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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Neunte Vorlesung.
und definiren die Iterationen auch dieser Funktion in der üblichen Weise,
so ergibt sich für xr die folgende Darstellung:
x = xr = F0(b) + F1(b) + F2(b) + ... + Fr -- 1(b) + ur,
von der wir uns begnügen wollen nachzuweisen, dass sie mit der vorigen
zusammenfällt, indem sich die Summe rechterhand reduzirt nach dem Schema:
Fr -- 1(b) =, F0(b) + F1(b) + F2(b) + F3(b) + ... + Fr -- 1(b) = fr -- 1(b).

Letzteres ist in der That zunächst evident für r = 1 sowie 2 und kann
von da durch Schluss von r auf r + 1 bewiesen werden.

Zu dem Ende beachte man, dass laut vorstehender Definition von Fr(b)
allgemein sein muss:
Fr(b) = Fr -- 1(b) + Fr(b) = Fr -- 1(b) + Fr -- 1(b) · a ; Fr -- 1(b) =
= Fr -- 1(b) + a ; Fr -- 1(b),
weil nämlich der zuletzt unterdrückte Faktor gerade die Negation des
letzten Summanden im vorhergehenden Gliede und darum nach dem Satze
a + anb = a + b unterdrückbar war.

Wendet man diese Rekursion auch auf die vorhergehenden Werte
r -- 1, r -- 2, ... 2, 1 von r an und setzt rechterhand rückwärts ein, so
ergibt sich leicht, weil ja F0(b) = F0(b) = b ist:
Fr(b) = F0(b) + a ; {F0(b) + F1(b) + ... + Fr -- 1(b)} = b + a ; Fr -- 1(b).

Wenn nun oben die zu beweisende Reduktionsformel für ein be-
stimmtes r gültig ist, so wird aus ihr folgen, dass:
Fr(b) = b + a ; fr -- 1(b) = fr(b)
sein, d. h. dass sie auch für r + 1 gelten muss -- womit sie denn in der
That durch den Schluss der vollständigen Induktion bewiesen erscheint.


Unser Ergebniss war, dass
21a) x = a0 ; b + v
sein muss, wobei wegen b a0 ; b nunmehr a fortiori auch b x sein
wird, mithin die zweite Subsumtion 15) erfüllt ist, aber die erste a ; x x
noch zu erfüllen bleibt.

Diese zerfällt in a ; a0 ; b = a00 ; b a0 ; b + v, was wegen a00 a0
schon bei v = 0 mithin umsomehr bei beliebigem v identisch erfüllt ist,
und in:
21b) a ; v a0 ; b + v,
welcher Bedingung wir noch fernerhin durch geeignete Bestimmung von v
zu genügen haben werden.

Noch bevor letzteres ausgeführt ist, können wir aber wiederum, auch
von dem hier gewonnenen Standpunkte, den Dedekind'schen Ausdruck
D 44 für die a-Kette von b (für den rückwärtigen Gang der Untersuchung
im § 23) beweisen wie folgt.


Neunte Vorlesung.
und definiren die Iterationen auch dieser Funktion in der üblichen Weise,
so ergibt sich für xr die folgende Darstellung:
x = xr = F0(b) + F1(b) + F2(b) + … + Fr — 1(b) + ur,
von der wir uns begnügen wollen nachzuweisen, dass sie mit der vorigen
zusammenfällt, indem sich die Summe rechterhand reduzirt nach dem Schema:
Fr — 1(b) =, F0(b) + F1(b) + F2(b) + F3(b) + … + Fr — 1(b) = fr — 1(b).

Letzteres ist in der That zunächst evident für r = 1 sowie 2 und kann
von da durch Schluss von r auf r + 1 bewiesen werden.

Zu dem Ende beachte man, dass laut vorstehender Definition von Fr(b)
allgemein sein muss:
Fr(b) = Fr — 1(b) + Fr(b) = Fr — 1(b) + Fr — 1(b)͞ · a ; Fr — 1(b) =
= Fr — 1(b) + a ; Fr — 1(b),
weil nämlich der zuletzt unterdrückte Faktor gerade die Negation des
letzten Summanden im vorhergehenden Gliede und darum nach dem Satze
a + āb = a + b unterdrückbar war.

Wendet man diese Rekursion auch auf die vorhergehenden Werte
r — 1, r — 2, … 2, 1 von r an und setzt rechterhand rückwärts ein, so
ergibt sich leicht, weil ja F0(b) = F0(b) = b ist:
Fr(b) = F0(b) + a ; {F0(b) + F1(b) + … + Fr — 1(b)} = b + a ; Fr — 1(b).

Wenn nun oben die zu beweisende Reduktionsformel für ein be-
stimmtes r gültig ist, so wird aus ihr folgen, dass:
Fr(b) = b + a ; fr — 1(b) = fr(b)
sein, d. h. dass sie auch für r + 1 gelten muss — womit sie denn in der
That durch den Schluss der vollständigen Induktion bewiesen erscheint.


Unser Ergebniss war, dass
21a) x = a0 ; b + v
sein muss, wobei wegen b ⋹ a0 ; b nunmehr a fortiori auch b ⋹ x sein
wird, mithin die zweite Subsumtion 15) erfüllt ist, aber die erste a ; x ⋹ x
noch zu erfüllen bleibt.

Diese zerfällt in a ; a0 ; b = a00 ; b ⋹ a0 ; b + v, was wegen a00 ⋹ a0
schon bei v = 0 mithin umsomehr bei beliebigem v identisch erfüllt ist,
und in:
21b) a ; v ⋹ a0 ; b + v,
welcher Bedingung wir noch fernerhin durch geeignete Bestimmung von v
zu genügen haben werden.

Noch bevor letzteres ausgeführt ist, können wir aber wiederum, auch
von dem hier gewonnenen Standpunkte, den Dedekind’schen Ausdruck
D 44 für die a-Kette von b (für den rückwärtigen Gang der Untersuchung
im § 23) beweisen wie folgt.


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[396/0410] Neunte Vorlesung. und definiren die Iterationen auch dieser Funktion in der üblichen Weise, so ergibt sich für xr die folgende Darstellung: x = xr = F0(b) + F1(b) + F2(b) + … + Fr — 1(b) + ur, von der wir uns begnügen wollen nachzuweisen, dass sie mit der vorigen zusammenfällt, indem sich die Summe rechterhand reduzirt nach dem Schema: Fr — 1(b) =, F0(b) + F1(b) + F2(b) + F3(b) + … + Fr — 1(b) = fr — 1(b). Letzteres ist in der That zunächst evident für r = 1 sowie 2 und kann von da durch Schluss von r auf r + 1 bewiesen werden. Zu dem Ende beachte man, dass laut vorstehender Definition von Fr(b) allgemein sein muss: Fr(b) = Fr — 1(b) + Fr(b) = Fr — 1(b) + Fr — 1(b)͞ · a ; Fr — 1(b) = = Fr — 1(b) + a ; Fr — 1(b), weil nämlich der zuletzt unterdrückte Faktor gerade die Negation des letzten Summanden im vorhergehenden Gliede und darum nach dem Satze a + āb = a + b unterdrückbar war. Wendet man diese Rekursion auch auf die vorhergehenden Werte r — 1, r — 2, … 2, 1 von r an und setzt rechterhand rückwärts ein, so ergibt sich leicht, weil ja F0(b) = F0(b) = b ist: Fr(b) = F0(b) + a ; {F0(b) + F1(b) + … + Fr — 1(b)} = b + a ; Fr — 1(b). Wenn nun oben die zu beweisende Reduktionsformel für ein be- stimmtes r gültig ist, so wird aus ihr folgen, dass: Fr(b) = b + a ; fr — 1(b) = fr(b) sein, d. h. dass sie auch für r + 1 gelten muss — womit sie denn in der That durch den Schluss der vollständigen Induktion bewiesen erscheint. Unser Ergebniss war, dass 21a) x = a0 ; b + v sein muss, wobei wegen b ⋹ a0 ; b nunmehr a fortiori auch b ⋹ x sein wird, mithin die zweite Subsumtion 15) erfüllt ist, aber die erste a ; x ⋹ x noch zu erfüllen bleibt. Diese zerfällt in a ; a0 ; b = a00 ; b ⋹ a0 ; b + v, was wegen a00 ⋹ a0 schon bei v = 0 mithin umsomehr bei beliebigem v identisch erfüllt ist, und in: 21b) a ; v ⋹ a0 ; b + v, welcher Bedingung wir noch fernerhin durch geeignete Bestimmung von v zu genügen haben werden. Noch bevor letzteres ausgeführt ist, können wir aber wiederum, auch von dem hier gewonnenen Standpunkte, den Dedekind’schen Ausdruck D 44 für die a-Kette von b (für den rückwärtigen Gang der Untersuchung im § 23) beweisen wie folgt.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 396. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/410>, abgerufen am 18.05.2024.