Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>
§ 26. Das Einauge als Individuum im zweiten Denkbereich.

Die Gleichung 23) rückwärts als Subsumtion zu beweisen läuft
darauf hinaus, zu zeigen, dass die Charakteristik linkerhand (als Re-
sultante der Elimination von x, y) aus dem allgemeinen Glied der
Doppelsumme rechterhand folgt.

Dies ist auf dem Umwege über 6) .. 8) nach 10) implicite bereits
geschehen, soll aber nunmehr nochmals auf dem kürzesten Wege geleistet
werden.

Dabei dürfen wir die aus den Charakteristiken für x und y bereits
S. 408 sq. abgeleiteten Folgerungen
x ; 1 = x = x j 0, 1 ; x = 1 = y ; 1,
1 ; y = y = 0 j y,
etc. nebst deren Kontraposition benutzen. Nun ist für z = xy:
R = z ; 1 + 1 ; z = xy ; 1 + 1 ; xy, L = 1' j zn j 1' = 1' j (xn + yn) j 1'
und soll L = R bewiesen werden. Aber:
R = (x ; 1)y ; 1 + 1 ; x(1 ; y) = x ; 1 · y ; 1 + 1 ; x · 1 ; y = x · 1 + 1 · y = x + y
gemäss der linkseitigen Schemata 5) des § 18 für c = 1 in Anspruch ge-
nommen. Ebenso haben wir nach deren rechtseitigen für c = 1' in An-
spruch genommnen Schemata:
L = {1' j (xn + 1 ; yn)} j 1' = (1' j xn + 1 ; yn) j 1' = (1' j xn ; 1 + 1 ; yn) j 1' =
= (x + 1 ; yn) j 1' = (x ; 1 + 1 ; yn) j 1' = x ; 1 + 1 ; yn j 1' = x + y,
q. e. d. Noch leichter könnte mit der Annahme z = x ; y gezeigt werden, dass:
R = x ; y ; 1 + 1 ; x ; y = x ; 1 + 1 ; y = x ; 1 j 1 ; y = x j y,
L = 1' j xn j yn j 1' = 1' j xn ; 1 j 1 ; yn j 1' = x j y,
also L = R sein muss.

Um die Gleichung 23) vorwärts als Subsumtion zu beweisen, muss
gezeigt werden, dass, sobald z die Charakteristik links erfüllt, es min-
destens ein Wertepaar x, y gibt, welches die Aussage hinter der
Doppelsumme rechts wahr macht. Ein solches ist aber in der That
angebbar in Gestalt von:
x = z ; 1, y = 1 ; z.

Beweis. Denn hiefür wird erstens
z = z ; 1 · 1 ; z(= z ; 1 ; z) = z ; 1 ; 1 ; z,
also z = xy = x ; y erfüllt sein, was wir indirekt schon aus 10) abgeleitet
haben, auf wol kürzestem Weg aber so ableiten mögen:
z ; 1 · 1 ; z = z ; (1' + 0') · (0' + 1') ; z = (z + z ; 0')(0' ; z + z) = z + z ; 0' · 0' ; z = z + 0 = z,
indem das Verschwinden des letzten Gliedes bereits auf S. 431 aus 10)
gefolgert wurde.

Es bleibt also nur noch das Erfülltsein der beiden ersten Faktor-
Aussagen hinter den S in 23) zu beweisen. Wegen

Schröder, Algebra der Relative. 28
§ 26. Das Einauge als Individuum im zweiten Denkbereich.

Die Gleichung 23) rückwärts als Subsumtion zu beweisen läuft
darauf hinaus, zu zeigen, dass die Charakteristik linkerhand (als Re-
sultante der Elimination von x, y) aus dem allgemeinen Glied der
Doppelsumme rechterhand folgt.

Dies ist auf dem Umwege über 6) ‥ 8) nach 10) implicite bereits
geschehen, soll aber nunmehr nochmals auf dem kürzesten Wege geleistet
werden.

Dabei dürfen wir die aus den Charakteristiken für x und y bereits
S. 408 sq. abgeleiteten Folgerungen
x ; 1 = x = x ɟ 0, 1 ; x = 1 = y ; 1,
1 ; y = y = 0 ɟ y,
etc. nebst deren Kontraposition benutzen. Nun ist für z = xy:
R = z ; 1 + 1 ; z = xy ; 1 + 1 ; xy, L = 1' ɟ z̄ ɟ 1' = 1' ɟ (x̄ + ȳ) ɟ 1'
und soll L = R bewiesen werden. Aber:
R = (x ; 1)y ; 1 + 1 ; x(1 ; y) = x ; 1 · y ; 1 + 1 ; x · 1 ; y = x · 1 + 1 · y = x + y
gemäss der linkseitigen Schemata 5) des § 18 für c = 1 in Anspruch ge-
nommen. Ebenso haben wir nach deren rechtseitigen für c = 1' in An-
spruch genommnen Schemata:
L = {1' ɟ (x̄ + 1 ; ȳ)} ɟ 1' = (1' ɟ x̄ + 1 ; ȳ) ɟ 1' = (1' ɟ x̄ ; 1 + 1 ; ȳ) ɟ 1' =
= (x + 1 ; ȳ) ɟ 1' = (x ; 1 + 1 ; ȳ) ɟ 1' = x ; 1 + 1 ; ȳ ɟ 1' = x + y,
q. e. d. Noch leichter könnte mit der Annahme z = x ; y gezeigt werden, dass:
R = x ; y ; 1 + 1 ; x ; y = x ; 1 + 1 ; y = x ; 1 ɟ 1 ; y = x ɟ y,
L = 1' ɟ x̄ ɟ ȳ ɟ 1' = 1' ɟ x̄ ; 1 ɟ 1 ; ȳ ɟ 1' = x ɟ y,
also L = R sein muss.

Um die Gleichung 23) vorwärts als Subsumtion zu beweisen, muss
gezeigt werden, dass, sobald z die Charakteristik links erfüllt, es min-
destens ein Wertepaar x, y gibt, welches die Aussage hinter der
Doppelsumme rechts wahr macht. Ein solches ist aber in der That
angebbar in Gestalt von:
x = z ; 1, y = 1 ; z.

Beweis. Denn hiefür wird erstens
z = z ; 1 · 1 ; z(= z ; 1 ; z) = z ; 1 ; 1 ; z,
also z = xy = x ; y erfüllt sein, was wir indirekt schon aus 10) abgeleitet
haben, auf wol kürzestem Weg aber so ableiten mögen:
z ; 1 · 1 ; z = z ; (1' + 0') · (0' + 1') ; z = (z + z ; 0')(0' ; z + z) = z + z ; 0' · 0' ; z = z + 0 = z,
indem das Verschwinden des letzten Gliedes bereits auf S. 431 aus 10)
gefolgert wurde.

Es bleibt also nur noch das Erfülltsein der beiden ersten Faktor-
Aussagen hinter den Σ in 23) zu beweisen. Wegen

Schröder, Algebra der Relative. 28
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0447" n="433"/>
          <fw place="top" type="header">§ 26. Das Einauge als Individuum im zweiten Denkbereich.</fw><lb/>
          <p>Die Gleichung 23) <hi rendition="#i">rückwärts</hi> als Subsumtion zu beweisen läuft<lb/>
darauf hinaus, zu zeigen, dass die Charakteristik linkerhand (als Re-<lb/>
sultante der Elimination von <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>) aus dem allgemeinen Glied der<lb/>
Doppelsumme rechterhand <hi rendition="#i">folgt</hi>.</p><lb/>
          <p>Dies ist auf dem Umwege über 6) &#x2025; 8) nach 10) implicite bereits<lb/>
geschehen, soll aber nunmehr nochmals auf dem kürzesten Wege geleistet<lb/>
werden.</p><lb/>
          <p>Dabei dürfen wir die aus den Charakteristiken für <hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">y</hi> bereits<lb/>
S. 408 sq. abgeleiteten Folgerungen<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> &#x025F; 0, 1 ; <hi rendition="#i">x</hi> = 1 = <hi rendition="#i">y</hi> ; 1,<lb/>
1 ; <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">y</hi> = 0 &#x025F; <hi rendition="#i">y</hi>,</hi><lb/>
etc. nebst deren Kontraposition benutzen. Nun ist für <hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">xy</hi>:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">R</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> ; 1 + 1 ; <hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">xy</hi> ; 1 + 1 ; <hi rendition="#i">xy</hi>, <hi rendition="#i">L</hi> = 1' &#x025F; <hi rendition="#i">z&#x0304;</hi> &#x025F; 1' = 1' &#x025F; (<hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">y&#x0304;</hi>) &#x025F; 1'</hi><lb/>
und soll <hi rendition="#i">L</hi> = <hi rendition="#i">R</hi> bewiesen werden. Aber:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">R</hi> = (<hi rendition="#i">x</hi> ; 1)<hi rendition="#i">y</hi> ; 1 + 1 ; <hi rendition="#i">x</hi>(1 ; <hi rendition="#i">y</hi>) = <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 · <hi rendition="#i">y</hi> ; 1 + 1 ; <hi rendition="#i">x</hi> · 1 ; <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> · 1 + 1 · <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi></hi><lb/>
gemäss der linkseitigen Schemata 5) des § 18 für <hi rendition="#i">c</hi> = 1 in Anspruch ge-<lb/>
nommen. Ebenso haben wir nach deren rechtseitigen für <hi rendition="#i">c</hi> = 1' in An-<lb/>
spruch genommnen Schemata:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">L</hi> = {1' &#x025F; (<hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> + 1 ; <hi rendition="#i">y&#x0304;</hi>)} &#x025F; 1' = (1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> + 1 ; <hi rendition="#i">y&#x0304;</hi>) &#x025F; 1' = (1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1 + 1 ; <hi rendition="#i">y&#x0304;</hi>) &#x025F; 1' =<lb/>
= (<hi rendition="#i">x</hi> + 1 ; <hi rendition="#i">y&#x0304;</hi>) &#x025F; 1' = (<hi rendition="#i">x</hi> ; 1 + 1 ; <hi rendition="#i">y&#x0304;</hi>) &#x025F; 1' = <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 + 1 ; <hi rendition="#i">y&#x0304;</hi> &#x025F; 1' = <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi>,</hi><lb/>
q. e. d. Noch leichter könnte mit der Annahme <hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">y</hi> gezeigt werden, dass:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">R</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">y</hi> ; 1 + 1 ; <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 + 1 ; <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 &#x025F; 1 ; <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">y</hi>,<lb/><hi rendition="#i">L</hi> = 1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">y&#x0304;</hi> &#x025F; 1' = 1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1 &#x025F; 1 ; <hi rendition="#i">y&#x0304;</hi> &#x025F; 1' = <hi rendition="#i">x</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">y</hi>,</hi><lb/>
also <hi rendition="#i">L</hi> = <hi rendition="#i">R</hi> sein muss.</p><lb/>
          <p>Um die Gleichung 23) <hi rendition="#i">vorwärts</hi> als Subsumtion zu beweisen, muss<lb/>
gezeigt werden, dass, sobald <hi rendition="#i">z</hi> die Charakteristik links erfüllt, es min-<lb/>
destens ein Wertepaar <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> gibt, welches die Aussage hinter der<lb/>
Doppelsumme rechts wahr macht. Ein solches ist aber in der That<lb/>
angebbar in Gestalt von:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> ; 1, <hi rendition="#i">y</hi> = 1 ; <hi rendition="#i">z</hi>.</hi></p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Beweis</hi>. Denn hiefür wird erstens<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> ; 1 · 1 ; <hi rendition="#i">z</hi>(= <hi rendition="#i">z</hi> ; 1 ; <hi rendition="#i">z</hi>) = <hi rendition="#i">z</hi> ; 1 ; 1 ; <hi rendition="#i">z</hi>,</hi><lb/>
also <hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">xy</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">y</hi> erfüllt sein, was wir indirekt schon aus 10) abgeleitet<lb/>
haben, auf wol kürzestem Weg aber so ableiten mögen:<lb/><hi rendition="#i">z</hi> ; 1 · 1 ; <hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> ; (1' + 0') · (0' + 1') ; <hi rendition="#i">z</hi> = (<hi rendition="#i">z</hi> + <hi rendition="#i">z</hi> ; 0')(0' ; <hi rendition="#i">z</hi> + <hi rendition="#i">z</hi>) = <hi rendition="#i">z</hi> + <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' · 0' ; <hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> + 0 = <hi rendition="#i">z</hi>,<lb/>
indem das Verschwinden des letzten Gliedes bereits auf S. 431 aus 10)<lb/>
gefolgert wurde.</p><lb/>
          <p>Es bleibt also nur noch das Erfülltsein der beiden ersten Faktor-<lb/>
Aussagen hinter den <hi rendition="#i">&#x03A3;</hi> in 23) zu beweisen. Wegen<lb/>
<fw place="bottom" type="sig"><hi rendition="#k">Schröder</hi>, Algebra der Relative. 28</fw><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[433/0447] § 26. Das Einauge als Individuum im zweiten Denkbereich. Die Gleichung 23) rückwärts als Subsumtion zu beweisen läuft darauf hinaus, zu zeigen, dass die Charakteristik linkerhand (als Re- sultante der Elimination von x, y) aus dem allgemeinen Glied der Doppelsumme rechterhand folgt. Dies ist auf dem Umwege über 6) ‥ 8) nach 10) implicite bereits geschehen, soll aber nunmehr nochmals auf dem kürzesten Wege geleistet werden. Dabei dürfen wir die aus den Charakteristiken für x und y bereits S. 408 sq. abgeleiteten Folgerungen x ; 1 = x = x ɟ 0, 1 ; x = 1 = y ; 1, 1 ; y = y = 0 ɟ y, etc. nebst deren Kontraposition benutzen. Nun ist für z = xy: R = z ; 1 + 1 ; z = xy ; 1 + 1 ; xy, L = 1' ɟ z̄ ɟ 1' = 1' ɟ (x̄ + ȳ) ɟ 1' und soll L = R bewiesen werden. Aber: R = (x ; 1)y ; 1 + 1 ; x(1 ; y) = x ; 1 · y ; 1 + 1 ; x · 1 ; y = x · 1 + 1 · y = x + y gemäss der linkseitigen Schemata 5) des § 18 für c = 1 in Anspruch ge- nommen. Ebenso haben wir nach deren rechtseitigen für c = 1' in An- spruch genommnen Schemata: L = {1' ɟ (x̄ + 1 ; ȳ)} ɟ 1' = (1' ɟ x̄ + 1 ; ȳ) ɟ 1' = (1' ɟ x̄ ; 1 + 1 ; ȳ) ɟ 1' = = (x + 1 ; ȳ) ɟ 1' = (x ; 1 + 1 ; ȳ) ɟ 1' = x ; 1 + 1 ; ȳ ɟ 1' = x + y, q. e. d. Noch leichter könnte mit der Annahme z = x ; y gezeigt werden, dass: R = x ; y ; 1 + 1 ; x ; y = x ; 1 + 1 ; y = x ; 1 ɟ 1 ; y = x ɟ y, L = 1' ɟ x̄ ɟ ȳ ɟ 1' = 1' ɟ x̄ ; 1 ɟ 1 ; ȳ ɟ 1' = x ɟ y, also L = R sein muss. Um die Gleichung 23) vorwärts als Subsumtion zu beweisen, muss gezeigt werden, dass, sobald z die Charakteristik links erfüllt, es min- destens ein Wertepaar x, y gibt, welches die Aussage hinter der Doppelsumme rechts wahr macht. Ein solches ist aber in der That angebbar in Gestalt von: x = z ; 1, y = 1 ; z. Beweis. Denn hiefür wird erstens z = z ; 1 · 1 ; z(= z ; 1 ; z) = z ; 1 ; 1 ; z, also z = xy = x ; y erfüllt sein, was wir indirekt schon aus 10) abgeleitet haben, auf wol kürzestem Weg aber so ableiten mögen: z ; 1 · 1 ; z = z ; (1' + 0') · (0' + 1') ; z = (z + z ; 0')(0' ; z + z) = z + z ; 0' · 0' ; z = z + 0 = z, indem das Verschwinden des letzten Gliedes bereits auf S. 431 aus 10) gefolgert wurde. Es bleibt also nur noch das Erfülltsein der beiden ersten Faktor- Aussagen hinter den Σ in 23) zu beweisen. Wegen Schröder, Algebra der Relative. 28

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/447
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 433. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/447>, abgerufen am 18.05.2024.