Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>
Neunte Vorlesung.

Zweites Lösungsverfahren. Anstatt der ersten kann man jedoch
auch der zweiten Subsumtion 4) zuerst zu genügen suchen.

Dies geschieht, indem man setzt:
x = x1, = b + u1,
unter u1 hier ad hoc nicht das u-Gekett, sondern blos ein unbestimmtes
Relativ verstanden.

Dann wird von u1 noch die erste Subsumtion zu erfüllen sein, näm-
lich die Forderung:
a ; b + a ; u1 b + u1.

Diese zerfällt aber in die beiden Teilforderungen:
a ; b b + u1 oder bn · a ; b u1 und a ; u1 b + u1.

Der erstern ist auf die allgemeinste Weise zu genügen durch:
u1 = bn · a ; b + u2
und damit wird:
x = x2, = b + bn · a ; b + u2 = b + a ; b + u2.

Setzt man zur Abkürzung:
17) f(y) = b + a ; y
und definirt die Iterationen dieser Funktion wie üblich rekurrirend durch:
f0(y) = y, f1(y) = f(y), fr + 1(y) = f{fr(y)} = b + a ; fr(y),
so müssen wir uns zur Vereinfachung des Folgenden zunächst überzeugen,
dass für fr + 1(y) beim Argumente y = b neben der vorigen auch diese Dar-
stellung zutrifft:
fr + 1(b) = fr(b) + a ; fr(b).
Dies zu beweisen gelingt unschwer so: die Doppelsubsumtion:
bfr -- 1(b) fr(b)
ist für r = 1 augenscheinlich richtig. Gilt sie aber für ein bestimmtes r,
so folgt weiter:
bb + a ; fr -- 1(b) b + a ; fr(b)
das heisst:
bfr(b) fr + 1(b),
d. h. sie gilt dann auch für r + 1 und somit allgemein. Nunmehr muss
nach R. Grassmann's Theoreme 20+) des Bd. 1, oder vorletzte Zeile von 3)
unsres § 6 S. 79 sein:
fr(b) + a ; fr(b) = fr(b) + b + a ; fr(b) = fr(b) + fr + 1(b) = fr + 1(b),
wie zu zeigen gewesen.

Nach dieser Vorbereitung lässt sich darthun, dass, wenn für ein be-
stimmtes r gefunden ist, dass die allgemeine Wurzel x der aufzulösenden
Subsumtion 3) in der Form existirt:
18) x = xr, = fr -- 1(b) + ur,

Neunte Vorlesung.

Zweites Lösungsverfahren. Anstatt der ersten kann man jedoch
auch der zweiten Subsumtion 4) zuerst zu genügen suchen.

Dies geschieht, indem man setzt:
x = x1, = b + u1,
unter u1 hier ad hoc nicht das u-Gekett, sondern blos ein unbestimmtes
Relativ verstanden.

Dann wird von u1 noch die erste Subsumtion zu erfüllen sein, näm-
lich die Forderung:
a ; b + a ; u1 ⋹ b + u1.

Diese zerfällt aber in die beiden Teilforderungen:
a ; b ⋹ b + u1 oder b̄ · a ; b ⋹ u1 und a ; u1 ⋹ b + u1.

Der erstern ist auf die allgemeinste Weise zu genügen durch:
u1 = b̄ · a ; b + u2
und damit wird:
x = x2, = b + b̄ · a ; b + u2 = b + a ; b + u2.

Setzt man zur Abkürzung:
17) f(y) = b + a ; y
und definirt die Iterationen dieser Funktion wie üblich rekurrirend durch:
f0(y) = y, f1(y) = f(y), fr + 1(y) = f{fr(y)} = b + a ; fr(y),
so müssen wir uns zur Vereinfachung des Folgenden zunächst überzeugen,
dass für fr + 1(y) beim Argumente y = b neben der vorigen auch diese Dar-
stellung zutrifft:
fr + 1(b) = fr(b) + a ; fr(b).
Dies zu beweisen gelingt unschwer so: die Doppelsubsumtion:
b⋹fr — 1(b) ⋹fr(b)
ist für r = 1 augenscheinlich richtig. Gilt sie aber für ein bestimmtes r,
so folgt weiter:
b⋹b + a ; fr — 1(b) ⋹ b + a ; fr(b)
das heisst:
b⋹fr(b) ⋹fr + 1(b),
d. h. sie gilt dann auch für r + 1 und somit allgemein. Nunmehr muss
nach R. Grassmann’s Theoreme 20+) des Bd. 1, oder vorletzte Zeile von 3)
unsres § 6 S. 79 sein:
fr(b) + a ; fr(b) = fr(b) + b + a ; fr(b) = fr(b) + fr + 1(b) = fr + 1(b),
wie zu zeigen gewesen.

Nach dieser Vorbereitung lässt sich darthun, dass, wenn für ein be-
stimmtes r gefunden ist, dass die allgemeine Wurzel x der aufzulösenden
Subsumtion 3) in der Form existirt:
18) x = xr, = fr — 1(b) + ur,

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0408" n="394"/>
          <fw place="top" type="header">Neunte Vorlesung.</fw><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Zweites Lösungsverfahren</hi>. Anstatt der ersten kann man jedoch<lb/>
auch der <hi rendition="#i">zweiten</hi> Subsumtion 4) <hi rendition="#i">zuerst</hi> zu genügen suchen.</p><lb/>
          <p>Dies geschieht, indem man setzt:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, = <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,</hi><lb/>
unter <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> hier ad hoc nicht das <hi rendition="#i">u</hi>-Gekett, sondern blos ein unbestimmtes<lb/>
Relativ verstanden.</p><lb/>
          <p>Dann wird von <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> noch die erste Subsumtion zu erfüllen sein, näm-<lb/>
lich die Forderung:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</hi></p><lb/>
          <p>Diese zerfällt aber in die beiden Teilforderungen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> oder <hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> · <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</hi></p><lb/>
          <p>Der erstern ist auf die allgemeinste Weise zu genügen durch:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> · <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi></hi><lb/>
und damit wird:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, = <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> · <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi><hi rendition="#sub">2</hi>.</hi></p><lb/>
          <p>Setzt man zur Abkürzung:<lb/>
17) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">f</hi>(<hi rendition="#i">y</hi>) = <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">y</hi></hi><lb/>
und definirt die Iterationen dieser Funktion wie üblich rekurrirend durch:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">0</hi>(<hi rendition="#i">y</hi>) = <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup">1</hi>(<hi rendition="#i">y</hi>) = <hi rendition="#i">f</hi>(<hi rendition="#i">y</hi>), <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> + 1</hi>(<hi rendition="#i">y</hi>) = <hi rendition="#i">f</hi>{<hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">y</hi>)} = <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">y</hi>),</hi><lb/>
so müssen wir uns zur Vereinfachung des Folgenden zunächst überzeugen,<lb/>
dass für <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> + 1</hi>(<hi rendition="#i">y</hi>) beim Argumente <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> neben der vorigen auch diese Dar-<lb/>
stellung zutrifft:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> + 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>).</hi><lb/>
Dies zu beweisen gelingt unschwer so: die Doppelsubsumtion:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">b</hi>&#x22F9;<hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> &#x2014; 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) &#x22F9;<hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>)</hi><lb/>
ist für <hi rendition="#i">r</hi> = 1 augenscheinlich richtig. Gilt sie aber für ein bestimmtes <hi rendition="#i">r</hi>,<lb/>
so folgt weiter:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">b</hi>&#x22F9;<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> &#x2014; 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>)</hi><lb/>
das heisst:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">b</hi>&#x22F9;<hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) &#x22F9;<hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> + 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>),</hi><lb/>
d. h. sie gilt dann auch für <hi rendition="#i">r</hi> + 1 und somit allgemein. Nunmehr muss<lb/>
nach R. <hi rendition="#g">Grassmann&#x2019;</hi>s Theoreme 20<hi rendition="#sub">+</hi>) des Bd. 1, oder vorletzte Zeile von 3)<lb/>
unsres § 6 S. 79 sein:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">f<hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> + 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> + 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>),</hi><lb/>
wie zu zeigen gewesen.</p><lb/>
          <p>Nach dieser Vorbereitung lässt sich darthun, dass, wenn für ein be-<lb/>
stimmtes <hi rendition="#i">r</hi> gefunden ist, dass die allgemeine Wurzel <hi rendition="#i">x</hi> der aufzulösenden<lb/>
Subsumtion 3) in der Form existirt:<lb/>
18) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">r</hi></hi>, = <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> &#x2014; 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">u<hi rendition="#sub">r</hi></hi>,</hi><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[394/0408] Neunte Vorlesung. Zweites Lösungsverfahren. Anstatt der ersten kann man jedoch auch der zweiten Subsumtion 4) zuerst zu genügen suchen. Dies geschieht, indem man setzt: x = x1, = b + u1, unter u1 hier ad hoc nicht das u-Gekett, sondern blos ein unbestimmtes Relativ verstanden. Dann wird von u1 noch die erste Subsumtion zu erfüllen sein, näm- lich die Forderung: a ; b + a ; u1 ⋹ b + u1. Diese zerfällt aber in die beiden Teilforderungen: a ; b ⋹ b + u1 oder b̄ · a ; b ⋹ u1 und a ; u1 ⋹ b + u1. Der erstern ist auf die allgemeinste Weise zu genügen durch: u1 = b̄ · a ; b + u2 und damit wird: x = x2, = b + b̄ · a ; b + u2 = b + a ; b + u2. Setzt man zur Abkürzung: 17) f(y) = b + a ; y und definirt die Iterationen dieser Funktion wie üblich rekurrirend durch: f0(y) = y, f1(y) = f(y), fr + 1(y) = f{fr(y)} = b + a ; fr(y), so müssen wir uns zur Vereinfachung des Folgenden zunächst überzeugen, dass für fr + 1(y) beim Argumente y = b neben der vorigen auch diese Dar- stellung zutrifft: fr + 1(b) = fr(b) + a ; fr(b). Dies zu beweisen gelingt unschwer so: die Doppelsubsumtion: b⋹fr — 1(b) ⋹fr(b) ist für r = 1 augenscheinlich richtig. Gilt sie aber für ein bestimmtes r, so folgt weiter: b⋹b + a ; fr — 1(b) ⋹ b + a ; fr(b) das heisst: b⋹fr(b) ⋹fr + 1(b), d. h. sie gilt dann auch für r + 1 und somit allgemein. Nunmehr muss nach R. Grassmann’s Theoreme 20+) des Bd. 1, oder vorletzte Zeile von 3) unsres § 6 S. 79 sein: fr(b) + a ; fr(b) = fr(b) + b + a ; fr(b) = fr(b) + fr + 1(b) = fr + 1(b), wie zu zeigen gewesen. Nach dieser Vorbereitung lässt sich darthun, dass, wenn für ein be- stimmtes r gefunden ist, dass die allgemeine Wurzel x der aufzulösenden Subsumtion 3) in der Form existirt: 18) x = xr, = fr — 1(b) + ur,

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/408
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 394. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/408>, abgerufen am 18.05.2024.