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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Neunte Vorlesung.

sich schon darin, dass, wenn ein x der Forderung x a ; x genügt,
auch a0 ; x derselben leichterweislichermaassen genügen und zwar die
Subsumtion als Gleichung erfüllen muss, sodass
36) (x a ; x) (a0 ; x = a ; a0 ; x) = (x a ; a0 ; x).

Zum Schlusse noch ein Wort

Zu D 63. Dieser ohne Beweis gegebene "Satz" des Herrn Dedekind
enthält mehrere Behauptungen, bei deren einigen auch von "echten" Teilen
die Rede ist, und wir also zu deren Wiedergabe das Unterordnungs-
zeichen gebrauchen müssten. Man kann jedoch unbeschadet der Richtig-
keit das letztere auch durch ersetzen und sich begnügen die ent-
sprechenden Behauptungen blos für "Teile" schlechtweg zu beweisen, was
wir zunächst thun wollen. Dann gelten die ersten derselben nicht blos
für eindeutige Abbildungen und Systeme, sondern wiederum für beliebige
Relative.

Die erste Behauptung des Satzes (noch unmodifizirbedürftig) lautet:
(a ; c b c) (a ; b b)
37) oder (a ; c b)(b c) (a ; b b),
besagend, dass jeder Teil b einer Kette c (bezüglich a) welcher das a-Bild
derselben enthält, selbst Kette (bezüglich a) sein muss -- sintemal ja auch
a ; c c gilt, also c Kette sein wird.

Dies folgt mittelst a ; b a ; c (aus der zweiten Prämisse: b c) wegen
der ersten a ; c b a fortiori mit grösster Leichtigkeit.

Weniger naheliegend ist der Beweis der folgenden Behauptungen
Dedekind's.

Eine zweite besagt, dass unter den obigen Voraussetzungen:
38) a0 ; bnc c
sein müsse. [Genauer, falls sogar b c, dass a0 ; bnc c sei; das bnc ist
Dedekind's U.]

Wir bringen uns zum Bewusstsein, dass wir über folgende Propositionen
verfügen:
(a ; c c)(a ; c b)(b c)(a ; b b)(a0 ; b = b)(a0 ; c = c),
deren letzte beiden nach D 51 aus vorhergehenden fliessen. Nun ist:
a0 ; c = a0 ; (b + bn)c = a0 ; bc + a0 ; bnc, mithin
a0 ; bnc a0 ; c, welches = c,
und damit die zweite Behauptung erwiesen.

Eine dritte Behauptung ist blosse Wiederholung der zweiten. Wenn
nämlich hier zur Abkürzung
a0 ; bnc = d
genannt wird, so lautet sie: c = d + cdn (indem cdn zusammenfällt mit Dede-
kind's V). Dies heisst aber einfacher: c = d + c und läuft auf d c
hinaus, was die zweite Behauptung ausmachte.

Neunte Vorlesung.

sich schon darin, dass, wenn ein x der Forderung x ⋹ a ; x genügt,
auch a0 ; x derselben leichterweislichermaassen genügen und zwar die
Subsumtion als Gleichung erfüllen muss, sodass
36) (x ⋹ a ; x) ⋹ (a0 ; x = a ; a0 ; x) = (x ⋹ a ; a0 ; x).

Zum Schlusse noch ein Wort

Zu D 63. Dieser ohne Beweis gegebene „Satz“ des Herrn Dedekind
enthält mehrere Behauptungen, bei deren einigen auch von „echten“ Teilen
die Rede ist, und wir also zu deren Wiedergabe das Unterordnungs-
zeichen ⊂ gebrauchen müssten. Man kann jedoch unbeschadet der Richtig-
keit das letztere auch durch ⋹ ersetzen und sich begnügen die ent-
sprechenden Behauptungen blos für „Teile“ schlechtweg zu beweisen, was
wir zunächst thun wollen. Dann gelten die ersten derselben nicht blos
für eindeutige Abbildungen und Systeme, sondern wiederum für beliebige
Relative.

Die erste Behauptung des Satzes (noch unmodifizirbedürftig) lautet:
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37) oder (a ; c ⋹ b)(b ⋹ c) ⋹ (a ; b ⋹ b),
besagend, dass jeder Teil b einer Kette c (bezüglich a) welcher das a-Bild
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Dies folgt mittelst a ; b ⋹ a ; c (aus der zweiten Prämisse: b ⋹ c) wegen
der ersten a ; c ⋹ b a fortiori mit grösster Leichtigkeit.

Weniger naheliegend ist der Beweis der folgenden Behauptungen
Dedekind’s.

Eine zweite besagt, dass unter den obigen Voraussetzungen:
38) a0 ; b̄c ⋹ c
sein müsse. [Genauer, falls sogar b ⊂ c, dass a0 ; b̄c ⊂ c sei; das b̄c ist
Dedekind’s U.]

Wir bringen uns zum Bewusstsein, dass wir über folgende Propositionen
verfügen:
(a ; c ⋹ c)(a ; c ⋹ b)(b ⋹ c)(a ; b ⋹ b)(a0 ; b = b)(a0 ; c = c),
deren letzte beiden nach D 51 aus vorhergehenden fliessen. Nun ist:
a0 ; c = a0 ; (b + b̄)c = a0 ; bc + a0 ; b̄c, mithin
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und damit die zweite Behauptung erwiesen.

Eine dritte Behauptung ist blosse Wiederholung der zweiten. Wenn
nämlich hier zur Abkürzung
a0 ; b̄c = d
genannt wird, so lautet sie: c = d + cd̄ (indem cd̄ zusammenfällt mit Dede-
kind’s V). Dies heisst aber einfacher: c = d + c und läuft auf d ⋹ c
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[402/0416] Neunte Vorlesung. sich schon darin, dass, wenn ein x der Forderung x ⋹ a ; x genügt, auch a0 ; x derselben leichterweislichermaassen genügen und zwar die Subsumtion als Gleichung erfüllen muss, sodass 36) (x ⋹ a ; x) ⋹ (a0 ; x = a ; a0 ; x) = (x ⋹ a ; a0 ; x). Zum Schlusse noch ein Wort Zu D 63. Dieser ohne Beweis gegebene „Satz“ des Herrn Dedekind enthält mehrere Behauptungen, bei deren einigen auch von „echten“ Teilen die Rede ist, und wir also zu deren Wiedergabe das Unterordnungs- zeichen ⊂ gebrauchen müssten. Man kann jedoch unbeschadet der Richtig- keit das letztere auch durch ⋹ ersetzen und sich begnügen die ent- sprechenden Behauptungen blos für „Teile“ schlechtweg zu beweisen, was wir zunächst thun wollen. Dann gelten die ersten derselben nicht blos für eindeutige Abbildungen und Systeme, sondern wiederum für beliebige Relative. Die erste Behauptung des Satzes (noch unmodifizirbedürftig) lautet: (a ; c ⋹ b ⋹ c) ⋹ (a ; b ⋹ b) 37) oder (a ; c ⋹ b)(b ⋹ c) ⋹ (a ; b ⋹ b), besagend, dass jeder Teil b einer Kette c (bezüglich a) welcher das a-Bild derselben enthält, selbst Kette (bezüglich a) sein muss — sintemal ja auch a ; c ⋹ c gilt, also c Kette sein wird. Dies folgt mittelst a ; b ⋹ a ; c (aus der zweiten Prämisse: b ⋹ c) wegen der ersten a ; c ⋹ b a fortiori mit grösster Leichtigkeit. Weniger naheliegend ist der Beweis der folgenden Behauptungen Dedekind’s. Eine zweite besagt, dass unter den obigen Voraussetzungen: 38) a0 ; b̄c ⋹ c sein müsse. [Genauer, falls sogar b ⊂ c, dass a0 ; b̄c ⊂ c sei; das b̄c ist Dedekind’s U.] Wir bringen uns zum Bewusstsein, dass wir über folgende Propositionen verfügen: (a ; c ⋹ c)(a ; c ⋹ b)(b ⋹ c)(a ; b ⋹ b)(a0 ; b = b)(a0 ; c = c), deren letzte beiden nach D 51 aus vorhergehenden fliessen. Nun ist: a0 ; c = a0 ; (b + b̄)c = a0 ; bc + a0 ; b̄c, mithin a0 ; b̄c ⋹ a0 ; c, welches = c, und damit die zweite Behauptung erwiesen. Eine dritte Behauptung ist blosse Wiederholung der zweiten. Wenn nämlich hier zur Abkürzung a0 ; b̄c = d genannt wird, so lautet sie: c = d + cd̄ (indem cd̄ zusammenfällt mit Dede- kind’s V). Dies heisst aber einfacher: c = d + c und läuft auf d ⋹ c hinaus, was die zweite Behauptung ausmachte.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 402. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/416>, abgerufen am 18.05.2024.

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