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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Neunte Vorlesung.

Formen der Lösung.
7) [Formel 1]
8) [Formel 2]
9) [Formel 3]
10) [Formel 4] ,
deren erste "die beste" zu nennen.

Zur Herleitung. Da x = 1 der Forderung der Aufgabe genügt, so
haben wir keine Resultante.

In Anbetracht, dass in 3) rechts x als Prädikat bereits isolirt er-
scheint, kann man eine erste Lösungsform augenblicklich nach dem Satz 1)
des § 13 hinschreiben in der Gestalt:
[Formel 5] .

Mit diesem f(u) = b + (1' + a) ; u beweist man aber leicht durch Schluss
von r auf r + 1 das Bildungsgesetz der iterirten Funktion:
fr(u) = (1' + a)r ; u + (1' + a)r -- 1 ; b = (1' + a)r -- 1 ; f(u)
in Anbetracht, dass (1' + a)r -- 1 (1' + a)r = (1' + a) ; (1' + a)r -- 1 sein muss.
Damit ist dann
finfinity(u) = (1' + a)infinity ; u + (1' + a)infinity ; b = a0 ; b + a0 ; u = a0 ; (b + u)
gefunden, d. h. es ist die Lösungsform 7) heuristisch gewonnen. Es wird
uns nachher auch noch ein andrer Weg zu ebendieser führen.

Zum Überfluss soll sie auch direkt verifizirt werden. Dass die Probe 1
stimmt, beruht lediglich auf den Sätzen 1' a0 und a ; a0 a0.

Die Probe 2 fällt zusammen mit dem Nachweis des Satzes:
11) (a ; x + b x) = {x = a0 ; (b + x)} = {a0 ; (b + x) x},
dessen letzter Teil sich daraus versteht, dass die letzte Subsumtion rück-
wärtig (wegen D 45) ohnehin gilt, wogegen vom ersten Teile die vor-
wärtige Aussagensubsumtion darnach aus 13) des § 23 (resp. aus D 40)
gerechtfertigt werden kann, indem
(a ; x + b x) {a ; (b + x) x} {a ; (b + x) b + x} = {a0 ; (b + x) = b + x = x}
nach D 51 und wegen b x sein muss, die rückwärtige durch Probe 1
(diese für u = x in Anspruch genommen) bereits sich erwiesen findet, q. e. d.

Die hiermit gerechtfertigte Lösung 7) setzt uns in den Stand, nun
auf die eleganteste Weise für den rückwärtigen Gang der Unter-
suchung im § 23 den noch ausstehenden letzten Schritt zu vollziehen,
nämlich zur Dedekind'schen Definition D 44 der a-Kette von b heu-
ristisch zu gelangen. Es folgt:
[Formel 6] ,

Neunte Vorlesung.

Formen der Lösung.
7) [Formel 1]
8) [Formel 2]
9) [Formel 3]
10) [Formel 4] ,
deren erste „die beste“ zu nennen.

Zur Herleitung. Da x = 1 der Forderung der Aufgabe genügt, so
haben wir keine Resultante.

In Anbetracht, dass in 3) rechts x als Prädikat bereits isolirt er-
scheint, kann man eine erste Lösungsform augenblicklich nach dem Satz 1)
des § 13 hinschreiben in der Gestalt:
[Formel 5] .

Mit diesem f(u) = b + (1' + a) ; u beweist man aber leicht durch Schluss
von r auf r + 1 das Bildungsgesetz der iterirten Funktion:
fr(u) = (1' + a)r ; u + (1' + a)r — 1 ; b = (1' + a)r — 1 ; f(u)
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Damit ist dann
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gefunden, d. h. es ist die Lösungsform 7) heuristisch gewonnen. Es wird
uns nachher auch noch ein andrer Weg zu ebendieser führen.

Zum Überfluss soll sie auch direkt verifizirt werden. Dass die Probe 1
stimmt, beruht lediglich auf den Sätzen 1' ⋹ a0 und a ; a0 ⋹ a0.

Die Probe 2 fällt zusammen mit dem Nachweis des Satzes:
11) (a ; x + b ⋹ x) = {x = a0 ; (b + x)} = {a0 ; (b + x) ⋹ x},
dessen letzter Teil sich daraus versteht, dass die letzte Subsumtion rück-
wärtig (wegen D 45) ohnehin gilt, wogegen vom ersten Teile die vor-
wärtige Aussagensubsumtion darnach aus 13) des § 23 (resp. aus D 40)
gerechtfertigt werden kann, indem
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(diese für u = x in Anspruch genommen) bereits sich erwiesen findet, q. e. d.

Die hiermit gerechtfertigte Lösung 7) setzt uns in den Stand, nun
auf die eleganteste Weise für den rückwärtigen Gang der Unter-
suchung im § 23 den noch ausstehenden letzten Schritt zu vollziehen,
nämlich zur Dedekind’schen Definition D 44 der a-Kette von b heu-
ristisch zu gelangen. Es folgt:
[Formel 6] ,

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[390/0404] Neunte Vorlesung. Formen der Lösung. 7) [FORMEL] 8) [FORMEL] 9) [FORMEL] 10) [FORMEL], deren erste „die beste“ zu nennen. Zur Herleitung. Da x = 1 der Forderung der Aufgabe genügt, so haben wir keine Resultante. In Anbetracht, dass in 3) rechts x als Prädikat bereits isolirt er- scheint, kann man eine erste Lösungsform augenblicklich nach dem Satz 1) des § 13 hinschreiben in der Gestalt: [FORMEL]. Mit diesem f(u) = b + (1' + a) ; u beweist man aber leicht durch Schluss von r auf r + 1 das Bildungsgesetz der iterirten Funktion: fr(u) = (1' + a)r ; u + (1' + a)r — 1 ; b = (1' + a)r — 1 ; f(u) in Anbetracht, dass (1' + a)r — 1 ⋹ (1' + a)r = (1' + a) ; (1' + a)r — 1 sein muss. Damit ist dann f∞(u) = (1' + a)∞ ; u + (1' + a)∞ ; b = a0 ; b + a0 ; u = a0 ; (b + u) gefunden, d. h. es ist die Lösungsform 7) heuristisch gewonnen. Es wird uns nachher auch noch ein andrer Weg zu ebendieser führen. Zum Überfluss soll sie auch direkt verifizirt werden. Dass die Probe 1 stimmt, beruht lediglich auf den Sätzen 1' ⋹ a0 und a ; a0 ⋹ a0. Die Probe 2 fällt zusammen mit dem Nachweis des Satzes: 11) (a ; x + b ⋹ x) = {x = a0 ; (b + x)} = {a0 ; (b + x) ⋹ x}, dessen letzter Teil sich daraus versteht, dass die letzte Subsumtion rück- wärtig (wegen D 45) ohnehin gilt, wogegen vom ersten Teile die vor- wärtige Aussagensubsumtion darnach aus 13) des § 23 (resp. aus D 40) gerechtfertigt werden kann, indem (a ; x + b ⋹ x) ⋹ {a ; (b + x) ⋹ x} ⋹ {a ; (b + x) ⋹ b + x} = {a0 ; (b + x) = b + x = x} nach D 51 und wegen b ⋹ x sein muss, die rückwärtige durch Probe 1 (diese für u = x in Anspruch genommen) bereits sich erwiesen findet, q. e. d. Die hiermit gerechtfertigte Lösung 7) setzt uns in den Stand, nun auf die eleganteste Weise für den rückwärtigen Gang der Unter- suchung im § 23 den noch ausstehenden letzten Schritt zu vollziehen, nämlich zur Dedekind’schen Definition D 44 der a-Kette von b heu- ristisch zu gelangen. Es folgt: [FORMEL],

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 390. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/404>, abgerufen am 18.05.2024.