Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Neunte Vorlesung.

Ich will noch Anleitung geben, wie man die erstmals so gewonnenen
Sätze auch direkt beweisen kann, speziell die erste Gleichung 13).

Hievon kommt die vorwärtige Subsumtion a₀ ; b ⋹ ā̆₁ ɟ a₀ ; b nach dem
ersten Inversionstheoreme auf a₀ ; a₀ ; b ⋹ a₀ ; b somit a₀ ; a₀ ⋹ (sogar =) a₀
hinaus. Die rückwärtige versteht sich mit ā̆₁ ⋹ 0' — cf. 3) S. 361 — aus
ā̆₁ ɟ a₀ ; b ⋹ 0' ɟ a₀ ; b = a₀ ; b, q. e. d. Auch so:

Schreibt man nach dem S. 331, Z. 6 v. u. gegebnen Vorbild die rechte
Seite der fraglichen Gleichung 13) ausführlich hin, so lautet die Gleichung:
a₀ ; b = a₀ ; b · (ā̆ ɟ a₀ ; b)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ a₀ ; b) …, läuft also hinaus auf die Einord-
nung der linken Seite unter das Produkt der Faktoren rechterhand vom
ersten ab. Dass dann in der That unser Subjekt jedem von diesen Fak-
toren eingeordnet sein muss, folgt wegen a ; a₀ ⋹ a₀ nach dem ersten In-
versionstheoreme, indem z. B. die Einordnung a₀ ; b ⋹ ā̆ ɟ ā̆ ɟ a₀ ; b äquivalent
ist mit: a ; a ; a₀ ; b ⋹ a₀ ; b. Etc.

Zum Überfluss kann man zeigen, dass jedes Glied a^λ ; b des Subjektes
a₀ ; b in jedem Faktor (ā̆ ɟ)^ϰ ɟ a₀ ; b des Prädikates enthalten ist, indem in
letzterem steckt: (ā̆ ɟ)^ϰ ɟ a^{ϰ + λ} ; b und die Einordnung a^λ ; b ⋹ (ā̆ ɟ)^ϰ ɟ a^{ϰ + λ} ; b
nach dem ersten Inversionstheorem äquivalent ist mit der als Gleichung
selbstverständlich geltenden a^ϰ ; a^λ ; b ⋹ a^{ϰ + λ} ; b. —

Treten wir nach dieser Digression jetzt wieder an die systematische
Auflösung unsrer Subsumtion 6) heran.

Als Subjekt lässt sich x in ihr nicht isoliren in Anbetracht, dass die
Subsumtion 6) zerfällt in:
15) a ; x ⋹ x und b ⋹ x.

Wenn dann auch aus der ersten Teilsubsumtion allerdings x als Sub-
jekt isolirt werden kann zu: x ⋹ ā̆₁ ɟ x, so ist das doch nur ein abge-
schwächter Schluss und würden wir als äquivalente Transformation von 6)
vielmehr eine Doppelsubsumtion behalten: b ⋹ x ⋹ ā̆₁ ɟ x. Der Satz 1) des
§ 13 liefert uns folglich keine zweite Lösung.

Zwecks Entdeckung von Lösungen scheint es vielmehr naturgemäss
geboten, dass wir den beiden Teilsubsumtionen 15) nacheinander zu ge-
nügen suchen. Je nach der Reihenfolge, für die man sich dabei entscheidet,
gestaltet sich dies aber verschieden.

Erstes (eigentlich schon zweites) Lösungsverfahren. Wir erfüllen
zuerst die erste Forderung 15). Nach 2) ist dies bereits auf zwei Arten
möglich.

Einmal wird jener Fordrung auf die allgemeinste Weise genügt durch
den Ansatz: x = a₀ ; v für ein unbestimmtes v. Letztres wird jedoch in
seiner Unbestimmtheit noch weiter eingeschränkt durch die Forderung, dass
unser x auch der zweiten Subsumtion 15) genüge, d. h. dass b ⋹ a₀ ; v
werde. Hieraus fliesst zunächst b ⋹ a₀ ; 1 als Resultante nach v. Diese
ist aber von selbst erfüllt, indem der Satz gilt:
16)

a_0 ; 1 = 1 = 1 ; a_0

a_1 ɟ 0 = 0 = 0 ɟ a_1,

wie sich links daraus versteht, dass 1' ⋹ a₀ also 1' ; 1 = 1 ⋹ a₀ ; 1 sein muss.
In der That kann (somit) eine a-Kette weder Leerzeilen noch Leerkolonnen
haben, ein Gekett aber keine Vollreihen.