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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
-- welch letztres Ergebniss leicht aus 32) zu folgern ist, indem die [Formel 1] ,
erstreckt über alle Wurzeln x der vierten Subsumtion 33), gleich
[Formel 2] und die mit der "absoluten Erstreckung" (über den ganzen Denkbereich 12)
versehen zu denkende [Formel 3] gleich 1 sein wird. Der andre Ausdruck fliesst
ähnlich aus der letzten Lösungsform von 32).

Jedenfalls lassen unsre Nebenstudien doch schon erkennen, wie
auch komplizirtere und mehrere Parameter aufweisende Probleme unsrer
Disziplin allmälig in stufenweisem Fortschritte zu eleganter Lösung
gebracht werden können.

Wie schon aus dem Anblick der Gespanne 5) bis 5''') des § 22 er-
hellt, müssen zu den aufgestellten Sätzen nicht nur die dual und konjugirt
verwandten gelten, welche uns die Lösungen der zum Gespann des Ketten-
problemes gehörigen verwandten Probleme mit darstellen, sondern es muss
auch für das Kettenproblem selbst gestattet sein, indem man nur a durch
an ersetzt, die zu den gegebnen dual entsprechenden Formeln aufzustellen --
eine Bemerkung, durch welche die Fülle der bisherigen Ergebnisse noch-
mals verdoppelt wird. Ob diese Bemerkung schon weit genug in ihre
Konsequenzen verfolgt, der Umstand genügend ausgebeutet wurde, muss
ich noch dahingestellt sein lassen.

Wenn nun die an die Probleme 29) sich knüpfenden Unter-
suchungen als so belangreiche sich erwiesen haben, so drängt sich die
Vermutung auf, es möchte Ähnliches auch zutreffen hinsichtlich der
Probleme, welche durch die rückwärtigen Subsumtionen zu denen 33)
statuirt werden:
35)

x + b a ; x, [Formel 4] xa ; x · b
oder (x a ; x)(b a ; x)oder (x a ; x)(x b),
die ebenfalls nur drei Probleme repräsentiren und als nächstliegende
Verallgemeinerungen des "rückwärtigen Kettenproblems" x a ; x er-
scheinen. Das erste von diesen 35) involvirt hier eine Resultante
b a ; 1, die übrigen, weil x = 0 genügt, wiederum keine.

Bei Festhaltung derselben Reihenfolge wie in 33) würden es die beiden
äussersten Subsumtionen gewesen sein, die rückwärtig in ein Problem zu-
sammenfallen, die beiden mittleren, welche, diesmal grundverschiedene Pro-
bleme darstellend, zerfallen. Wir haben darum in 35) die Reihenfolge
umgestülpt.

Welche Werte haben nun die Px und Sx erstreckt über alle Wurzeln
einer dieser Subsumtionen?

Ich habe diese Probleme noch nicht allzuweit verfolgt und em-
pfehle sie Forschern zur Bethätigung.

Dass sie mit dem Kettenprobleme zusammenhängen werden, zeigt

Schröder, Algebra der Relative. 26

§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
— welch letztres Ergebniss leicht aus 32) zu folgern ist, indem die [Formel 1] ,
erstreckt über alle Wurzeln x der vierten Subsumtion 33), gleich
[Formel 2] und die mit der „absoluten Erstreckung“ (über den ganzen Denkbereich 12)
versehen zu denkende [Formel 3] gleich 1 sein wird. Der andre Ausdruck fliesst
ähnlich aus der letzten Lösungsform von 32).

Jedenfalls lassen unsre Nebenstudien doch schon erkennen, wie
auch komplizirtere und mehrere Parameter aufweisende Probleme unsrer
Disziplin allmälig in stufenweisem Fortschritte zu eleganter Lösung
gebracht werden können.

Wie schon aus dem Anblick der Gespanne 5) bis 5''') des § 22 er-
hellt, müssen zu den aufgestellten Sätzen nicht nur die dual und konjugirt
verwandten gelten, welche uns die Lösungen der zum Gespann des Ketten-
problemes gehörigen verwandten Probleme mit darstellen, sondern es muss
auch für das Kettenproblem selbst gestattet sein, indem man nur a durch
ā̆ ersetzt, die zu den gegebnen dual entsprechenden Formeln aufzustellen —
eine Bemerkung, durch welche die Fülle der bisherigen Ergebnisse noch-
mals verdoppelt wird. Ob diese Bemerkung schon weit genug in ihre
Konsequenzen verfolgt, der Umstand genügend ausgebeutet wurde, muss
ich noch dahingestellt sein lassen.

Wenn nun die an die Probleme 29) sich knüpfenden Unter-
suchungen als so belangreiche sich erwiesen haben, so drängt sich die
Vermutung auf, es möchte Ähnliches auch zutreffen hinsichtlich der
Probleme, welche durch die rückwärtigen Subsumtionen zu denen 33)
statuirt werden:
35)

x + b ⋹ a ; x, [Formel 4] x⋹a ; x · b
oder (x ⋹ a ; x)(b ⋹ a ; x)oder (x ⋹ a ; x)(x ⋹ b),
die ebenfalls nur drei Probleme repräsentiren und als nächstliegende
Verallgemeinerungen des „rückwärtigen Kettenproblems“ x ⋹ a ; x er-
scheinen. Das erste von diesen 35) involvirt hier eine Resultante
b ⋹ a ; 1, die übrigen, weil x = 0 genügt, wiederum keine.

Bei Festhaltung derselben Reihenfolge wie in 33) würden es die beiden
äussersten Subsumtionen gewesen sein, die rückwärtig in ein Problem zu-
sammenfallen, die beiden mittleren, welche, diesmal grundverschiedene Pro-
bleme darstellend, zerfallen. Wir haben darum in 35) die Reihenfolge
umgestülpt.

Welche Werte haben nun die Πx und Σx erstreckt über alle Wurzeln
einer dieser Subsumtionen?

Ich habe diese Probleme noch nicht allzuweit verfolgt und em-
pfehle sie Forschern zur Bethätigung.

Dass sie mit dem Kettenprobleme zusammenhängen werden, zeigt

Schröder, Algebra der Relative. 26
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[401/0415] § 24. Nebenstudien zur Kettentheorie. — welch letztres Ergebniss leicht aus 32) zu folgern ist, indem die [FORMEL], erstreckt über alle Wurzeln x der vierten Subsumtion 33), gleich [FORMEL] und die mit der „absoluten Erstreckung“ (über den ganzen Denkbereich 12) versehen zu denkende [FORMEL] gleich 1 sein wird. Der andre Ausdruck fliesst ähnlich aus der letzten Lösungsform von 32). Jedenfalls lassen unsre Nebenstudien doch schon erkennen, wie auch komplizirtere und mehrere Parameter aufweisende Probleme unsrer Disziplin allmälig in stufenweisem Fortschritte zu eleganter Lösung gebracht werden können. Wie schon aus dem Anblick der Gespanne 5) bis 5''') des § 22 er- hellt, müssen zu den aufgestellten Sätzen nicht nur die dual und konjugirt verwandten gelten, welche uns die Lösungen der zum Gespann des Ketten- problemes gehörigen verwandten Probleme mit darstellen, sondern es muss auch für das Kettenproblem selbst gestattet sein, indem man nur a durch ā̆ ersetzt, die zu den gegebnen dual entsprechenden Formeln aufzustellen — eine Bemerkung, durch welche die Fülle der bisherigen Ergebnisse noch- mals verdoppelt wird. Ob diese Bemerkung schon weit genug in ihre Konsequenzen verfolgt, der Umstand genügend ausgebeutet wurde, muss ich noch dahingestellt sein lassen. Wenn nun die an die Probleme 29) sich knüpfenden Unter- suchungen als so belangreiche sich erwiesen haben, so drängt sich die Vermutung auf, es möchte Ähnliches auch zutreffen hinsichtlich der Probleme, welche durch die rückwärtigen Subsumtionen zu denen 33) statuirt werden: 35) x + b ⋹ a ; x, [FORMEL] x⋹a ; x · b oder (x ⋹ a ; x)(b ⋹ a ; x) oder (x ⋹ a ; x)(x ⋹ b), die ebenfalls nur drei Probleme repräsentiren und als nächstliegende Verallgemeinerungen des „rückwärtigen Kettenproblems“ x ⋹ a ; x er- scheinen. Das erste von diesen 35) involvirt hier eine Resultante b ⋹ a ; 1, die übrigen, weil x = 0 genügt, wiederum keine. Bei Festhaltung derselben Reihenfolge wie in 33) würden es die beiden äussersten Subsumtionen gewesen sein, die rückwärtig in ein Problem zu- sammenfallen, die beiden mittleren, welche, diesmal grundverschiedene Pro- bleme darstellend, zerfallen. Wir haben darum in 35) die Reihenfolge umgestülpt. Welche Werte haben nun die Πx und Σx erstreckt über alle Wurzeln einer dieser Subsumtionen? Ich habe diese Probleme noch nicht allzuweit verfolgt und em- pfehle sie Forschern zur Bethätigung. Dass sie mit dem Kettenprobleme zusammenhängen werden, zeigt Schröder, Algebra der Relative. 26

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 401. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/415>, abgerufen am 18.05.2024.