xn ; 1 = (zn j 0) ; 1 = zn j 0, 1 ; yn = 1 ; (0 j zn) = 0 j zn laufen diese aber hinaus auf die Modulknüpfungssätze 21): 1' j zn j 0 = z ; 1, 0 j zn j 1' = 1 ; z, welche -- zum wenigsten also -- bewiesen werden müssen.
Indem wir zu unsrer Charakteristik beiderseits 0 relativ (nach- oder vor-)addirten, hatten wir aber bereits S. 431 die Ergebnisse gewonnen: 1' j zn j 0 = z ; 1 + 1 ; z j 0, 0 j zn j 1' = 0 j z ; 1 + 1 ; z. Aus unsrer Charakteristik folgt jedoch a fortiori: z ; 1 1' j zn j 1', somit nach dem ersten Inversionstheorem: z 1' j zn j 1' j 0 oder z 1' j zn j 0, analog z 0 j zn j 1'. Darnach wird 1 ; z j 0 1 ; (0 j zn j 1') j 0 = 0 j zn j 1' j 0 = 0 j zn j 0, was als 0 mit z 0 bereits S. 431 erwiesen ist.
Somit gelten also nebenher auch die Modulknüpfungssätze: 1 ; z j 0 = 0, 0 j z ; 1 = 0 und mit diesen bewahrheiten sich auch die vorigen, q. e. d.
Weil das genannte x nun also die Charakteristik des Elementes, y die des Elementkonverses erfüllt, so dürfen wir jenes mit i, dieses mit j bezeichnen, und haben die Darstellung z = ij gewonnen.
Diese ist nebenbei gesagt nur auf eine Weise möglich, oder es kann nicht mehr als ein Glied der Aussagendoppelsumme in 23) wahr sein. Denn wenn noch auf eine zweite Weise z = hk wäre, so müssten wir auch z = zz = ijhk haben, was nach 16) des § 25 wegen ih = 0 oder wegen jk = 0, im Widerspruch zu z 0, verschwinden müsste, sobald das zweite Elementepaar nicht durchaus mit dem ersten zusammenfiele.
Als nächsten Satz der Theorie stellen wir nun diesen auf: 24)
[Formel 1]
, wonach unsre Charakteristik äquivalent ist der Individuumsdefinition, wie sie der identische Kalkul (Bd. 2, S. 325) formulirt.
Auch diese Äquivalenz muss als Subsumtion vor- und rückwärts bewiesen werden.
Vorwärts haben wir bereits die Folgerung z 0 aus der Charak- teristik gezogen, bleibt also nur noch darzuthun, dass ein individuelles Relativ z jedem binären Relativ u gegenüber entweder ganz in ihm selbst oder ganz in seinem Negat enthalten ist.
Nun gibt die Alternative der Gleichungen (zun = 0) + (zu = 0)
Zehnte Vorlesung.
x̄ ; 1 = (z̄ ɟ 0) ; 1 = z̄ ɟ 0, 1 ; ȳ = 1 ; (0 ɟ z̄) = 0 ɟ z̄ laufen diese aber hinaus auf die Modulknüpfungssätze 21): 1' ɟ z̄ ɟ 0 = z ; 1, 0 ɟ z̄ ɟ 1' = 1 ; z, welche — zum wenigsten also — bewiesen werden müssen.
Indem wir zu unsrer Charakteristik beiderseits 0 relativ (nach- oder vor-)addirten, hatten wir aber bereits S. 431 die Ergebnisse gewonnen: 1' ɟ z̄ ɟ 0 = z ; 1 + 1 ; z ɟ 0, 0 ɟ z̄ ɟ 1' = 0 ɟ z ; 1 + 1 ; z. Aus unsrer Charakteristik folgt jedoch a fortiori: z ; 1 ⋹ 1' ɟ z̄ ɟ 1', somit nach dem ersten Inversionstheorem: z ⋹ 1' ɟ z̄ ɟ 1' ɟ 0 oder z⋹ 1' ɟ z̄ ɟ 0, analog z ⋹ 0 ɟ z̄ ɟ 1'. Darnach wird 1 ; z ɟ 0 ⋹ 1 ; (0 ɟ z̄ ɟ 1') ɟ 0 = 0 ɟ z̄ ɟ 1' ɟ 0 = 0 ɟ z̄ ɟ 0, was als ⋹ 0 mit z ≠ 0 bereits S. 431 erwiesen ist.
Somit gelten also nebenher auch die Modulknüpfungssätze: 1 ; z ɟ 0 = 0, 0 ɟ z ; 1 = 0 und mit diesen bewahrheiten sich auch die vorigen, q. e. d.
Weil das genannte x nun also die Charakteristik des Elementes, y die des Elementkonverses erfüllt, so dürfen wir jenes mit i, dieses mit j bezeichnen, und haben die Darstellung z = ij̆ gewonnen.
Diese ist nebenbei gesagt nur auf eine Weise möglich, oder es kann nicht mehr als ein Glied der Aussagendoppelsumme in 23) wahr sein. Denn wenn noch auf eine zweite Weise z = hk̆ wäre, so müssten wir auch z = zz = ij̆hk̆ haben, was nach 16) des § 25 wegen ih = 0 oder wegen j̆k̆ = 0, im Widerspruch zu z ≠ 0, verschwinden müsste, sobald das zweite Elementepaar nicht durchaus mit dem ersten zusammenfiele.
Als nächsten Satz der Theorie stellen wir nun diesen auf: 24)
[Formel 1]
, wonach unsre Charakteristik äquivalent ist der Individuumsdefinition, wie sie der identische Kalkul (Bd. 2, S. 325) formulirt.
Auch diese Äquivalenz muss als Subsumtion vor- und rückwärts bewiesen werden.
Vorwärts haben wir bereits die Folgerung z ≠ 0 aus der Charak- teristik gezogen, bleibt also nur noch darzuthun, dass ein individuelles Relativ z jedem binären Relativ u gegenüber entweder ganz in ihm selbst oder ganz in seinem Negat enthalten ist.
Nun gibt die Alternative der Gleichungen (zū = 0) + (zu = 0)
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[434/0448]
Zehnte Vorlesung.
x̄ ; 1 = (z̄ ɟ 0) ; 1 = z̄ ɟ 0, 1 ; ȳ = 1 ; (0 ɟ z̄) = 0 ɟ z̄
laufen diese aber hinaus auf die Modulknüpfungssätze 21):
1' ɟ z̄ ɟ 0 = z ; 1, 0 ɟ z̄ ɟ 1' = 1 ; z,
welche — zum wenigsten also — bewiesen werden müssen.
Indem wir zu unsrer Charakteristik beiderseits 0 relativ (nach- oder
vor-)addirten, hatten wir aber bereits S. 431 die Ergebnisse gewonnen:
1' ɟ z̄ ɟ 0 = z ; 1 + 1 ; z ɟ 0, 0 ɟ z̄ ɟ 1' = 0 ɟ z ; 1 + 1 ; z.
Aus unsrer Charakteristik folgt jedoch a fortiori: z ; 1 ⋹ 1' ɟ z̄ ɟ 1', somit
nach dem ersten Inversionstheorem: z ⋹ 1' ɟ z̄ ɟ 1' ɟ 0 oder
z⋹ 1' ɟ z̄ ɟ 0, analog z ⋹ 0 ɟ z̄ ɟ 1'.
Darnach wird
1 ; z ɟ 0 ⋹ 1 ; (0 ɟ z̄ ɟ 1') ɟ 0 = 0 ɟ z̄ ɟ 1' ɟ 0 = 0 ɟ z̄ ɟ 0,
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Somit gelten also nebenher auch die Modulknüpfungssätze:
1 ; z ɟ 0 = 0, 0 ɟ z ; 1 = 0
und mit diesen bewahrheiten sich auch die vorigen, q. e. d.
Weil das genannte x nun also die Charakteristik des Elementes,
y die des Elementkonverses erfüllt, so dürfen wir jenes mit i, dieses
mit j bezeichnen, und haben die Darstellung z = ij̆ gewonnen.
Diese ist nebenbei gesagt nur auf eine Weise möglich, oder es kann
nicht mehr als ein Glied der Aussagendoppelsumme in 23) wahr sein.
Denn wenn noch auf eine zweite Weise z = hk̆ wäre, so müssten wir auch
z = zz = ij̆hk̆ haben, was nach 16) des § 25 wegen ih = 0 oder wegen
j̆k̆ = 0, im Widerspruch zu z ≠ 0, verschwinden müsste, sobald das zweite
Elementepaar nicht durchaus mit dem ersten zusammenfiele.
Als nächsten Satz der Theorie stellen wir nun diesen auf:
24) [FORMEL],
wonach unsre Charakteristik äquivalent ist der Individuumsdefinition, wie
sie der identische Kalkul (Bd. 2, S. 325) formulirt.
Auch diese Äquivalenz muss als Subsumtion vor- und rückwärts
bewiesen werden.
Vorwärts haben wir bereits die Folgerung z ≠ 0 aus der Charak-
teristik gezogen, bleibt also nur noch darzuthun, dass ein individuelles
Relativ z jedem binären Relativ u gegenüber entweder ganz in ihm selbst
oder ganz in seinem Negat enthalten ist.
Nun gibt die Alternative der Gleichungen
(zū = 0) + (zu = 0)
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 434. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/448>, abgerufen am 24.05.2024.
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