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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.

Darnach bestimmt sich denn v ohne weitres nach dem zweiten In-
versionstheoreme 11) S. 249 zu
v = u + a0 ; (an1 j un)b
mit Rücksicht auf 9) S. 326 und 5). Durch Einsetzung ist hernach die
zweite Lösungsform 8) gewonnen.

Nach der zweiten Art wird der ersten Subsumtion 15) auch auf die
allgemeinste Weise zu genügen sein mittelst des Ansatzes: x = an1 j w.
Soll dieses x nun auch die zweite erfüllen, so müssen wir w aus b an1 j w
berechnen. Dies gelingt sofort nach dem ersten Inversionstheoreme, welches
uns a0 ; b w, also w = a0 ; b + u liefert. Damit ist die dritte Lösungs-
form 9) gefunden.

Es ist instruktiv, auch mit dieser die beiden Proben zu machen.
Probe 1 erfordert zu zeigen, dass für w = a0 ; b + u sowol a ; (an j w) an1 j w
-- was wir bereits S. 331 unten für jedes w gethan -- als auch, dass
b an1 j w = an1 j (a0 ; b + u) sein muss. Letzteres geht auf zwei Arten:
erstens kommt die Subsumtion nach dem ersten Inversionstheoreme äqui-
valent hinaus auf die evidente a0 ; b a0 ; b + u, und zweitens folgt die-
selbe a fortiori, falls sie für u = 0 zutrifft. Dass aber
ban1 j a0 ; b = a0 ; b · (an j a0 ; b)(an j an j a0 ; b) ...
kann auch gezeigt werden, indem man darthut, dass b in jedem Faktor der
rechten Seite enthalten sein muss. Dies folgt wieder durch Umwandlung
der bezüglichen Subsumtionen nach dem ersten Inversionstheorem in diese
aus dem Bau von a0 ; b selbstverständlichen:
ba0 ; b, a ; b a0 ; b, a ; a ; b a0 ; b, ...
kann aber endlich auch ohne dies Theorem auf eine Weise dargethan
werden, die ich beispielsweise für den dritten Faktor darlegen will. Wegen
1' an + a ist auch b = 1' ; b (an j a) ; b an j a ; b und
an j a ; b = an j 1' ; a ; b an j (an j a) ; a ; b an j an j a ; a ; b.
Es ist also b an j an j a2 ; b erwiesen, und weil nun a2 ; b a0 ; b, so folgt
a fortiori: b an j an j a0 ; b wie behauptet.

Probe 2, d. h. der (als Äquivalenz gültige) Satz:
(a ; x + b x) {x = an1 j (a0 ; b + x)}
folgt so. Mit der Prämisse a ; x x ist nach D 51 auch gegeben: a0 ; x = x.
Mit b x sonach a0 ; b a0 ; x folgt also auch a0 ; b x oder a0 ; b + x = x.
Dass aber mit a ; x x auch x = an1 j x sei, geht als vorwärtige Sub-
sumtion nach dem ersten Inversionstheoreme hervor und versteht sich als
rückwärtige daraus von selbst, dass an1 j x = x(an j x)(an j an j x) ... den Faktor x
aufweist, resp. dass an1 j x x als duales Gegenstück zum Satze D 45:
x a0 ; x gelten muss, nämlich kraft 3) S. 361 aus an1 0' mit an1 j x 0' j x = x
folgt.

Damit ist auch der Leistung der beiden Proben bei der vierten, erst
noch abzuleitenden Lösungsform 10) dermaassen vorgearbeitet, dass dieselbe
dem Leser wird überlassen werden können.

§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.

Darnach bestimmt sich denn v ohne weitres nach dem zweiten In-
versionstheoreme 11) S. 249 zu
v = u + ă0 ; (ā1 ɟ ū)b
mit Rücksicht auf 9) S. 326 und 5). Durch Einsetzung ist hernach die
zweite Lösungsform 8) gewonnen.

Nach der zweiten Art wird der ersten Subsumtion 15) auch auf die
allgemeinste Weise zu genügen sein mittelst des Ansatzes: x = ā̆1 ɟ w.
Soll dieses x nun auch die zweite erfüllen, so müssen wir w aus b ⋹ ā̆1 ɟ w
berechnen. Dies gelingt sofort nach dem ersten Inversionstheoreme, welches
uns a0 ; b ⋹ w, also w = a0 ; b + u liefert. Damit ist die dritte Lösungs-
form 9) gefunden.

Es ist instruktiv, auch mit dieser die beiden Proben zu machen.
Probe 1 erfordert zu zeigen, dass für w = a0 ; b + u sowol a ; (ā̆ ɟ w) ⋹ ā̆1 ɟ w
— was wir bereits S. 331 unten für jedes w gethan — als auch, dass
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erstens kommt die Subsumtion nach dem ersten Inversionstheoreme äqui-
valent hinaus auf die evidente a0 ; b ⋹ a0 ; b + u, und zweitens folgt die-
selbe a fortiori, falls sie für u = 0 zutrifft. Dass aber
b⋹ā̆1 ɟ a0 ; b = a0 ; b · (ā̆ ɟ a0 ; b)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ a0 ; b) …
kann auch gezeigt werden, indem man darthut, dass b in jedem Faktor der
rechten Seite enthalten sein muss. Dies folgt wieder durch Umwandlung
der bezüglichen Subsumtionen nach dem ersten Inversionstheorem in diese
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kann aber endlich auch ohne dies Theorem auf eine Weise dargethan
werden, die ich beispielsweise für den dritten Faktor darlegen will. Wegen
1' ⋹ ā̆ + a ist auch b = 1' ; b ⋹ (ā̆ ɟ a) ; b ⋹ ā̆ ɟ a ; b und
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Probe 2, d. h. der (als Äquivalenz gültige) Satz:
(a ; x + b ⋹ x) ⋹ {x = ā̆1 ɟ (a0 ; b + x)}
folgt so. Mit der Prämisse a ; x ⋹ x ist nach D 51 auch gegeben: a0 ; x = x.
Mit b ⋹ x sonach a0 ; b ⋹ a0 ; x folgt also auch a0 ; b ⋹ x oder a0 ; b + x = x.
Dass aber mit a ; x ⋹ x auch x = ā̆1 ɟ x sei, geht als vorwärtige Sub-
sumtion nach dem ersten Inversionstheoreme hervor und versteht sich als
rückwärtige daraus von selbst, dass ā̆1 ɟ x = x(ā̆ ɟ x)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ x) … den Faktor x
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x ⋹ a0 ; x gelten muss, nämlich kraft 3) S. 361 aus ā̆1 ⋹ 0' mit ā̆1 ɟ x ⋹ 0' ɟ x = x
folgt.

Damit ist auch der Leistung der beiden Proben bei der vierten, erst
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[393/0407] § 24. Nebenstudien zur Kettentheorie. Darnach bestimmt sich denn v ohne weitres nach dem zweiten In- versionstheoreme 11) S. 249 zu v = u + ă0 ; (ā1 ɟ ū)b mit Rücksicht auf 9) S. 326 und 5). Durch Einsetzung ist hernach die zweite Lösungsform 8) gewonnen. Nach der zweiten Art wird der ersten Subsumtion 15) auch auf die allgemeinste Weise zu genügen sein mittelst des Ansatzes: x = ā̆1 ɟ w. Soll dieses x nun auch die zweite erfüllen, so müssen wir w aus b ⋹ ā̆1 ɟ w berechnen. Dies gelingt sofort nach dem ersten Inversionstheoreme, welches uns a0 ; b ⋹ w, also w = a0 ; b + u liefert. Damit ist die dritte Lösungs- form 9) gefunden. Es ist instruktiv, auch mit dieser die beiden Proben zu machen. Probe 1 erfordert zu zeigen, dass für w = a0 ; b + u sowol a ; (ā̆ ɟ w) ⋹ ā̆1 ɟ w — was wir bereits S. 331 unten für jedes w gethan — als auch, dass b ⋹ ā̆1 ɟ w = ā̆1 ɟ (a0 ; b + u) sein muss. Letzteres geht auf zwei Arten: erstens kommt die Subsumtion nach dem ersten Inversionstheoreme äqui- valent hinaus auf die evidente a0 ; b ⋹ a0 ; b + u, und zweitens folgt die- selbe a fortiori, falls sie für u = 0 zutrifft. Dass aber b⋹ā̆1 ɟ a0 ; b = a0 ; b · (ā̆ ɟ a0 ; b)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ a0 ; b) … kann auch gezeigt werden, indem man darthut, dass b in jedem Faktor der rechten Seite enthalten sein muss. Dies folgt wieder durch Umwandlung der bezüglichen Subsumtionen nach dem ersten Inversionstheorem in diese aus dem Bau von a0 ; b selbstverständlichen: b⋹a0 ; b, a ; b ⋹ a0 ; b, a ; a ; b ⋹ a0 ; b, … kann aber endlich auch ohne dies Theorem auf eine Weise dargethan werden, die ich beispielsweise für den dritten Faktor darlegen will. Wegen 1' ⋹ ā̆ + a ist auch b = 1' ; b ⋹ (ā̆ ɟ a) ; b ⋹ ā̆ ɟ a ; b und ā̆ ɟ a ; b = ā̆ ɟ 1' ; a ; b ⋹ ā̆ ɟ (ā̆ ɟ a) ; a ; b ⋹ ā̆ ɟ ā̆ ɟ a ; a ; b. Es ist also b ⋹ ā̆ ɟ ā̆ ɟ a2 ; b erwiesen, und weil nun a2 ; b ⋹ a0 ; b, so folgt a fortiori: b ⋹ ā̆ ɟ ā̆ ɟ a0 ; b wie behauptet. Probe 2, d. h. der (als Äquivalenz gültige) Satz: (a ; x + b ⋹ x) ⋹ {x = ā̆1 ɟ (a0 ; b + x)} folgt so. Mit der Prämisse a ; x ⋹ x ist nach D 51 auch gegeben: a0 ; x = x. Mit b ⋹ x sonach a0 ; b ⋹ a0 ; x folgt also auch a0 ; b ⋹ x oder a0 ; b + x = x. Dass aber mit a ; x ⋹ x auch x = ā̆1 ɟ x sei, geht als vorwärtige Sub- sumtion nach dem ersten Inversionstheoreme hervor und versteht sich als rückwärtige daraus von selbst, dass ā̆1 ɟ x = x(ā̆ ɟ x)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ x) … den Faktor x aufweist, resp. dass ā̆1 ɟ x ⋹ x als duales Gegenstück zum Satze D 45: x ⋹ a0 ; x gelten muss, nämlich kraft 3) S. 361 aus ā̆1 ⋹ 0' mit ā̆1 ɟ x ⋹ 0' ɟ x = x folgt. Damit ist auch der Leistung der beiden Proben bei der vierten, erst noch abzuleitenden Lösungsform 10) dermaassen vorgearbeitet, dass dieselbe dem Leser wird überlassen werden können.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 393. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/407>, abgerufen am 18.05.2024.

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