Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.Neunte Vorlesung. Ich will noch Anleitung geben, wie man die erstmals so gewonnenen Hievon kommt die vorwärtige Subsumtion a0 ; b an1 j a0 ; b nach dem Schreibt man nach dem S. 331, Z. 6 v. u. gegebnen Vorbild die rechte Zum Überfluss kann man zeigen, dass jedes Glied al ; b des Subjektes Treten wir nach dieser Digression jetzt wieder an die systematische Als Subjekt lässt sich x in ihr nicht isoliren in Anbetracht, dass die Wenn dann auch aus der ersten Teilsubsumtion allerdings x als Sub- Zwecks Entdeckung von Lösungen scheint es vielmehr naturgemäss Erstes (eigentlich schon zweites) Lösungsverfahren. Wir erfüllen Einmal wird jener Fordrung auf die allgemeinste Weise genügt durch
In der That kann (somit) eine a-Kette weder Leerzeilen noch Leerkolonnen haben, ein Gekett aber keine Vollreihen. Neunte Vorlesung. Ich will noch Anleitung geben, wie man die erstmals so gewonnenen Hievon kommt die vorwärtige Subsumtion a0 ; b ⋹ ā̆1 ɟ a0 ; b nach dem Schreibt man nach dem S. 331, Z. 6 v. u. gegebnen Vorbild die rechte Zum Überfluss kann man zeigen, dass jedes Glied aλ ; b des Subjektes Treten wir nach dieser Digression jetzt wieder an die systematische Als Subjekt lässt sich x in ihr nicht isoliren in Anbetracht, dass die Wenn dann auch aus der ersten Teilsubsumtion allerdings x als Sub- Zwecks Entdeckung von Lösungen scheint es vielmehr naturgemäss Erstes (eigentlich schon zweites) Lösungsverfahren. Wir erfüllen Einmal wird jener Fordrung auf die allgemeinste Weise genügt durch
In der That kann (somit) eine a-Kette weder Leerzeilen noch Leerkolonnen haben, ein Gekett aber keine Vollreihen. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <pb facs="#f0406" n="392"/> <fw place="top" type="header">Neunte Vorlesung.</fw><lb/> <p>Ich will noch Anleitung geben, wie man die erstmals so gewonnenen<lb/> Sätze auch direkt beweisen kann, speziell die erste Gleichung 13).</p><lb/> <p>Hievon kommt die vorwärtige Subsumtion <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> ⋹ <hi rendition="#i">ā̆</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ɟ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> nach dem<lb/> ersten Inversionstheoreme auf <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> somit <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ⋹ (sogar =) <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi><lb/> hinaus. 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Auch so:</p><lb/> <p>Schreibt man nach dem S. 331, Z. 6 v. u. gegebnen Vorbild die rechte<lb/> Seite der fraglichen Gleichung 13) ausführlich hin, so lautet die Gleichung:<lb/><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> · (<hi rendition="#i">ā̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>)(<hi rendition="#i">ā̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">ā̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) …, läuft also hinaus auf die Einord-<lb/> nung der linken Seite unter das Produkt der Faktoren rechterhand vom<lb/> ersten ab. 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Etc.</p><lb/> <p>Zum Überfluss kann man zeigen, dass jedes Glied <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sup">λ</hi></hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> des Subjektes<lb/><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> in jedem Faktor (<hi rendition="#i">ā̆</hi> ɟ)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> ɟ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> des Prädikates enthalten ist, indem in<lb/> letzterem steckt: (<hi rendition="#i">ā̆</hi> ɟ)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> ɟ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">ϰ</hi> + <hi rendition="#i">λ</hi></hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> und die Einordnung <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sup">λ</hi></hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> ⋹ (<hi rendition="#i">ā̆</hi> ɟ)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> ɟ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">ϰ</hi> + <hi rendition="#i">λ</hi></hi> ; <hi rendition="#i">b</hi><lb/> nach dem ersten Inversionstheorem äquivalent ist mit der als Gleichung<lb/> selbstverständlich geltenden <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sup">ϰ</hi></hi> ; <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sup">λ</hi></hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">ϰ</hi> + <hi rendition="#i">λ</hi></hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>. —</p><lb/> <p>Treten wir nach dieser Digression jetzt wieder an die systematische<lb/> Auflösung unsrer Subsumtion 6) heran.</p><lb/> <p>Als Subjekt lässt sich <hi rendition="#i">x</hi> in ihr nicht isoliren in Anbetracht, dass die<lb/> Subsumtion 6) <hi rendition="#i">zerfällt</hi> in:<lb/> 15) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi>.</hi></p><lb/> <p>Wenn dann auch aus der ersten Teilsubsumtion allerdings <hi rendition="#i">x</hi> als Sub-<lb/> jekt isolirt werden kann zu: <hi rendition="#i">x</hi> ⋹ <hi rendition="#i">ā̆</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ɟ <hi rendition="#i">x</hi>, so ist das doch nur ein abge-<lb/> schwächter Schluss und würden wir als äquivalente Transformation von 6)<lb/> vielmehr eine Doppelsubsumtion behalten: <hi rendition="#i">b</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> ⋹ <hi rendition="#i">ā̆</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ɟ <hi rendition="#i">x</hi>. 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Neunte Vorlesung.
Ich will noch Anleitung geben, wie man die erstmals so gewonnenen
Sätze auch direkt beweisen kann, speziell die erste Gleichung 13).
Hievon kommt die vorwärtige Subsumtion a0 ; b ⋹ ā̆1 ɟ a0 ; b nach dem
ersten Inversionstheoreme auf a0 ; a0 ; b ⋹ a0 ; b somit a0 ; a0 ⋹ (sogar =) a0
hinaus. Die rückwärtige versteht sich mit ā̆1 ⋹ 0' — cf. 3) S. 361 — aus
ā̆1 ɟ a0 ; b ⋹ 0' ɟ a0 ; b = a0 ; b, q. e. d. Auch so:
Schreibt man nach dem S. 331, Z. 6 v. u. gegebnen Vorbild die rechte
Seite der fraglichen Gleichung 13) ausführlich hin, so lautet die Gleichung:
a0 ; b = a0 ; b · (ā̆ ɟ a0 ; b)(ā̆ ɟ ā̆ ɟ a0 ; b) …, läuft also hinaus auf die Einord-
nung der linken Seite unter das Produkt der Faktoren rechterhand vom
ersten ab. Dass dann in der That unser Subjekt jedem von diesen Fak-
toren eingeordnet sein muss, folgt wegen a ; a0 ⋹ a0 nach dem ersten In-
versionstheoreme, indem z. B. die Einordnung a0 ; b ⋹ ā̆ ɟ ā̆ ɟ a0 ; b äquivalent
ist mit: a ; a ; a0 ; b ⋹ a0 ; b. Etc.
Zum Überfluss kann man zeigen, dass jedes Glied aλ ; b des Subjektes
a0 ; b in jedem Faktor (ā̆ ɟ)ϰ ɟ a0 ; b des Prädikates enthalten ist, indem in
letzterem steckt: (ā̆ ɟ)ϰ ɟ aϰ + λ ; b und die Einordnung aλ ; b ⋹ (ā̆ ɟ)ϰ ɟ aϰ + λ ; b
nach dem ersten Inversionstheorem äquivalent ist mit der als Gleichung
selbstverständlich geltenden aϰ ; aλ ; b ⋹ aϰ + λ ; b. —
Treten wir nach dieser Digression jetzt wieder an die systematische
Auflösung unsrer Subsumtion 6) heran.
Als Subjekt lässt sich x in ihr nicht isoliren in Anbetracht, dass die
Subsumtion 6) zerfällt in:
15) a ; x ⋹ x und b ⋹ x.
Wenn dann auch aus der ersten Teilsubsumtion allerdings x als Sub-
jekt isolirt werden kann zu: x ⋹ ā̆1 ɟ x, so ist das doch nur ein abge-
schwächter Schluss und würden wir als äquivalente Transformation von 6)
vielmehr eine Doppelsubsumtion behalten: b ⋹ x ⋹ ā̆1 ɟ x. Der Satz 1) des
§ 13 liefert uns folglich keine zweite Lösung.
Zwecks Entdeckung von Lösungen scheint es vielmehr naturgemäss
geboten, dass wir den beiden Teilsubsumtionen 15) nacheinander zu ge-
nügen suchen. Je nach der Reihenfolge, für die man sich dabei entscheidet,
gestaltet sich dies aber verschieden.
Erstes (eigentlich schon zweites) Lösungsverfahren. Wir erfüllen
zuerst die erste Forderung 15). Nach 2) ist dies bereits auf zwei Arten
möglich.
Einmal wird jener Fordrung auf die allgemeinste Weise genügt durch
den Ansatz: x = a0 ; v für ein unbestimmtes v. Letztres wird jedoch in
seiner Unbestimmtheit noch weiter eingeschränkt durch die Forderung, dass
unser x auch der zweiten Subsumtion 15) genüge, d. h. dass b ⋹ a0 ; v
werde. Hieraus fliesst zunächst b ⋹ a0 ; 1 als Resultante nach v. Diese
ist aber von selbst erfüllt, indem der Satz gilt:
16) a0 ; 1 = 1 = 1 ; a0 a1 ɟ 0 = 0 = 0 ɟ a1,
wie sich links daraus versteht, dass 1' ⋹ a0 also 1' ; 1 = 1 ⋹ a0 ; 1 sein muss.
In der That kann (somit) eine a-Kette weder Leerzeilen noch Leerkolonnen
haben, ein Gekett aber keine Vollreihen.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 392. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/406>, abgerufen am 01.09.2024. |