) darzuthun, sintemal die rückwärtigen ohnehin gelten. Sie besteht auf- grund des ersten Inversionstheorems. Zudem ist in der That (a ; 1 ⋹ a) = Πh k(Σlah l ⋹ ah k) = Πh(Σlah l ⋹ Πkah k), (a ⋹ a ɟ 0) = Πh k(ah k ⋹ Πlah l) = Πh(Σkah k ⋹ Πlah l), wobei offenbar die rechten Seiten nur in den Namen laufender Zeiger differiren, q. e. d. Die übrigen Äquivalenzen unter 40) ergeben sich aus der hiemit bewiesenen durch Kontraposition und Konjugation.
Die einander äquivalenten Gleichungen der ersten Zeile von 40) sind nun die verschiednen Formen der Charakteristik des „Systems“.
Wir nennen jedes Relativ a ein System, wenn es die Forderung a ; 1 ⋹ a oder also die a ; 1 = a erfüllt. 1 und 0 sind Systeme.
Da i ; 1 = i bekanntlich — vergl. 2) des § 25 — ist, so muss jedes Element ein System sein und kann (siehe nachher) in der That als ein „einelementiges System“ bezeichnet werden.
Die Gleichungen der zweiten Zeile von 40) charakterisiren ebenso ein Relativ als Systemkonvers. Denn wenn ă für a darin gesagt wird, so folgen sie (durch beiderseitiges Konvertiren) aus denen der ersten Zeile, und umgekehrt.
Auch das Negat eines Systems ist ein System, das Negat eines Systemkonverses wiederum Systemkonvers — wie aus der Symmetrie der Formeln 40) hinsichtlich a und ā unmittelbar einleuchtet.
Ebenso muss Summe und Produkt zweier Systeme wieder ein System sein, d. h. wir haben den Satz: 41) (a ; 1 = a)(c ; 1 = c) ⋹ {(a + c) ; 1 = a + c}(ac ; 1 = ac).
Behufs Beweises der ersten Behauptung braucht man nur die Prä- missen mit Rücksicht auf 4) des § 6 überschiebend zu addiren; die zweite Behauptung ergibt sich mit ac ; 1 ⋹ a ; 1 · c ; 1 = ac nach 5) des § 6 mit Rücksicht auf die Geltung der umgekehrten Subsumtion.
Die vorstehenden Sätze lassen sich zusammenfassend verall- gemeinern zu dem Theorem: Jede „Funktion im identischen Kalkul“ von lauter Systemen muss auch ein System sein.
Für die relativen Knüpfungen eines Systems (oder „absoluten Terms“, siehe weiter unten) a = a ; 1 mit einem beliebigen Relativ b gelten nun die Formeln:
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[450/0464]
Zehnte Vorlesung.
welcher für das Folgende fundamental ist und somit den Übergang
von unsrer Formelsammlung zur Theorie der Systeme bildet.
Behufs Beweises brauchen wir nur die Äquivalenz der Sub-
sumtionen
(a ; 1 ⋹ a) = (a ⋹ a ɟ 0)
darzuthun, sintemal die rückwärtigen ohnehin gelten. Sie besteht auf-
grund des ersten Inversionstheorems. Zudem ist in der That
(a ; 1 ⋹ a) = Πh k(Σlah l ⋹ ah k) = Πh(Σlah l ⋹ Πkah k),
(a ⋹ a ɟ 0) = Πh k(ah k ⋹ Πlah l) = Πh(Σkah k ⋹ Πlah l),
wobei offenbar die rechten Seiten nur in den Namen laufender Zeiger
differiren, q. e. d. Die übrigen Äquivalenzen unter 40) ergeben sich
aus der hiemit bewiesenen durch Kontraposition und Konjugation.
Die einander äquivalenten Gleichungen der ersten Zeile von 40)
sind nun die verschiednen Formen der Charakteristik des „Systems“.
Wir nennen jedes Relativ a ein System, wenn es die Forderung
a ; 1 ⋹ a oder also die a ; 1 = a erfüllt. 1 und 0 sind Systeme.
Da i ; 1 = i bekanntlich — vergl. 2) des § 25 — ist, so muss
jedes Element ein System sein und kann (siehe nachher) in der That
als ein „einelementiges System“ bezeichnet werden.
Die Gleichungen der zweiten Zeile von 40) charakterisiren ebenso
ein Relativ als Systemkonvers. Denn wenn ă für a darin gesagt wird,
so folgen sie (durch beiderseitiges Konvertiren) aus denen der ersten
Zeile, und umgekehrt.
Auch das Negat eines Systems ist ein System, das Negat eines
Systemkonverses wiederum Systemkonvers — wie aus der Symmetrie der
Formeln 40) hinsichtlich a und ā unmittelbar einleuchtet.
Ebenso muss Summe und Produkt zweier Systeme wieder ein System
sein, d. h. wir haben den Satz:
41) (a ; 1 = a)(c ; 1 = c) ⋹ {(a + c) ; 1 = a + c}(ac ; 1 = ac).
Behufs Beweises der ersten Behauptung braucht man nur die Prä-
missen mit Rücksicht auf 4) des § 6 überschiebend zu addiren; die zweite
Behauptung ergibt sich mit ac ; 1 ⋹ a ; 1 · c ; 1 = ac nach 5) des § 6 mit
Rücksicht auf die Geltung der umgekehrten Subsumtion.
Die vorstehenden Sätze lassen sich zusammenfassend verall-
gemeinern zu dem Theorem: Jede „Funktion im identischen Kalkul“
von lauter Systemen muss auch ein System sein.
Für die relativen Knüpfungen eines Systems (oder „absoluten
Terms“, siehe weiter unten) a = a ; 1 mit einem beliebigen Relativ b
gelten nun die Formeln:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 450. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/464>, abgerufen am 17.05.2024.
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