[Eine vierte Behauptung sagt, es sei b = a ; d + cdn und eine fünfte (die letzte) fügt hinzu, dass, falls obendrein b = a ; c ist, auch sein müsse cdna ; cdn.
Diese beiden Behauptungen gelten jedenfalls nicht mit der gleichen Allgemeinheit wie die übrigen schon für beliebige binäre Relative. Sie wären vom "zweiten Teile" der Dedekind'schen Schrift -- nach meiner Abgrenzung desselben -- eigentlich auszuschliessen gewesen. Und es ist hier nicht der Ort, ihre Geltung für eindeutige Abbildungen a und Systeme b, c zu prüfen.] --
Zu allerletzt -- die Wissenschaft ist ja unendlich! -- noch etwas Neues:
Für die Ketten gelten auch die Sätze: 39)
[Formel 1]
welche äusserst leicht aus ihrem Bildungsgesetze zu beweisen sind -- vergl. 6) des § 22 S. 325. Ist a 1', so auch a ; a 1' ; 1' = 1', etc. Dazu: 40)
[Formel 2]
Die Kette von a ist mithin einerlei mit der Kette von 0'a, d. i. des Alioteils von a.
Beweis auf verschiedne Arten möglich; am einfachsten aufgrund von 15) S. 365 mit a0 = (1' + a)infinity = (1' + 0'a)infinity = (0'a)0.
Mit den gelösten Auflösungsproblemen haben natürlich -- im Ein- klang mit S. 174 sq. -- auch einige Eliminationsprobleme ihre Lösung gefunden. Namentlich muss in den folgenden Aussagensubsumtionen: 41) (x00 = a) (a ; aa) = (a00 = a), 42) (x0 = a) (a0 = a), (a = 1' + y)(y ; yy) (a0 = a) die rechte Seite uns die volle Resultante der Elimination von x resp. y aus der linken vorstellen.
Beweis auch direkt leicht zu führen:
Da nach 5) S. 361: x00 ; x00x00, so folgt durch Einsetzung aus der Prämisse von 41) zunächst die Behauptung a ; aa als "eine" Resultante. Diese ist nach D 51 äquivalent mit der a0 ; a = a, d. h. mit der letzten Gleichung in 41), und letztre lässt erkennen, dass, wenn sie erfüllt, auch x = a eine Wurzel der Gleichung x00 = a sein wird, dass unsre Resultante mithin die volle gewesen.
Hienach deckt sich überhaupt der Begriff einer Bildkette mit dem eines transitiven Relativs.
26*
§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
[Eine vierte Behauptung sagt, es sei b = a ; d + cd̄ und eine fünfte (die letzte) fügt hinzu, dass, falls obendrein b = a ; c ist, auch sein müsse cd̄⋹a ; cd̄.
Diese beiden Behauptungen gelten jedenfalls nicht mit der gleichen Allgemeinheit wie die übrigen schon für beliebige binäre Relative. Sie wären vom „zweiten Teile“ der Dedekind’schen Schrift — nach meiner Abgrenzung desselben — eigentlich auszuschliessen gewesen. Und es ist hier nicht der Ort, ihre Geltung für eindeutige Abbildungen a und Systeme b, c zu prüfen.] —
Zu allerletzt — die Wissenschaft ist ja unendlich! — noch etwas Neues:
Für die Ketten gelten auch die Sätze: 39)
[Formel 1]
welche äusserst leicht aus ihrem Bildungsgesetze zu beweisen sind — vergl. 6) des § 22 S. 325. Ist a ⋹ 1', so auch a ; a ⋹ 1' ; 1' = 1', etc. Dazu: 40)
[Formel 2]
Die Kette von a ist mithin einerlei mit der Kette von 0'a, d. i. des Alioteils von a.
Beweis auf verschiedne Arten möglich; am einfachsten aufgrund von 15) S. 365 mit a0 = (1' + a)∞ = (1' + 0'a)∞ = (0'a)0.
Mit den gelösten Auflösungsproblemen haben natürlich — im Ein- klang mit S. 174 sq. — auch einige Eliminationsprobleme ihre Lösung gefunden. Namentlich muss in den folgenden Aussagensubsumtionen: 41) (x00 = a) ⋹ (a ; a ⋹ a) = (a00 = a), 42) (x0 = a) ⋹ (a0 = a), (a = 1' + y)(y ; y ⋹ y) ⋹ (a0 = a) die rechte Seite uns die volle Resultante der Elimination von x resp. y aus der linken vorstellen.
Beweis auch direkt leicht zu führen:
Da nach 5) S. 361: x00 ; x00 ⋹ x00, so folgt durch Einsetzung aus der Prämisse von 41) zunächst die Behauptung a ; a ⋹ a als „eine“ Resultante. Diese ist nach D 51 äquivalent mit der a0 ; a = a, d. h. mit der letzten Gleichung in 41), und letztre lässt erkennen, dass, wenn sie erfüllt, auch x = a eine Wurzel der Gleichung x00 = a sein wird, dass unsre Resultante mithin die volle gewesen.
Hienach deckt sich überhaupt der Begriff einer Bildkette mit dem eines transitiven Relativs.
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§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
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auch sein müsse
cd̄⋹a ; cd̄.
Diese beiden Behauptungen gelten jedenfalls nicht mit der gleichen
Allgemeinheit wie die übrigen schon für beliebige binäre Relative. Sie
wären vom „zweiten Teile“ der Dedekind’schen Schrift — nach meiner
Abgrenzung desselben — eigentlich auszuschliessen gewesen. Und es ist
hier nicht der Ort, ihre Geltung für eindeutige Abbildungen a und Systeme
b, c zu prüfen.] —
Zu allerletzt — die Wissenschaft ist ja unendlich! — noch etwas
Neues:
Für die Ketten gelten auch die Sätze:
39) [FORMEL]
welche äusserst leicht aus ihrem Bildungsgesetze zu beweisen sind —
vergl. 6) des § 22 S. 325. Ist a ⋹ 1', so auch a ; a ⋹ 1' ; 1' = 1', etc. Dazu:
40) [FORMEL]
Die Kette von a ist mithin einerlei mit der Kette von 0'a, d. i. des
Alioteils von a.
Beweis auf verschiedne Arten möglich; am einfachsten aufgrund
von 15) S. 365 mit
a0 = (1' + a)∞ = (1' + 0'a)∞ = (0'a)0.
Mit den gelösten Auflösungsproblemen haben natürlich — im Ein-
klang mit S. 174 sq. — auch einige Eliminationsprobleme ihre Lösung
gefunden. Namentlich muss in den folgenden Aussagensubsumtionen:
41) (x00 = a) ⋹ (a ; a ⋹ a) = (a00 = a),
42) (x0 = a) ⋹ (a0 = a), (a = 1' + y)(y ; y ⋹ y) ⋹ (a0 = a)
die rechte Seite uns die volle Resultante der Elimination von x resp. y
aus der linken vorstellen.
Beweis auch direkt leicht zu führen:
Da nach 5) S. 361: x00 ; x00 ⋹ x00, so folgt durch Einsetzung aus der
Prämisse von 41) zunächst die Behauptung a ; a ⋹ a als „eine“ Resultante.
Diese ist nach D 51 äquivalent mit der a0 ; a = a, d. h. mit der letzten
Gleichung in 41), und letztre lässt erkennen, dass, wenn sie erfüllt, auch
x = a eine Wurzel der Gleichung x00 = a sein wird, dass unsre Resultante
mithin die volle gewesen.
Hienach deckt sich überhaupt der Begriff einer Bildkette mit dem
eines transitiven Relativs.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 403. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/417>, abgerufen am 23.11.2024.
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