Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 27. Formelsammlung.

Man bemerkt, dass die 8 Knüpfungsergebnisse der 5, 7, 13 und 15ten Zeile
ausgezeichnete Relative sind, deshalb auch ihrem Konversen gleich.

Wesentlich neu sind nur die diese betreffenden Angaben in unsrer
Zusammenstellung — welche in allen andern Fällen lehrt, die relative
Knüpfung auf eine identische zurückzuführen, in jenen 8 genannten aber
solche Zurückführung doch wenigstens so weit als möglich treibt.

Mit Rücksicht auf den Abacus und 5) verstehen sich die 24 übrigen
Formeln 23) schon aus 16), 17) und 18) von selbst.

Z. B. es ist 1 ; a ɟ 1 ; b = 1 ; a ɟ 0 ɟ 1 ; b nach 5), und dies, nach 16)
rechts, = 1 ; a ɟ 0 + 0 ɟ 1 ; b = 1 ; a ɟ 0 + 1 ; b wiederum nach 5), q. e. d. Etc.

Die vorerwähnten achte lassen (links vom Mittelstriche) nach 5) sich
leicht auf die erste von ihnen zurückführen — indem z. B.
1 ; a ; (b ɟ 0) = 1 ; a ; (b ɟ 0) ; 1 sein wird, etc.

Es bleibt also nur diese erstere, d. i. die der 5ten Zeile von 23)
links — zu beweisen.

Dieses ist leicht unmittelbar durch die Koeffizientenevidenz zu leisten.
Nennt man L den ersten, R den zweiten der drei gleichgesetzten Aus-
drücke, von welchem der dritte nur das Konverse ist, so hat man:
L_{i j} = Σ_{h k l}1_{i h}a_{h k}b_{k l}1_{l j} = Σ_{h k l}a_{h k}b_{k l} = Σ_kΣ_h1_{i h}a_{h k}Σ_l1_{i l}b̆_{l k}1_{k j} = R_{i j},
q. e. d. — Da wo rechterhand in 23) als Faktor oder Summand ein aus-
gezeichnetes Relativ erscheint — wie es bei der Hälfte der 24 Fälle zu-
trifft, in denen das Ergebniss nicht schon selbst ein solches war — ver-
einfacht sich natürlich das Endergebniss noch sehr, je nachdem jenes den
Wert 0 oder 1 aufweist.

Die vorstehenden Formeln sind als Schemata für das Rechnen in
unsrer relativen Algebra von ungemeiner Nützlichkeit.

Wir fahren mit der Sammlung fort:
25) [Formel 1]
26) [Formel 2]
27)

1 ; a ; 1 = 1 ; ă ; 1

0 ɟ a ɟ 0 = 0 ɟ ă ɟ 0

28)

1 ; a ; 1 ; b ; 1 = 1 ; b ; 1 ; a ; 1

0 ɟ a ɟ 0 ɟ b ɟ 0 = 0 ɟ b ɟ 0 ɟ a ɟ 0.

Und so weiter für noch mehr Terme:

Nicht nur ist die Reihenfolge von Relativen, welche einzeln zwischen
lauter relative Faktoren 1 sich eingeschaltet finden, allemal gleichgültig^*);
sondern es können auch irgend welche dieser Relative durch ihre Konverse
ersetzt werden, desgleichen ist es erlaubt, ein jedes dieser Relative, wie a,
zu ersetzen durch ein relatives Produkt von beliebig viel Faktoren, welche
abwechselnd es selbst und sein Konverses sind, wie

*) Aus S. 151 wiederholt, und schon aus 3) und 6) bis 9) des § 11 ersichtlich.