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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Neunte Vorlesung.

Zweites Lösungsverfahren. Anstatt der ersten kann man jedoch
auch der zweiten Subsumtion 4) zuerst zu genügen suchen.

Dies geschieht, indem man setzt:
x = x1, = b + u1,
unter u1 hier ad hoc nicht das u-Gekett, sondern blos ein unbestimmtes
Relativ verstanden.

Dann wird von u1 noch die erste Subsumtion zu erfüllen sein, näm-
lich die Forderung:
a ; b + a ; u1 b + u1.

Diese zerfällt aber in die beiden Teilforderungen:
a ; b b + u1 oder bn · a ; b u1 und a ; u1 b + u1.

Der erstern ist auf die allgemeinste Weise zu genügen durch:
u1 = bn · a ; b + u2
und damit wird:
x = x2, = b + bn · a ; b + u2 = b + a ; b + u2.

Setzt man zur Abkürzung:
17) f(y) = b + a ; y
und definirt die Iterationen dieser Funktion wie üblich rekurrirend durch:
f0(y) = y, f1(y) = f(y), fr + 1(y) = f{fr(y)} = b + a ; fr(y),
so müssen wir uns zur Vereinfachung des Folgenden zunächst überzeugen,
dass für fr + 1(y) beim Argumente y = b neben der vorigen auch diese Dar-
stellung zutrifft:
fr + 1(b) = fr(b) + a ; fr(b).
Dies zu beweisen gelingt unschwer so: die Doppelsubsumtion:
bfr -- 1(b) fr(b)
ist für r = 1 augenscheinlich richtig. Gilt sie aber für ein bestimmtes r,
so folgt weiter:
bb + a ; fr -- 1(b) b + a ; fr(b)
das heisst:
bfr(b) fr + 1(b),
d. h. sie gilt dann auch für r + 1 und somit allgemein. Nunmehr muss
nach R. Grassmann's Theoreme 20+) des Bd. 1, oder vorletzte Zeile von 3)
unsres § 6 S. 79 sein:
fr(b) + a ; fr(b) = fr(b) + b + a ; fr(b) = fr(b) + fr + 1(b) = fr + 1(b),
wie zu zeigen gewesen.

Nach dieser Vorbereitung lässt sich darthun, dass, wenn für ein be-
stimmtes r gefunden ist, dass die allgemeine Wurzel x der aufzulösenden
Subsumtion 3) in der Form existirt:
18) x = xr, = fr -- 1(b) + ur,

Neunte Vorlesung.

Zweites Lösungsverfahren. Anstatt der ersten kann man jedoch
auch der zweiten Subsumtion 4) zuerst zu genügen suchen.

Dies geschieht, indem man setzt:
x = x1, = b + u1,
unter u1 hier ad hoc nicht das u-Gekett, sondern blos ein unbestimmtes
Relativ verstanden.

Dann wird von u1 noch die erste Subsumtion zu erfüllen sein, näm-
lich die Forderung:
a ; b + a ; u1 ⋹ b + u1.

Diese zerfällt aber in die beiden Teilforderungen:
a ; b ⋹ b + u1 oder b̄ · a ; b ⋹ u1 und a ; u1 ⋹ b + u1.

Der erstern ist auf die allgemeinste Weise zu genügen durch:
u1 = b̄ · a ; b + u2
und damit wird:
x = x2, = b + b̄ · a ; b + u2 = b + a ; b + u2.

Setzt man zur Abkürzung:
17) f(y) = b + a ; y
und definirt die Iterationen dieser Funktion wie üblich rekurrirend durch:
f0(y) = y, f1(y) = f(y), fr + 1(y) = f{fr(y)} = b + a ; fr(y),
so müssen wir uns zur Vereinfachung des Folgenden zunächst überzeugen,
dass für fr + 1(y) beim Argumente y = b neben der vorigen auch diese Dar-
stellung zutrifft:
fr + 1(b) = fr(b) + a ; fr(b).
Dies zu beweisen gelingt unschwer so: die Doppelsubsumtion:
b⋹fr — 1(b) ⋹fr(b)
ist für r = 1 augenscheinlich richtig. Gilt sie aber für ein bestimmtes r,
so folgt weiter:
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das heisst:
b⋹fr(b) ⋹fr + 1(b),
d. h. sie gilt dann auch für r + 1 und somit allgemein. Nunmehr muss
nach R. Grassmann’s Theoreme 20+) des Bd. 1, oder vorletzte Zeile von 3)
unsres § 6 S. 79 sein:
fr(b) + a ; fr(b) = fr(b) + b + a ; fr(b) = fr(b) + fr + 1(b) = fr + 1(b),
wie zu zeigen gewesen.

Nach dieser Vorbereitung lässt sich darthun, dass, wenn für ein be-
stimmtes r gefunden ist, dass die allgemeine Wurzel x der aufzulösenden
Subsumtion 3) in der Form existirt:
18) x = xr, = fr — 1(b) + ur,

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[394/0408] Neunte Vorlesung. Zweites Lösungsverfahren. Anstatt der ersten kann man jedoch auch der zweiten Subsumtion 4) zuerst zu genügen suchen. Dies geschieht, indem man setzt: x = x1, = b + u1, unter u1 hier ad hoc nicht das u-Gekett, sondern blos ein unbestimmtes Relativ verstanden. Dann wird von u1 noch die erste Subsumtion zu erfüllen sein, näm- lich die Forderung: a ; b + a ; u1 ⋹ b + u1. Diese zerfällt aber in die beiden Teilforderungen: a ; b ⋹ b + u1 oder b̄ · a ; b ⋹ u1 und a ; u1 ⋹ b + u1. Der erstern ist auf die allgemeinste Weise zu genügen durch: u1 = b̄ · a ; b + u2 und damit wird: x = x2, = b + b̄ · a ; b + u2 = b + a ; b + u2. Setzt man zur Abkürzung: 17) f(y) = b + a ; y und definirt die Iterationen dieser Funktion wie üblich rekurrirend durch: f0(y) = y, f1(y) = f(y), fr + 1(y) = f{fr(y)} = b + a ; fr(y), so müssen wir uns zur Vereinfachung des Folgenden zunächst überzeugen, dass für fr + 1(y) beim Argumente y = b neben der vorigen auch diese Dar- stellung zutrifft: fr + 1(b) = fr(b) + a ; fr(b). Dies zu beweisen gelingt unschwer so: die Doppelsubsumtion: b⋹fr — 1(b) ⋹fr(b) ist für r = 1 augenscheinlich richtig. Gilt sie aber für ein bestimmtes r, so folgt weiter: b⋹b + a ; fr — 1(b) ⋹ b + a ; fr(b) das heisst: b⋹fr(b) ⋹fr + 1(b), d. h. sie gilt dann auch für r + 1 und somit allgemein. Nunmehr muss nach R. Grassmann’s Theoreme 20+) des Bd. 1, oder vorletzte Zeile von 3) unsres § 6 S. 79 sein: fr(b) + a ; fr(b) = fr(b) + b + a ; fr(b) = fr(b) + fr + 1(b) = fr + 1(b), wie zu zeigen gewesen. Nach dieser Vorbereitung lässt sich darthun, dass, wenn für ein be- stimmtes r gefunden ist, dass die allgemeine Wurzel x der aufzulösenden Subsumtion 3) in der Form existirt: 18) x = xr, = fr — 1(b) + ur,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 394. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/408>, abgerufen am 23.11.2024.