Anders die Formel der fünften Zeile. Dass diese (10) hiezu ausreicht, hat mich zuerst in geometrischer Evidenz das Studium der sieben Formen gelehrt, welche unter den sekundären Modulknüpfungen eines allgemeinen Relativs a das Relativ 0' ; a ; 0' annehmen kann, und deren Vergleichung mit den zugehörigen Werten des Relativs (an j 0)(0 j an).
Dieselbe muss also mit 8) äquivalent sein, was analytisch nachzuweisen nicht ganz leicht erscheint und nunmehr geschehen soll.
Wir leiten zuerst 8) aus 10) ab.
Wegen z ; 1 + 1 ; z 1' j zn j 1' haben wir nach dem ersten Inversions- theoreme: (z ; 1 + 1 ; z) ; 0' 1' j zn, 0' ; (z ; 1 + 1 ; z) zn j 1', z ; 1 + 1 ; z ; 0' 1' j zn, 0' ; z ; 1 + 1 ; zzn j 1', somit a fortiori: z ; 1 1' j zn, 1 ; zzn j 1', oder z ; 1 · 0' ; z + z ; 0' · 1 ; z = 0, womit ein Teil von 8) gewonnen ist und nur noch z 0 abzuleiten bleibt, was aber schwieriger. [Da z ; 0' z ; 1, so folgt nebenher auch sogleich z ; 0' · 0' ; z = 0.]
Wegen a j 0 = (a j 1')a etc. -- cf. 13) des § 15 -- haben wir allgemein: 0 j zn j 0 = {(0 j zn) j 0}{0 j (zn j 0)} = {zn(1' j zn) j 0}{0 j (zn j 1')zn} = = (zn j 0)(0 j zn)(1' j zn j 0)(0 j zn j 1'). Andrerseits ist nach dem Abacus, 10) und 24) des § 18, hier: 1' j zn j 0 = 1' j zn j 1' j 0 = (z ; 1 + 1 ; z) j 0 = z ; 1 + 1 ; z j 0, also (zn j 0)(1' j zn j 0) = (zn j 0)(1 ; z j 0), und ebenso zeigt man, dass: (0 j zn)(0 j zn j 1') = (0 j zn)(0 j z ; 1), womit wir haben: 0 j zn j 0 = (zn j 0)(0 j z ; 1)(1 ; z j 0)(0 j zn). Wegen 0 j z ; 1 z ; 1, etc. ist aber das Produkt der beiden ersten Faktoren rechts gleich 0, und ebenso das der beiden letzten, womit denn auch 0 j zn j 0 = 0 oder z 0 gewonnen ist, q. e. d.
Um umgekehrt 10) aus 8) abzuleiten, deduziren wird aus letzterm: 0' ; zzn j 0, z ; 0' 0 j zn, somit: 0' ; z ; 0' (zn j 0) ; 0' = zn j 0, desgleichen 0' ; (0 j zn) = 0 j zn, also 0' ; z ; 0' (zn j 0)(0 j zn). Andrerseits haben wir nach der allgemein für 0 j zn j 0, welches hier = 0 ist, oben gegebnen Umformung: (zn j 0)(0 j zn)(1' j zn j 0)(0 j zn j 1') 0, oder (zn j 0)(0 j zn) 0' ; z ; 1 + 1 ; z ; 0'. Allgemein aber kann man umformen: 0' ; a ; 1 + 1 ; a ; 0' = 0' ; a ; (1' + 0') + (0' + 1') ; a ; 0' = = 0' ; a + 0' ; a ; 0' + a ; 0',
§ 26. Zur Charakteristik des Einauges.
Anders die Formel der fünften Zeile. Dass diese (10) hiezu ausreicht, hat mich zuerst in geometrischer Evidenz das Studium der sieben Formen gelehrt, welche unter den sekundären Modulknüpfungen eines allgemeinen Relativs a das Relativ 0' ; a ; 0' annehmen kann, und deren Vergleichung mit den zugehörigen Werten des Relativs (ā ɟ 0)(0 ɟ ā).
Dieselbe muss also mit 8) äquivalent sein, was analytisch nachzuweisen nicht ganz leicht erscheint und nunmehr geschehen soll.
Wir leiten zuerst 8) aus 10) ab.
Wegen z ; 1 + 1 ; z ⋹ 1' ɟ z̄ ɟ 1' haben wir nach dem ersten Inversions- theoreme: (z ; 1 + 1 ; z) ; 0' ⋹ 1' ɟ z̄, 0' ; (z ; 1 + 1 ; z) ⋹ z̄ ɟ 1', z ; 1 + 1 ; z ; 0' ⋹ 1' ɟ z̄, 0' ; z ; 1 + 1 ; z ⋹ z̄ ɟ 1', somit a fortiori: z ; 1 ⋹ 1' ɟ z̄, 1 ; z ⋹ z̄ ɟ 1', oder z ; 1 · 0' ; z + z ; 0' · 1 ; z = 0, womit ein Teil von 8) gewonnen ist und nur noch z ≠ 0 abzuleiten bleibt, was aber schwieriger. [Da z ; 0' ⋹ z ; 1, so folgt nebenher auch sogleich z ; 0' · 0' ; z = 0.]
Wegen a ɟ 0 = (a ɟ 1')a etc. — cf. 13) des § 15 — haben wir allgemein: 0 ɟ z̄ ɟ 0 = {(0 ɟ z̄) ɟ 0}{0 ɟ (z̄ ɟ 0)} = {z̄(1' ɟ z̄) ɟ 0}{0 ɟ (z̄ ɟ 1')z̄} = = (z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄)(1' ɟ z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄ ɟ 1'). Andrerseits ist nach dem Abacus, 10) und 24) des § 18, hier: 1' ɟ z̄ ɟ 0 = 1' ɟ z̄ ɟ 1' ɟ 0 = (z ; 1 + 1 ; z) ɟ 0 = z ; 1 + 1 ; z ɟ 0, also (z̄ ɟ 0)(1' ɟ z̄ ɟ 0) = (z̄ ɟ 0)(1 ; z ɟ 0), und ebenso zeigt man, dass: (0 ɟ z̄)(0 ɟ z̄ ɟ 1') = (0 ɟ z̄)(0 ɟ z ; 1), womit wir haben: 0 ɟ z̄ ɟ 0 = (z̄ ɟ 0)(0 ɟ z ; 1)(1 ; z ɟ 0)(0 ɟ z̄). Wegen 0 ɟ z ; 1 ⋹ z ; 1, etc. ist aber das Produkt der beiden ersten Faktoren rechts gleich 0, und ebenso das der beiden letzten, womit denn auch 0 ɟ z̄ ɟ 0 = 0 oder z ≠ 0 gewonnen ist, q. e. d.
Um umgekehrt 10) aus 8) abzuleiten, deduziren wird aus letzterm: 0' ; z ⋹ z̄ ɟ 0, z ; 0' ⋹ 0 ɟ z̄, somit: 0' ; z ; 0' ⋹ (z̄ ɟ 0) ; 0' = z̄ ɟ 0, desgleichen ⋹ 0' ; (0 ɟ z̄) = 0 ɟ z̄, also 0' ; z ; 0' ⋹ (z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄). Andrerseits haben wir nach der allgemein für 0 ɟ z̄ ɟ 0, welches hier = 0 ist, oben gegebnen Umformung: (z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄)(1' ɟ z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄ ɟ 1') ⋹ 0, oder (z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄) ⋹ 0' ; z ; 1 + 1 ; z ; 0'. Allgemein aber kann man umformen: 0' ; a ; 1 + 1 ; a ; 0' = 0' ; a ; (1' + 0') + (0' + 1') ; a ; 0' = = 0' ; a + 0' ; a ; 0' + a ; 0',
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§ 26. Zur Charakteristik des Einauges.
Anders die Formel der fünften Zeile. Dass diese (10) hiezu ausreicht,
hat mich zuerst in geometrischer Evidenz das Studium der sieben Formen
gelehrt, welche unter den sekundären Modulknüpfungen eines allgemeinen
Relativs a das Relativ 0' ; a ; 0' annehmen kann, und deren Vergleichung
mit den zugehörigen Werten des Relativs (ā ɟ 0)(0 ɟ ā).
Dieselbe muss also mit 8) äquivalent sein, was analytisch nachzuweisen
nicht ganz leicht erscheint und nunmehr geschehen soll.
Wir leiten zuerst 8) aus 10) ab.
Wegen z ; 1 + 1 ; z ⋹ 1' ɟ z̄ ɟ 1' haben wir nach dem ersten Inversions-
theoreme:
(z ; 1 + 1 ; z) ; 0' ⋹ 1' ɟ z̄, 0' ; (z ; 1 + 1 ; z) ⋹ z̄ ɟ 1',
z ; 1 + 1 ; z ; 0' ⋹ 1' ɟ z̄, 0' ; z ; 1 + 1 ; z ⋹ z̄ ɟ 1',
somit a fortiori: z ; 1 ⋹ 1' ɟ z̄, 1 ; z ⋹ z̄ ɟ 1', oder z ; 1 · 0' ; z + z ; 0' · 1 ; z = 0,
womit ein Teil von 8) gewonnen ist und nur noch z ≠ 0 abzuleiten bleibt,
was aber schwieriger. [Da z ; 0' ⋹ z ; 1, so folgt nebenher auch sogleich
z ; 0' · 0' ; z = 0.]
Wegen a ɟ 0 = (a ɟ 1')a etc. — cf. 13) des § 15 — haben wir allgemein:
0 ɟ z̄ ɟ 0 = {(0 ɟ z̄) ɟ 0}{0 ɟ (z̄ ɟ 0)} = {z̄(1' ɟ z̄) ɟ 0}{0 ɟ (z̄ ɟ 1')z̄} =
= (z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄)(1' ɟ z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄ ɟ 1').
Andrerseits ist nach dem Abacus, 10) und 24) des § 18, hier:
1' ɟ z̄ ɟ 0 = 1' ɟ z̄ ɟ 1' ɟ 0 = (z ; 1 + 1 ; z) ɟ 0 = z ; 1 + 1 ; z ɟ 0,
also (z̄ ɟ 0)(1' ɟ z̄ ɟ 0) = (z̄ ɟ 0)(1 ; z ɟ 0), und ebenso zeigt man, dass:
(0 ɟ z̄)(0 ɟ z̄ ɟ 1') = (0 ɟ z̄)(0 ɟ z ; 1),
womit wir haben:
0 ɟ z̄ ɟ 0 = (z̄ ɟ 0)(0 ɟ z ; 1)(1 ; z ɟ 0)(0 ɟ z̄).
Wegen 0 ɟ z ; 1 ⋹ z ; 1, etc. ist aber das Produkt der beiden ersten Faktoren
rechts gleich 0, und ebenso das der beiden letzten, womit denn auch
0 ɟ z̄ ɟ 0 = 0 oder z ≠ 0
gewonnen ist, q. e. d.
Um umgekehrt 10) aus 8) abzuleiten, deduziren wird aus letzterm:
0' ; z ⋹ z̄ ɟ 0, z ; 0' ⋹ 0 ɟ z̄, somit: 0' ; z ; 0' ⋹ (z̄ ɟ 0) ; 0' = z̄ ɟ 0, desgleichen
⋹ 0' ; (0 ɟ z̄) = 0 ɟ z̄, also 0' ; z ; 0' ⋹ (z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄).
Andrerseits haben wir nach der allgemein für 0 ɟ z̄ ɟ 0, welches hier = 0
ist, oben gegebnen Umformung:
(z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄)(1' ɟ z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄ ɟ 1') ⋹ 0,
oder (z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄) ⋹ 0' ; z ; 1 + 1 ; z ; 0'.
Allgemein aber kann man umformen:
0' ; a ; 1 + 1 ; a ; 0' = 0' ; a ; (1' + 0') + (0' + 1') ; a ; 0' =
= 0' ; a + 0' ; a ; 0' + a ; 0',
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 431. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/445>, abgerufen am 18.05.2024.
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