wo ur noch weiterer Bestimmung harrt -- und dies war ja für r = 1 und 2 der Fall -- alsdann das Entsprechende auch für den nächst höheren Wert von r folgt.
Da nämlich wegen bfr -- 1(b) die Forderung bxr bereits erfüllt ist, so wird nur noch zu erfüllen sein: a ; xrxr, und dies zerfällt bei Einsetzung von xr in zwei Forderungen, deren erste lautet: a ; fr -- 1(b) fr -- 1(b) + ur oder fr -- 1(b) · a ; fr -- 1(b) ur.
Der aber ist vermittelst des Ansatzes: ur = fr -- 1(b) · a ; fr -- 1(b) + ur + 1 auf die allgemeinste Weise Genüge zu leisten und damit wird: x = fr -- 1(b) + a ; fr -- 1(b) + ur + 1, indem nach Th. 33+) Zusatz des Bd. 1 die Negation des ersten Gliedes als Faktor beim zweiten Gliede unterdrückt werden durfte.
Nach dem Obigen läuft dies nun hinaus auf: x = xr + 1 = fr(b) + ur + 1, q. e. d.
Die Formel 18) ist sonach für jede noch so grosse Zahl r als gültig erwiesen, und mögen wir in ihr r auch unendlich anwachsen lassen. Dann ist gefunden: 19) x = finfinity(b) + v, wo das Relativ v, mit dessen Namen wir den von uinfinity abkürzten, immer noch einer weitern Bestimmung harrt, die wir erst weiter unten statuiren und zu erfüllen suchen.
Es besitzen aber die Iterationen der Funktion f(y) einen äusserst über- sichtlichen Bau und ist sowol independent einleuchtend als rekurrirend leicht beweisbar, dass wir haben:
[Formel 1]
, insbesondre: f(b) = (1' + a) ; b, fr(b) = (1' + a)r ; b, und endlich 20) finfinity(b) = (1' + a)infinity ; b = a0 ; b.
Anmerkung. Hätte man sich enthalten, die Ausdrücke für die xr so wie es oben geschah jeweils durch Anwendung jenes Th. 33+) Zusatz: a + anb = a + b zu reduziren, so würde man zu einem sehr viel komplizir- teren Ausdruck für xr gelangt sein, von dem es aber bemerkt zu werden ver- dient, dass er sich eben zu dem obigen einfachern Ergebnisse 18) reduziren lässt. Darum sei auch ihm noch einige Beachtung geschenkt. Nennen wir: F(y) = yn · a ; y
§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
wo ur noch weiterer Bestimmung harrt — und dies war ja für r = 1 und 2 der Fall — alsdann das Entsprechende auch für den nächst höheren Wert von r folgt.
Da nämlich wegen b ⋹ fr — 1(b) die Forderung b ⋹ xr bereits erfüllt ist, so wird nur noch zu erfüllen sein: a ; xr ⋹ xr, und dies zerfällt bei Einsetzung von xr in zwei Forderungen, deren erste lautet: a ; fr — 1(b) ⋹ fr — 1(b) + ur oder fr — 1(b)͞ · a ; fr — 1(b) ⋹ ur.
Der aber ist vermittelst des Ansatzes: ur = fr — 1(b)͞ · a ; fr — 1(b) + ur + 1 auf die allgemeinste Weise Genüge zu leisten und damit wird: x = fr — 1(b) + a ; fr — 1(b) + ur + 1, indem nach Th. 33+) Zusatz des Bd. 1 die Negation des ersten Gliedes als Faktor beim zweiten Gliede unterdrückt werden durfte.
Nach dem Obigen läuft dies nun hinaus auf: x = xr + 1 = fr(b) + ur + 1, q. e. d.
Die Formel 18) ist sonach für jede noch so grosse Zahl r als gültig erwiesen, und mögen wir in ihr r auch unendlich anwachsen lassen. Dann ist gefunden: 19) x = f∞(b) + v, wo das Relativ v, mit dessen Namen wir den von u∞ abkürzten, immer noch einer weitern Bestimmung harrt, die wir erst weiter unten statuiren und zu erfüllen suchen.
Es besitzen aber die Iterationen der Funktion f(y) einen äusserst über- sichtlichen Bau und ist sowol independent einleuchtend als rekurrirend leicht beweisbar, dass wir haben:
[Formel 1]
, insbesondre: f(b) = (1' + a) ; b, fr(b) = (1' + a)r ; b, und endlich 20) f∞(b) = (1' + a)∞ ; b = a0 ; b.
Anmerkung. Hätte man sich enthalten, die Ausdrücke für die xr so wie es oben geschah jeweils durch Anwendung jenes Th. 33+) Zusatz: a + āb = a + b zu reduziren, so würde man zu einem sehr viel komplizir- teren Ausdruck für xr gelangt sein, von dem es aber bemerkt zu werden ver- dient, dass er sich eben zu dem obigen einfachern Ergebnisse 18) reduziren lässt. Darum sei auch ihm noch einige Beachtung geschenkt. Nennen wir: F(y) = ȳ · a ; y
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[395/0409]
§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
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von r folgt.
Da nämlich wegen b ⋹ fr — 1(b) die Forderung b ⋹ xr bereits erfüllt
ist, so wird nur noch zu erfüllen sein:
a ; xr ⋹ xr,
und dies zerfällt bei Einsetzung von xr in zwei Forderungen, deren erste
lautet:
a ; fr — 1(b) ⋹ fr — 1(b) + ur oder fr — 1(b)͞ · a ; fr — 1(b) ⋹ ur.
Der aber ist vermittelst des Ansatzes:
ur = fr — 1(b)͞ · a ; fr — 1(b) + ur + 1
auf die allgemeinste Weise Genüge zu leisten und damit wird:
x = fr — 1(b) + a ; fr — 1(b) + ur + 1,
indem nach Th. 33+) Zusatz des Bd. 1 die Negation des ersten Gliedes als
Faktor beim zweiten Gliede unterdrückt werden durfte.
Nach dem Obigen läuft dies nun hinaus auf:
x = xr + 1 = fr(b) + ur + 1,
q. e. d.
Die Formel 18) ist sonach für jede noch so grosse Zahl r als gültig
erwiesen, und mögen wir in ihr r auch unendlich anwachsen lassen. Dann
ist gefunden:
19) x = f∞(b) + v,
wo das Relativ v, mit dessen Namen wir den von u∞ abkürzten, immer
noch einer weitern Bestimmung harrt, die wir erst weiter unten statuiren
und zu erfüllen suchen.
Es besitzen aber die Iterationen der Funktion f(y) einen äusserst über-
sichtlichen Bau und ist sowol independent einleuchtend als rekurrirend
leicht beweisbar, dass wir haben:
[FORMEL],
insbesondre: f(b) = (1' + a) ; b, fr(b) = (1' + a)r ; b, und endlich
20) f∞(b) = (1' + a)∞ ; b = a0 ; b.
Anmerkung. Hätte man sich enthalten, die Ausdrücke für die xr
so wie es oben geschah jeweils durch Anwendung jenes Th. 33+) Zusatz:
a + āb = a + b zu reduziren, so würde man zu einem sehr viel komplizir-
teren Ausdruck für xr gelangt sein, von dem es aber bemerkt zu werden ver-
dient, dass er sich eben zu dem obigen einfachern Ergebnisse 18) reduziren
lässt. Darum sei auch ihm noch einige Beachtung geschenkt. Nennen wir:
F(y) = ȳ · a ; y
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 395. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/409>, abgerufen am 18.02.2025.
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