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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.

Es ist mit dem Vorstehenden erwiesen, dass
21) [Formel 1] .

Darnach muss also sein:
[Formel 2] ,
sintemal zu den Relativen, welche die Erstreckungsbedingung von v er-
füllen, augenscheinlich auch der Wert 0 gehört, wonach also das Pv = 0
sein muss, q. e. d. --

Inzwischen sind wir aber mit unsrer zweiten Lösungsart der Auf-
gabe 3 noch nicht zu Ende gekommen. Dieselbe ist vielmehr erst blos
zurückgeführt auf die Auflösung einer Hülfsaufgabe, nämlich der nach der
Unbekannten v der Subsumtion 21b). Statt dieser nehmen wir lieber so-
gleich vor die allgemeinere

Aufgabe 4. Nach x die Subsumtion aufzulösen:
22) a ; x b + x.

Da x = 0 der Forderung genügt, so haben wir keine Resultante.

Weil sich in äquivalenter Transformation von 22) sowol als Prädikat
wie als Subjekt x isoliren lässt zu:
23a) bn · a ; x x, x an j (b + x),
so verfügen wir nach meinem Theorem 1) des § 13 sofort über die zwei
Lösungsformen:
23) [Formel 3] ,
mithin für ph(u) = bn · a ; u, ps(u) = an j (b + u) auch
x = finfinity(u) = u + ph(u) + ph2(u) + ... resp. ups(u)ps2(u) ...
sein wird.

Das Bildungsgesetz der iterirten Funktionen ph und ps ist dabei ein
leidlich durchsichtiges; auch zeigt man leicht, dass phr inbezug auf Summen,
psr inbezug auf Produkte distributiv ist, nämlich:
phr(u + v) = phr(u) + phr(v), psr(uv) = psr(u)psr(v)
allgemein sein muss. Darnach wird dann z. B.:
ph(x) = ph{u + ph(u) + ph2(u) + ...} = ph(u) + ph2(u) + ph3(u) + ...
u + ph(u) + ph2(u) + ph3(u) + ... = x
und stimmt die Probe 1 sofort. Etc.

Invariant sind die beiden Funktionen f im allgemeinen nicht, indem
weder
a ; u + a ; bn(a ; u) b + u + bn · a ; u noch a ; u{an j (b + u)} b + u{an j (b + u)},
24) d. h. a ; bn(a ; u) b + u + a ; u resp. " " " b + an j (b + u)

§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.

Es ist mit dem Vorstehenden erwiesen, dass
21) [Formel 1] .

Darnach muss also sein:
[Formel 2] ,
sintemal zu den Relativen, welche die Erstreckungsbedingung von v er-
füllen, augenscheinlich auch der Wert 0 gehört, wonach also das Πv = 0
sein muss, q. e. d. —

Inzwischen sind wir aber mit unsrer zweiten Lösungsart der Auf-
gabe 3 noch nicht zu Ende gekommen. Dieselbe ist vielmehr erst blos
zurückgeführt auf die Auflösung einer Hülfsaufgabe, nämlich der nach der
Unbekannten v der Subsumtion 21b). Statt dieser nehmen wir lieber so-
gleich vor die allgemeinere

Aufgabe 4. Nach x die Subsumtion aufzulösen:
22) a ; x ⋹ b + x.

Da x = 0 der Forderung genügt, so haben wir keine Resultante.

Weil sich in äquivalenter Transformation von 22) sowol als Prädikat
wie als Subjekt x isoliren lässt zu:
23a) b̄ · a ; x ⋹ x, x ⋹ ā̆ ɟ (b + x),
so verfügen wir nach meinem Theorem 1) des § 13 sofort über die zwei
Lösungsformen:
23) [Formel 3] ,
mithin für φ(u) = b̄ · a ; u, ψ(u) = ā̆ ɟ (b + u) auch
x = f∞(u) = u + φ(u) + φ2(u) + … resp. uψ(u)ψ2(u) …
sein wird.

Das Bildungsgesetz der iterirten Funktionen φ und ψ ist dabei ein
leidlich durchsichtiges; auch zeigt man leicht, dass φr inbezug auf Summen,
ψr inbezug auf Produkte distributiv ist, nämlich:
φr(u + v) = φr(u) + φr(v), ψr(uv) = ψr(u)ψr(v)
allgemein sein muss. Darnach wird dann z. B.:
φ(x) = φ{u + φ(u) + φ2(u) + …} = φ(u) + φ2(u) + φ3(u) + …
⋹ u + φ(u) + φ2(u) + φ3(u) + … = x
und stimmt die Probe 1 sofort. Etc.

Invariant sind die beiden Funktionen f im allgemeinen nicht, indem
weder
a ; u + a ; b̄(a ; u) ⋹ b + u + b̄ · a ; u noch a ; u{ā̆ ɟ (b + u)} ⋹ b + u{ā̆ ɟ (b + u)},
24) d. h. a ; b̄(a ; u) ⋹ b + u + a ; u resp. „ „ „ ⋹ b + ā̆ ɟ (b + u)

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[397/0411] § 24. Nebenstudien zur Kettentheorie. Es ist mit dem Vorstehenden erwiesen, dass 21) [FORMEL]. Darnach muss also sein: [FORMEL], sintemal zu den Relativen, welche die Erstreckungsbedingung von v er- füllen, augenscheinlich auch der Wert 0 gehört, wonach also das Πv = 0 sein muss, q. e. d. — Inzwischen sind wir aber mit unsrer zweiten Lösungsart der Auf- gabe 3 noch nicht zu Ende gekommen. Dieselbe ist vielmehr erst blos zurückgeführt auf die Auflösung einer Hülfsaufgabe, nämlich der nach der Unbekannten v der Subsumtion 21b). Statt dieser nehmen wir lieber so- gleich vor die allgemeinere Aufgabe 4. Nach x die Subsumtion aufzulösen: 22) a ; x ⋹ b + x. Da x = 0 der Forderung genügt, so haben wir keine Resultante. Weil sich in äquivalenter Transformation von 22) sowol als Prädikat wie als Subjekt x isoliren lässt zu: 23a) b̄ · a ; x ⋹ x, x ⋹ ā̆ ɟ (b + x), so verfügen wir nach meinem Theorem 1) des § 13 sofort über die zwei Lösungsformen: 23) [FORMEL], mithin für φ(u) = b̄ · a ; u, ψ(u) = ā̆ ɟ (b + u) auch x = f∞(u) = u + φ(u) + φ2(u) + … resp. uψ(u)ψ2(u) … sein wird. Das Bildungsgesetz der iterirten Funktionen φ und ψ ist dabei ein leidlich durchsichtiges; auch zeigt man leicht, dass φr inbezug auf Summen, ψr inbezug auf Produkte distributiv ist, nämlich: φr(u + v) = φr(u) + φr(v), ψr(uv) = ψr(u)ψr(v) allgemein sein muss. Darnach wird dann z. B.: φ(x) = φ{u + φ(u) + φ2(u) + …} = φ(u) + φ2(u) + φ3(u) + … ⋹ u + φ(u) + φ2(u) + φ3(u) + … = x und stimmt die Probe 1 sofort. Etc. Invariant sind die beiden Funktionen f im allgemeinen nicht, indem weder a ; u + a ; b̄(a ; u) ⋹ b + u + b̄ · a ; u noch a ; u{ā̆ ɟ (b + u)} ⋹ b + u{ā̆ ɟ (b + u)}, 24) d. h. a ; b̄(a ; u) ⋹ b + u + a ; u resp. „ „ „ ⋹ b + ā̆ ɟ (b + u)

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 397. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/411>, abgerufen am 23.11.2024.